29．设A 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组=Ax b 有惟一解的充要条件是( ). (A) m n =;
(B) =0Ax 只有零解;
(C) 向量b 可由A 的列向量组线性表出;
(D) A 的列向量组线性无关，而增广矩阵(,)A b 的列向量组线性相关. 30．若向量组1,,ααm 线性相关，且110ααm m k k ++=，则( ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.
31．若向量组1,
,ααm 线性无关，且11m m k k ++=0αα，则( ).
(A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.
32．n 维向量12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是( ). (A) 12,,,s ααα中有一个零向量;
(B) 12,,,s ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示; (C) 12,,,s ααα中任意两个向量成比例; (D) s n >.
33．n 维向量12,,,s ααα线性无关的充要条件是( ).
(A) 存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠0ααα; (B) 12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关;
(C) 12,,,s ααα中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示; (D) 12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.
34．设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中( ). (A) 必有一列元素全为零;
(B) 必有两列元素对应成比例;
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合; (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.
35．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关. 则( ). (A) α必可由,,βγδ线性表示; (B) β必不可由,,αγδ线性表示; (C) δ必可由,,αβγ线性表示; (D) δ必不可由,,αβγ线性表示. 36．设n 维向量组
1,,m αα和 1,,m ββ，若存在两组不全为零的数1,
,m λλ和
1,
,m k k 使得
111111()()()()m m m m m m k k k k λλλλ++
+++-+
+-=0ααββ，
则( ).
(A) 1,,m αα和
1,,m ββ都线性相关;
(B) 1,,m αα和 1,,m ββ都线性无关;
(C) 11,,m m ++αβαβ和 11,,m m --αβαβ线性无关; (D) 11,,m m ++αβαβ和 11,,m m --αβαβ线性相关.
37．设向量组 123,,ααα线性无关，向量1β可由 123,,ααα线性表示，而向量2β不可由 123,,ααα线性表示，则对任常数k ，必有( ).
(A) 123,,ααα，12k +ββ线性无关； (B) 123,,ααα，12k +ββ线性相关； (C) 123,,ααα，12k +ββ线性无关； (D) 123,,ααα，12k +ββ线性相关.
38．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则向量组( ). (A) 12233441,,,++++αααααααα线性无关； (B) 12233441,,,----αααααααα线性无关； (C) 12233441,,,+++-αααααααα线性无关； (D) 12233441,,,++--αααααααα线性无关.
39．设向量组0A 为有限向量组A 的部分组，下列命题正确的是( ). (A) 若向量组A 线性相关，则向量组0A 必线性相关; (B) 若向量组A 线性无关，则向量组0A 必线性无关; (C) 秩0R A R A <()(); (D) 秩0R A R A =()(). 40．设向量组1,
,s αα的秩1(,,)s R r =αα，则( ).
(A) 必定r s <;
(B) 向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关; (C) 向量组中任意r 个向量线性无关; (D) 向量组中任意1r +个向量必线性相关.
41．设向量组A 的秩为1r ，向量组B 的秩为2r ，A 组可由B 组线性表示，则1r 与2r 的关系为( ). (A) 12r r ≥; (B) 12r r ≤; (C) 12r r =; (D) 不能确定.
42．设向量组12:,,
,r A ααα可由向量组12:,,,s B βββ线性表示，则( ). (A) 当s r <时，向量组A 必线性相关; (B) 当s r >时，向量组A 必线性相关; (C) 当s r <时，向量组B 必线性相关; (D) 当s r >时，向量组B 必线性相关. 43．设n 维列向量组(1):1,,m αα()m n <线性无关，则n 维列向量组(2):1,,m ββ线
性无关的充分必要条件是( ). (A) (1)可由(2)线性表示； (B) (2)可由(1)线性表示； (C) (1)与(2)等价；
(D) 矩阵1(,,)m αα与矩阵1(,,)m ββ等价.
44．设A 为3阶矩阵，A 的特征值为0，1，2，那么齐次线性方程组=0Ax 的基础解 系所含解向量的个数为( ).
(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.
45．设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵21
13
-()A 有一个特征值为( ).
(A) 43; (B) 34; (C) 12; (D) 14
. 46．若n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ，则A 的一个特征值为( ).
(A) a ; (B) a -; (C) 0; (D) 1
a -.
47．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，
12()+A αα线性无关的充分必要条件是( ).
(A) 01≠λ； (B) 02≠λ； (C) 01=λ； (D) 02=λ.
48．已知矩阵223012x ?? ?-??有一个特征向量53-??
???
，则x =( ).
(A) 180-; (B) 16-; (C) 14-; (D) 12-.
49．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( ).
(A) 充分必要条件； (B) 充分而非必要条件； (C) 必要而非充分条件； (D) 既非充分也非必要条件.
50. 设A 为4阶对称矩阵，且2
+=A A O ，若A 的秩为3，则A 相似于( ). (A) diag(1,1,1,0)； (B) diag(1,1,1,0)-； (C) diag(1,1,1,0)--； (D) diag(1,1,1,0)---.
线性代数习题3答案(高等教育出版社)
习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设（，，），（，，），（，，），求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，） （，，）（，，）（，，）（，，） 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设（）（）（），其中（，，，） （，，，），（，，，），求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（）， 所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，）， （，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解：因为线性方程组的解为 所以得： 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 （）（，，），（，，），（，， 111 1235, 1355t t t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性， ，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数考试题及答案3
2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a 【 】5.设矩阵A 与B 等价，则有 __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ _____ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ …… …… … … … … … … … … （ 密 ） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组0S 的秩=0s R 。 5.设λ是方阵A 的特征值，则 是2 A 的特征值
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
线性代数复习题
共10页第 1 页 线性代数复习题 一．填空题 1．求下列各排列的逆序数t ： 3 5 2 1 4 ，t = ；3 4 2 5 1 ，t = ；2 5 4 3 1 ，t = 。 2．计算三阶行列式 ==0 142012k k D ；当=k 、 时，得8-=D 。 3．已知矩阵?? ? ???=??????=c b b a B y x A ,。 =T A ，=B A T ，=BA A T 。 4．已知二阶方阵 )0(≠??????--+=a b a b b b a A 。=A ，=*A ，=-1A 。 5．设A 、B 都是三阶方阵，已知2,3=-=B A 。 =A 2 ，=B 3 ，=AB 2 。 6．已知三阶方阵 ?? ?? ? ?????--=507312123A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式 。 7．n 元线性方程组b Ax =无解的充要条件是)(A R ，有唯一解的充要条件是)(A R ，有无限多解的充要条件是)(A R 。 8．已知向量组A 构成的矩阵为 A ?? ?? ? ?????---==k k k a a a 111111),,(321。当≠k 、 、 时，向量组A 线性无关。 9．已知向量组T T a a A ),2(,)3,1(:21α=-=；向量T b )3,(β=。当α 、β 时，b 不能由A 线性表示；当α 时，b 可由A 线性表示且表示式唯一。
10．已知三阶方阵 ?? ?? ??????---=80202020 1A 。 计算： 一阶主子式= ，二阶主子式= ，三阶主子式= 。 11．求下列各排列的逆序数t ： 1 2 3 4 ，t = ；3 4 2 1 ，t = ；2 4 1 3 ，t = 。 12．计算三阶行列式 =-=k k k k D 111 11 ；当=k 、 时，得4=D 。 13．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=??????????--=150421321 ,111111111B A 。 =AB ，=-A AB 23 ，=B A T 。 14．已知二阶方阵 ? ?? ???-=a a A 12。=A ，=*A ，=-1A 。 15．设A 、B 都是三阶方阵，已知1,2-=-=B A 。 =A 3 ，=B 2 ，=AB 。 16．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=43121101 3A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式 。 17．n 元齐次线性方程组O Ax =有非零解的充要条件是)(A R ，线性方程组b Ax =有解的充要条件是)(A R ，矩阵方程B AX =有解的充要条件是 )(A R 。
线性代数试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。 三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 27．已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关. 28．设A，B都是正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 试卷说明：表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，| |表示方阵的行列式。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．排列53142的逆序数τ（53142）=（） A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列等式中正确的是（） A．B． C．D．
3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（） A．k|A| B．|k||A| C．|A| D．|A| 4．设n阶方阵A满足，则必有（） A．不可逆B．可逆 C．可逆D． 5．设，，，则关系式（） 的矩阵表示形式是 A．B． C．D． 6．若向量组（Ⅰ）：可由向量组（Ⅱ）：线性表示，则必有（） A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C．r≤s D．r>s 7．设是非齐次线性方程组的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（） A．B． C．D． 8．设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（） A．也是正交矩阵B．也是正交矩阵 C．也是正交矩阵D．也是正交矩阵 9．下列二次型中，秩为2的二次型是（） A．B． C．D． 10．已知矩阵，则二次型（） A．B． C．D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．已知A，B为n阶矩阵，=2，=－3，则=_________________. 12．已知，E是3阶单位矩阵，则＝_________________. 13．若线性无关，而线性相关，则向量组的一个最大线性无关组为_________________. 14．若向量组线性无关，则t应满足条件_________________. 15．设是方程组的基础解系，则向量组的秩为_________________. 16．设，，则的内积（）＝________________. 17．设齐次线性方程组＝的解空间的维数是2，则a＝______________. 18．若实二次型正定，则t的取值范围是_________________. 19．实二次型的正惯性指数p＝_________________. 20．设A为n阶方阵，，若A有特征值λ，则必有特征值_________________. 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 21．计算行列式 . 22．设实数满足条件＝，求及 . 23．求向量组 ，，， 的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示.
线性代数B复习题
线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)线性代数试题及答案。。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
2020线性代数试题(带解题过程)
线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ； 【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到公式，E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3)1(- ◆2． 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ 你来做 下面的三个题： （1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关） （2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关？线性相关？（答案：当1≠mk 时，无关；当1=mk 时，相关） （3）教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4，2)(=A r ，321,,ηηη是它的三个解，且
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试卷及参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100?????????? (B)100000010?? ?? ?? ???? (C) 100020001????????? ?(D) 100012001????-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且2 50A A E +-=。则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1() 3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 （） （A ）A 与B 相似（B ）A B ≠，但|A-B |=0 （C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 二、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。（） 2．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则 111)(---=A B AB 。（）
8线性代数练习题(带解题过程)
8线性代数练习题(带解题过程)
０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
１ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性
线性代数试题及答案
2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型 ()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()2 3 2221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=
线性代数模试题试题库
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 2 3 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+线性代数练习题
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系专业班 姓名学号 §2.4 逆矩阵 一．选择题 1 ． 设 * A 是n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1 -* =n A A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 二、填空题： 1．已知A B AB =-，其中??? ? ??-=1221B ，则=A 2．设??? ? ??=???? ??12643152X ，则X = 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则1 2-* B A = 46 n - 4．设矩阵A 满足042 =-+E A A ，则= --1 )(E A 22 A E + 三、计算与证明题： 1． 设方阵A 满足022 =--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1 -A 和1 2-+)(E A 答案： 2． 设??? ? ? ??---=14524 3121A ，求A 的逆矩阵1-A 答案：
(完整版)线性代数试卷及答案详解
《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：
《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分）
1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）
线性代数模拟试题
模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × ) 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ ) 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ) 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( ) 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分) 1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 . 2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 . 3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 . 4、已知()?? ?? ? ??-==256, 102B A 则=AB 10 . 5、若? ?? ? ??--=1225A ，则=-1 A . 6、设矩阵???? ? ??--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 . 7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E . 9、设=A ??? ? ? ??-50021 011 1t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)
线性代数复习题
线性代数复习题 一：判断题 1. 任何一个非零向量组均可以进行施密特正交化 2. n 个n+1维向量组一定线性相关 3. 若 n 元线性方程组的系数矩阵的秩小于n, 则此方程组有无穷多解. 4. 若 n 元齐线性方程组有非零解，则这个方程组有无穷多个解。 5. 任何一个n 阶矩阵都相似于一个n 阶对角矩阵. 6. k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量. 7. 如果n 阶行列式中有n n -2个（以上的）元素为0， 则该行列式的值为0。 8. 秩为r 的矩阵的所有r 阶子式都不为零. 9. 向量组线性无关当且仅当其中任一向量均不能被其他向量线性表出. 10. 如果两个同阶矩阵有相同的特征值，则他们相似。 二：选择题 1. 如果D = ??? ?? ??333231232221131211 a a a a a a a a a ，且D = M, D 1 = ??? ? ? ?? 333231232221 131211222222222a a a a a a a a a , 则1D = ( ) A. 2 M B.-2 M C. 8 M D. -8 M 2．设A, B 为2个n 阶矩阵，则关于矩阵的秩，下列式子不正确的是： （ ） A. )}(),(min{)(B r A r AB r ≤ B. )()()(B r A r B A r +≤+ C. )()()(B r A r B A r -≤- D. )()(*A r A r ≤ 3.设A 为四(三，二)阶矩阵且|A|=a, 则其伴随矩阵A *的行列式|A *|为: ( ) A. a B.a 2 C.a 3 D.a 4 4.下列结论中不正确的是: ( ) A.若向量α与β正交,则对任意实数a,b, a α与b β也正交. B 若向量β与向量α1, α2正交,则β与α1, α2的任一线性组合也正交. C.若向量α与β正交,则α与β中至少有一个是零向量. D.若向量α与任意同维向量正交,则α是零向量. 5. 21,λλ都是n 阶距阵A 的特征值且21,λλ≠，21,X X 分别是对应于21,λλ 的特征向量，下面哪个条件使得2211X k X k X +=
线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷） 专业年级： 学号： 姓名： 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 在每小题列出の四个备选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填写在题后の括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设n m A ?为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T 为正定矩阵の (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。 2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-== βαααA ， 1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A (A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。 3．设向量组s ααα，，， Λ21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，，Λ21线 性表示，则以下结论中不能成立の是 (A) 向量组s βββ，，， Λ21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，， Λ2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，， Λ2线性无关； (D) 向量组s ααα，，， Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价。 4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确の是 (A) 若A の列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A の行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A の列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A の行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。 5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，* A 为A の伴随矩阵，则 √ √
