高三第一次月考题数学试题
湖南省师大附中高三第一次月考题数学试题.9
（考试用时120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设函数)2
5
,2(,1)(则过点x x x f +=处的切线的斜率是 （ ）
A ．
45 B ．43
C ．25
29
D ．25
21
2．下列四个函数中，在区间（0，1）上为增函数的是 （ ）
A ．x y 2log -=
B ．x y sin =
C ．x y )2
1
(=
D ．2
1
-=x
y
3．βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面βα和平行的是 （ ）
A ．ββα//,//,,n m n m 且内两条直线是
B ．βα,都垂直于平面γ
C ．α内不共线三点到β的距离都相等
D ．αββα//,//,,,,n m n m n m 且是两条异面直线?
?
4．若0为平行四边形ABCD 的中心，122123,6,4e e e BC e AB -==则等于 （ ）
A ．
B ．
C ．CO
D ．DO
5．在等比数列的值是则中2625161565,),0(,}{a a b a a a a a a a n +=+≠=+
（ ）
A ．a
b
B ．22a
b
C ．a
b 2
D ．
2a
b 6．已知集合,8,|{*
*
∈-∈=N x N x x M 且则M 中只含二个元素的子集的个数为（ ）
A ．3
B ．15
C ．21
D ．42
7．函数x x y 2
cos 22sin -=的最大值是
（ ）
A ．12-
B ．12+
C ．3
D ．2
8．若一个圆的圆心在抛物线x y 42
=的焦点处，且此圆与直线01=++y x 相切，则这个
圆的方程是
（ ）
A ．0122
2
=--+x y x B ．0122
2
=+++x y x
C ．0122
2
=+-+y y x
D ．0122
2
=+++y y x
9．已知),2
,2(0)(),,(0)(,)(),(22b
a x g
b a x f x g x f 的解集为的解集为奇函数>>则不等
式的解集是0)()(>x g x f
（ ）
A ．)2
,2(2b
a
B ．),(2
2a b --
C ．),2
()2,(22
a b
b a --?
D ．)2
,2(2b a ?),(2
2a b --
10．某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A 、B 为必选城
市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（ ） A ．120种 B ．240种
C ．480种
D ．600种
11．设偶函数)1()2(,),0(||log )(+-+∞+=a f b f b x x f a 与则上单调递减在的大小关系
是
（ ）
A ．)1()2(+=-a f b f
B ．)1()2(+>-a f b f
C ．)1()2(+<-a f b f
D ．不能确定
12．设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的，使 )(2
)
()(21为常数C C x f x f =+成立，
则称函数f (x )在D 上均值为C ，给出下列四个函数
①3
x y =
②x y sin 4= ③x y lg = ④x
y 2=
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在的系数为的展开式中2
2
6
,)1()1(x x x x ++- .
14．设=+++++=)1110
()119()112()111(,2
44)(f f f f x f x
x 则和式 . 15．已知的两夹角是则321321321,,,1||||||,OP OP OP OP OP OP =+===++ . 16．关于复数:]2,0(,2
sin
2
cos
有下列命题παα
α
∈+=i z
①若;2,πα==则z ②将复数z 在复平面内对应的向量
90逆时针旋转OP 得到向量
];2,0(,2
cos 2sin
,παα
α
∈+-i 对应的复数是则
③复数z 在复平面内对应的轨迹是单位圆；④复数z 2的辐角主值是α.
其中，正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）. 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
17．（本题满分12分）已知函数]5,5[22)(2-∈++=x ax x x f （1）当a =－1时，求函数f (x )的最大值和最小值.
（2）求实数a 的取值范围，使]5,5[)(-=在区间x f y 上是单调函数.
18．（本题满分12分）
设函数),(,),(),(:),1,0(log )(21n a x f x f x f a a a x x f 已知数列为常数≠>=…，
是公差为2的等差数列，且x 1=a 4 （1）求数列}{n x 的通项公式；
（2）)(lim ,1021n n x x x a +++<<∞
→ 求时当；
（3）令.)()1(,1),()(的大小与试比较时当n g n g a x f x x g n n +>=
19．（本题满分12分）
如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱
AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于G （1）求证：B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.
20．（本题满分12分）某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式写出
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）
21．（本题满分12分） 已
知
二
次
函
数],1,[,12)(),0,0()(2+∈+='++==n n x x x f c bx ax x f y 当导函数经过点
n a x f N n 是整数的个数记为时)(,)(*
∈
（1）求a ,b,c 的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）令.}{
,2
1
n n n n n S n b a a b 项和的前求+?=
22．（本题满分14分）
已知二次函数有两个实数根设方程x x f R b a bx ax x f =∈>++=)(),0(1)(2
x 1、x 2.
（1）如果.1,)(,420021->=<< 湖南师大附中高三第一次月考题 数学参考答案 一、选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B C C A A C D C D 二、填空题答题卡 13．10 14．5 15．120° 16．①② 三、解答题 17．（本题满分12分） 解：（1）1，37 （2）5,5≥-≤a a 18．（本题满分12分） 解：（1） 222)1(4)(2 4log )(41+=?-+=∴===n n x f d a x f n a 222 2log :+=+=n n n a a x n x 即 （2）由102 2<<=+a a x n n 及 知：是以4a 为首项，a 2为公比等比数列 2 24222222 4 21224211 22242)()1()42()1()22()22()()()3(1)(lim ,1)1(a n n a n n n g n g a n n g a n n a x f x n g a a x x x a a a x m x x S n n n n n n n n n ?++=?++=+∴ ?+=+?+=+?==-= +++--=+++=+++∞→ 从而 )()1(,1 2 , 1n g n g n n a >+∴>++>又 19．（本题满分12分） 证：（1）EF//AC EF ⊥BD EF ⊥BB 1 可知EF ⊥平面BDD 1B 1，又EF ?面B 1EF ， 111B BDD EFB ⊥∴ （2）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H ，易证D 1H ⊥面B 1EF H D d 1=∴在,sin ,1111111H B D B D H D HB D Rt ∠?=?中 3 161722117163131)3(17 17161716 17 4 sin sin ,42222111111111111111=????=??= -=-=== =∴==∠=∠=?==∴?EF B D B S d EF B U EFD U U H D d GB B B GB B H B D B A B D 20．（本题满分12分） 解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为 f (x ) 万元，B 产品的利润为 g (x ) 万元 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知4 14 1 )1(1= ∴= k f ) 0(4 5)() 0(41 )(:4 5,25)4(2≥=≥==∴= x x x g x x x f k g 从而又 （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元；设企业利润为y 万元。 75 .342510,41665,25)100(16 65 )25(4145410,10)100(,10454)10()(max 22=-=≈==≤≤+--=+-==-≤≤∴-+= -+=x y t t t t t y t x x x x x g x f y 此时时当则令 答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时,企业获得大利润约4万元。 21．（本题满分12分） 解：（1）]23,[)()2(;1,02 2 +++===n n n n x f b a c 的值域为 32+=n a n ) 52(5252151)521321()11191()9171()7151(5 21 321)52()32(22)3(3211+= +-=+-+++-+-+-=++++=∴+- +=+?+=?= +n n n n n b b b b S n n n n a a B n n n n n 22．（本题满分14分）解： . 0,0,02.41231)1(20)2(,1)1(1244)1(4)()(,2, 20,,01 )(,2, 20,,01 )()2(1 8 14114112,832411,81221 4430 34160124,0)(0)2(,0)(,1)1()()()1(02222122 12212121121212102<<∴>-=<-<+-<+-=+=--=-+=-=-∴<<>=-=-∴<<>=*=?->->-=-<<->-<<-????>-+<-+><>*+-+=-=b b a b x b b b g b a a a b x x x x x x x x x a x x x x x a x x a a b x a b a a a b a b a b a x g g a x b ax x x f x g 综上有又得代入有由得 即两根同号即两根同号可知由也有得 即且依条件得且设