测试专业技术与信号处理课后答案
机械工程测试技术基础习题解答
教材：机械工程测试技术基础，熊诗波 黄长艺主编，机械工业出版社，2006年9月第3版第二次印刷。
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。
解答：在一个周期的表达式为
00 (0)2() (0)
2
T A t x t T A t ?
--≤
积分区间取（-T/2，T/2）
0000000
220
2
00
2
111()d =
d +
d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )
T T jn t
jn t
jn t T T n c x t e
t Ae
t Ae t
T T T A
j
n n n ωωωππ
-----=
-±±±?
?
?
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
001
()(1cos )jn t
jn t n n n A
x t c e
j
n e n
∞
∞
=-∞
=-∞=
=--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±。
(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI nR A c n n n c ?
=-
-?±±±?
?=?ππ
21,3,,(1cos )00,2,4,6,
n A
n A c n n n n ?=±±±?
==-=??=±±±
?
πππ 图1-4 周期方波信号波形图
1,3,5,2arctan 1,3,5,
2
00,2,4,6,nI n nR π
n c π
φn c n ?-=+++???===---??=±±±??
?
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
解答：0
000
2200000
224211()d sin d sin d cos T
T
T T
x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T
T ωT ωπ
====-==???
rms
x ==== 1-3 求指数函数()(0,0)at
x t Ae a t -=>≥的频谱。
解答：
(2)220
22
(2)
()()(2)
2(2)
a j f t
j f t
at j f t
e A A a j
f X f x t e
dt Ae e
dt A
a j f a j f a f -+∞
∞
---∞-∞
-====
=-+++??πππππππ
()X f =
Im ()2()arctan
arctan Re ()X f f
f X f a
==-π?
幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
a)符号函数的频谱
10
()sgn()10t x t t t +>?==?
-
t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。
10
()sgn()0
at
at
at
e t x t e
t e
t --?>==?-
()sgn()lim ()a x t t x t →==
2221122
4()()(2)j f t at j f t at j f t f
X f x t e dt e e dt e e dt j
a f ∞
∞
-----∞
-∞
==-+=-+???πππππ
[]10
1()sgn()lim ()a X f t X f j
f
→===-πF 1()X f f
π=
单边指数衰减信号频谱图
f
|X (f )|
A /a
φ(f )
f
π/2
-π/2
t
sgn(t )
1 -1
t
u (t ) 0
1 图1-25 题1-4图
a)符号函数
b)阶跃函数
2
()0
2
f f f π?π?
=??->??
b)阶跃函数频谱
10
()00
t u t t >?=?
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
解法1：利用符号函数
11
()sgn()22
u t t =
+ [][]11
11111()()sgn()()()22222U f u t t f j f j f f ??????==+=+-=- ???????????
δδππF F F
()
2211
()()2U f f f δπ=
+ 结果表明，单位阶跃信号u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t )含有直流分量，在预料
之中。同时，由于u (t )不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
解法2：利用冲激函数
单位阶跃信号频谱
f
|U (f )|
(1/2) f
φ(f )
0 π/2 -π/2
1()sgn()at x t e t -=符号函数
t
x 1(t ) 0
1
-1
符号函数频谱
f
φ(f )
π/2
f
|X (f )|
-π/2
10()()d 00t
t u t t δττ-∞>?==?
?时
时 根据傅里叶变换的积分特性
1111()()d ()(0)()()222t U f f f f j j f f δττδδππ-∞??
??==?+?=-????????
?F 1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。
0cos ()0
ωt
t T x t t T
?
≥??
解：0()()cos(2)x t w t f t =π w (t )为矩形脉冲信号
()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t
f t e e
πππ-=
+ 所以002211()()()22
j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得：
000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
f X (f )
T
f 0 -f 0
被截断的余弦函数频谱
图1-26 被截断的余弦函数
t
t
T
-T
T -T
x (t )
w (t )
1
1
-1
解答：
()
0001sin()2j t j t
t e e j
-=
-ωωω 所以()
001()2j t j t
at
x t e
e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
1122
1()()j t
at j t a j X f x t e
dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-===
=++??ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得：
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j
a a a a ??---+=
--+=-??+-++??
--=
-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。在这个关系
中，函数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。试求调幅信号0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0m ωω<时将会出现什么情况？
指数衰减信号
指数衰减信号的频谱图
解：0()()cos()x t f t t =ω
()[()]F f t =ωF
()
0001cos()2
j t j t
t e e
-=
+ωωω 所以0011()()()22
j t j t
x t f t e f t e -=+ωω
根据频移特性和叠加性得： 0011
()()()22
X f F F =
-++ωωωω
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。
若0m ωω<将发生混叠。 1-8 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2
x ψ和概率密度函数p (x )。 解答：
(1)0
000
11
lim
()d sin()d 0T T x T μx t t x ωt φt T T →∞==
+=??
，式中02π
T ω
=
—正弦信号周期 f
X (f )
ω0
-ω0
矩形调幅信号频谱
图1-27 题1-7图
ω
F (ω)
f (t )
0 t
-ωm
ωm