第三部分代数结构练习题

《离散数学》第三部分----代数结构

一、选择或填空

1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )。

2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )；

3、设〈G,*〉是一个群，则

(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；

(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。

4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。

5、代数系统是一个群，则G的等幂元是( )。

6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。

7、群的等幂元是( )，有( )个。

8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。

9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则

(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。

10、是的子群的充分必要条件是( )。

11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。

12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。

13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）

(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|

14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

(1) 不可能是群(2) 不一定是群

(3) 一定是群(4) 是交换群

15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶

16、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

(1) （N,≤） (2) （Z,≥）

(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),?)

18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂

五、证明或解答：

1、求循环群C 12={e,a,a 2,…,a 11}中H={e,a 4,a 8}的所有右陪集。

解：

2、求下列置换的运算：

（1）???? ??14334221 ???? ??14233241;（2）3

163564235241???? ??

3、I 上的二元运算*定义为：?a,b ∈I ，a*b=a+b-2。试问是循环群吗？解：

4、设是群，a∈G。令H={x∈G|a〃x=x〃a}。试证：H 是G 的子群。证明：

5、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。

证明：

6、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。

证明：

7、设是群，a,b∈G，a≠e，且a4〃b=b〃a5。试证a〃b≠b〃a。

证明：

8、I上的二元运算*定义为：?a,b∈I，a*b=a+b-2。试证：为群。

证明：

9、单位元有惟一逆元。

证明：

10、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e≠0。证明：

11、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。

证明：

12、证明在一个群中单位元是惟一的。

证明：

13、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。

证明：

14、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a*x=b。证明：

15、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当?a,b∈S，（a〃b）2=a2〃b2。

证明：

16、设G＝(a)，{e}≠H≤G，a m是H中a 的最小正幂，则

（1） H＝(a m)；

（2）若G为无限群，则H也是无限群；

证明：

17、在一个群中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。

证明：

离散数学代数结构作业部分答案

第四章代数结构（作业） 作业：P86：4、7、9 4、 （1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有： (x*y)*z = (x+y+xy)*z = (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz x*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz = (x*y)*z 因此，*运算满足结合律。 （3）假设e为（Z,*）的幺元，则有： 任选整数集中的一个元素x，都有 0*x = 0+x+0×x=x且 x*0 = x+0+x×0=x 故0是(Z,*)的幺元。 7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元； （N+ ,*）无幺元； （N+ ,*）的零元为1。 9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d； （A,*）中的幺元：b； （A,*）中的零元：c； a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a， 作业：P87：12、13、18 12、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为： f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3; 或者： f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1; 13、同构映射f为： f(0)=?, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};

或者： f(0)=?, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b}; 18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b) 由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。 作业：P96：3，P97：7 3、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c = 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc) = 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc = (a*b)*c 故*运算满足结合律。 （3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。 所以（Z,*）是独异点。 7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为： ({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*) P105：3、4、13 3、??????1100b a ×??????220 0b a ＝??? ?? ?212100b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。 故（G,×）是封闭的。 而 (??????1100b a ×??????2200b a )×??????3300b a =??????212 100b b a a ×????? ?3300b a =??????3213 2100b b b a a a ??????1100b a ×(????? ?22 00b a ×??????3300b a )=??????1100b a ×??????323 200b b a a =??????3213210 0b b b a a a 故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）

近世代数基础习题课答案到第二章9题

第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e

为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.

近世代数基础练习题

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。 证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。 对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。 证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。 对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环， 故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。 证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。 对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈

∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。 证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。 对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想， 故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。

第三部分代数结构练习题

《离散数学》第三部分----代数结构 一、选择或填空 1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。 2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )； 3、设〈G,*〉是一个群，则 (1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )； (2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。 4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。 5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。 6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。 7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。 8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则 (1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。 10、<H,,?>是<G,,?>的子群的充分必要条件是( )。 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。 12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（） (1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 (1) 不可能是群 (2) 不一定是群 (3) 一定是群 (4) 是交换群 1

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续

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§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数习题解析

近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题 1.剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群. 4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。 8、9-置换??? ? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 10. 24Z 中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。 12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。 13. 在整数环Z 中，23+=__________________； 14、n 次对称群S n 的阶是_____. 15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________. 18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个. 20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域?n 是_________. 23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8 a =_______________。 25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n =___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。 三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）

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§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ο”：a οb=ab(a,b ∈Z)，则“ο”是Z 的一个二元运算。 （ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有 =?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。 2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个. 2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个. 2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： _____________________________________________。 2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。 2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等 价类。则[][]?=b a ______________。 2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么 =j i A A I ______________。 2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ?2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。 2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出 M 的所有不同的等价类的个数是______________。 2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ?秩(A)= 秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。 2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如 下：A~B ?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。 2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ?秩(A)=秩(B),则由”~”确定 的等价类有_____________________个。

韩士安 近世代数 课后习题解答

习题1-1(参考解答) 1. （1）姊妹关系 （2）()(),P S ? （3） (),{1},1a b Z a b ∈?≠,.例如(2 ,6 )2,(3 ,6 )3,==但()2,31=. 2. 若b 不存在，则上述推理有误.例如{}{~~~~}S a b c R b c c b b b c c =,,,：,,,. 3. (1)自反性:,(),,n A M E GL R A EAE ?∈?∈=~A A ∴ 对称性: 1111,,~,,(),,,,().~.n n A B M A B P Q GL R A PBQ B P AQ P Q GL R B A ?????∈?∈==∈∴ 传递性: 12211221212,,~,~,,,,(),,,,n A BC M A B B C P Q P Q GL R A PBQ B P CQ A PP CQ Q ?∈?∈===1212,(),~.n PP Q Q GL R A C ∈∴ (2) 自反性:1,(),,~.n A M E GL R A E AE A A ??∈?∈=∴ 对称性: ()11,,~,(),,,(),~.T T n n A B M ifA B T GL R A T BT B T BT T GL R B A ???∈?∈=∴=∈∴ 传递性: 121122,,,~,~,,(),,,T T n A B C M ifA B B C T T GL R A T BT B T CT ?∈?∈== ()12211221,T T T A T T CT T TT CT T ∴==12(),~.n TT GL R A C ∈∴ (3) 自反性:()1,,,~.n n A GL E GL R A E AE A A ??∈?∈=∴ 对称性: 1,(),~,(),,n n A B GL R ifA B T GL R A T BT ??∈?∈= () 1 1 111,(),~n B TAT T AT T GL R B A ?????∴==∈∴. 传递性: 11121122,,(),~,~,,(),,,n n A B C GL R A B B C T T GL R A T BT B T CT ???∈?∈== ()()1 1112212121,A T T CT T T T C T T ???∴==21(),~.n T T GL R A C ∈∴ 4. 证明: (1) 反身性:,()(),~a A a a a a φφ?∈=∴Q (2)对称性: ,,~,()(),()(),.a b A ifa b a b b a b a φφφφ∈=∴==

图论与代数结构第一二三章习题解答

习题一 1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。 3. 4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3. 以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。这样可得一个有向图。 本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： 5. 可以。 6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。 1） 若可以找到点v ，d(v)>5，则与v 相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个 相互不认识（作K 6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色(设为红)，这三边的另一顶点设为v 2, v 3, v 4。若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△）。若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识，这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识 2） 若可以找到点v ，d(v)<5，不与v 相连的点至少有4个，由于没有4个人相互认识，所 以这4个人中至少有2个人相互不认识，这两个人与v 共3个人相互不认识 ∑ ∑∑∑∑ ∑∑==+====-=++=-==---=--=n i i n i i n i n i n i n i i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 1211 2 212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。 ，　所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－ ( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 ) ( 4, 1, 3 )

近世代数期末考试试题库

WORD 格式整理 世代数模拟试题一 一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 分。 1、设 A ＝B ＝R(实数集 ) ，如果 A 到 B 的映射 ：x →x ＋2， x ∈R ，则 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 A ×B 中含 有（ d ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的 ( 两方程解一样 ) 4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（ c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（ d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、设集合 A 1,0,1 ； B 1,2 ，则有B A 。 2、若有元素 e ∈R 使每 a ∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元 。 3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环 。 4、偶数环是 整数环的子环。 5、一个集合 A 的若干个 -- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全 。 6、每一个有限群都有与一个置换群 同构 。 7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1，元 a 的逆元是 a-1 。 8、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I S R ，如果 I 是 R 的最大理想，那么 --------- 。 9、一个除环的中心是一个 - 域----- 。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1、设置换 和 分别为： 12345678 ， 12345678 ，判断 和 的奇偶性，并把 和 64173528 23187654 写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积： (1653)( 247)(8) (123)( 48)(57)(6) 可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积： (13)(15)(16)(24)( 27) (13)(12)(48)(57) B 1 (A A) C 1 (A A)

代数结构

1、设二元运算x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 吸收律 C. 幂等律 D. 消去律 2、在正整数集上定义二元运算y x y x = ，则它满足( ) A.交换律 B. 结合律 C.幂等律 D. 消去律 3、设Z 是整数集，在Z 上定义二元运算y y x = ，则它满足( ) A.交换律、幂等律 B. 结合律、幂等律 C.幂等律、消去律 D. 消去律、结合律 4、Z 是整数集，定义Z 上的二元运算，x y x Z y x =∈? ,,，则该运算不满足．．．交换律、结合律、幂等律中的 律。 5 设R 为实数集，定义R 上4个二元运算，不满足．．． 结合律的是（ ）。 A.y x y x -= B. 2++=y x y x C.},min{y x y x = D. },max{y x y x = 6、S=Q ×Q,其中Q 为有理数集合，定义S 上的二元运算*，?,∈S *=,则<3,4>*<1,2>= 。 7、 设Z 为整数集，定义Z 上4个二元运算，有单位元的是（ ）。 A.y x y x -= B. y x y x += C.},min{y x y x = D. },max{y x y x = 8、设A={a,b,c},则代数系统>?<),(A P 的单位元和零元是( ) 9、设A={1,2},则群>?<),(A P 的单位元和零元是( ) A. Φ与A B. A 与Φ C. {1}与Φ D. {1}与A 10、设A={a,b,c},则代数系统>< ),(A P 的单位元．．．和零元．． 是( ) A. Φ与A B. A 与Φ C. {1}与Φ D. {1}与A 11、〈4Z ，⊕〉模4加群， 则3是 阶元， 12、〈4Z ，⊕〉模4加群， 则2 ⊕2⊕1= 。

自考数学教育专业-近世代数习题指导

自考《近世代数》练习1及答案 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 2、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且（ ） 3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 4、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同； ②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），

近世代数复习题答案啊

《近世代数》复习题答案 一、填空题 1、256 24 2、x x e ? x k x ? 3、0ab ≠ 0ab ≥ 4、{}[0,1]Q ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8 5、1n + 2n c 6、4Z klein 四元群 7、（12345） （12345） （34） n ！ 8、mn 1 9、4 1p - 2 10、4 4 11、置换 变换 12、1113Z Z 或 不变子群 13、{0} G 14、{()1,}x f x x G A =∈= {}2m 15、m H 16、{,0a b a b Z c ?? ∈ ??? } {[0],[2],[4],[6]} 17、55 a b + 零因子 18、432 [3][4][4][2]x x x x ++-+ [0],[1],[3],[4]x = 19、（d ） {}dk k Z ∈

20、[3],[6][1],[2],[ p- 21、([0]),([1]),([2]),([3])[4]([0]),([1]),([2]),([3 22、{} +∈∈ xq x p p Z q x Z x ∈{()2,()[]} ar R 23、R的单位元1 I的零元Q 24、(2,)x素元 25、1,i i i i i +---- ±±23,23,23,3 26、 1±1 二、单项选择 1、D 2、D 3、B 4、D 5、D 6、C 7、 D 8、D 9、D 10、D 11、B 12、B 13、C 14、D 15、 D 16、C 17、B 18、D 19、D 20、D 三．辨析题 1、×2.×3、√4、√5、×6、×7、× 8×9、×10、√ 四，证明题： 1、①,s ?∈、 f g G +=+∈ f g x f x g x G ()()()()s ②,,s ?∈ t g f G [][] ++=++=++=++ ()()()()()()()()()() t f g x t x f g x t x f x g x t f g x

代数结构简介

第三篇代数结构 Algebraic Structures

引言： 1）代数结构也称为代数系统，是抽象代数的主要研究对象。 2）抽象代数是数学的一个分支，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。 3）抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象，因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。

抽象代数学的主要内容： 1）研究各种各样的代数系统，它是在较高的观点上，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开其个性，抽出其共性，用统一的方法描述、研 究和推理，从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应用到那些 系统中去，高度的抽象产生了广泛的应用。

构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算⊕也构成了代数系统。

考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统，其中A是一个集合，?是A上的可交换、可结合的运算，这类代数系统实际上就是交换半群。

为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 23x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，· ）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。