(江苏版)2016届高考数学三轮核心热点总动员专题15三角函数与向量综合大题(原卷版)
2016年学易高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【江苏版】
热点十五函数与向量综合大题
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2013江苏高考】已知，.
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值.
例2 【2014江苏高考】（满分14分）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
例3 【2015江苏高考】在中，已知.
（1）求的长；
（2）求的值.
【热点深度剖析】
1.从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．向量中的数量积为考查的重点内容，仅作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，向量思想少有触及.平面向量在13-15年高考填空题和解答题中均有所考查，题目多为中档题，涉及到函数与方程、数形结合和等价转化的思想，着重考查学生运算求解能力. 平面向量常在解答题第一题与三角函数知识结合考查.
2. 利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.
3. 处理三角问题强调“变”为主线，变角、变名、变次、变结构特别要强化变角的训练.注
意三角函数与向量等内容的结合，重视三角函数的应用问题.
4.平面向量的概念多，向量运算与数的运算有区别，复习时应予以甄别.向量具有“形”和“数”的特征，恰当的转化是解题的关键，而建立坐标系用坐标表示向量是转化的重要手段，尤其是在出现垂直关系时，这种转化会特别奏效，在复习时要善于把握，认真领悟，注意加强对数形结合思想的运用.
5.预计16年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．
【最新考纲解读】
【重点知识整合】
1.正余弦定理，三角形面积公式
2.根据已知条件，正确合理选用正余弦定理.一般已知两角用正弦定理，已知一角求边用余弦定理
3.关注三角形中隐含条件，如
A> B
?
B
>
A
C
=
=
+
+π
+
C
=
+
-
C
cos
)
cos(
,
sin
.
sin
,
sin
B
A
B
A
A
)
sin(
,B
4.诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，配角公式三角函数图像与性质.
5. 向量加法、减法的运算，及其几何意义：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则＝12(＋)．
6．平面向量的基本定理及坐标表示. A ，P ，B 三点共线?＝λ(λ≠0)?＝(1－t )·＋t (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )?＝x ＋y (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．
7. 平面向量的数量积
8. 向量的应用
【应试技巧点拨】
1. ①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.
2. 求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.
3. 三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．
4. 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
5.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0
【考场经验分享】
1.目标要求：三角题目一般不难；三角函数重点考查化简求值、图像变换、恒等变换；要重视与其它知识的综合，如平面向量.
2.注意问题：①不可随意展开已知角，整体思想和等价转化是研究三角函数性质必备思想方法.首先将研究的对象化为形如，或或，再将看做一个角，这样就等价转化为基本三角函数，以下套用基本三角函数相关性质即可. ②对于左右平移时，要记住相对轴而言，一定要在的基础上进行加减.
3.经验分享：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
【名题精选练兵篇】
1.【淮宿连徐2016届第二次调研】在锐角三角形中，角的对边为，已知，，
（1）求；（2）若，求.
2.【淮阴中学2016期中考试】已知tanα是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角.
(1)求的值；(2)求的值.
3.【启东中学2016阶段测试】已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．
⑴求角的值；
⑵若，，成等差数列，试判断的形状．
4.【江苏省清江中学模拟】（14分）已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，求.
5.【清江中学2016届高三周练】已知函数（，）．
（1）若，求函数的单调增函数；
（2）若时，函数的最大值为，最小值为，求，的值．
6.【江苏省清江中学模拟试卷】在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点. （1）若，求存储区域面积的最大值；
（2）若，在折线MBCN内选一点D，使，求四边形存储区域DBAC的最大面积.
7.【如东中学2016届期中】已知函数（其中为常数，且）的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式
（2）若，求的值
8.【如东中学2016届上学期期中】在中，,D是边BC上一点，．
（1）求的值，（2）求的值
9.【扬州市期末检测】已知函数（）的周期为.
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知的内角，，对应的边分别为，，，若，且，，求的面积.
10. 【南京市、盐城市2016一模】设函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围.
11. 【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】
在中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．
（1）求角C 的大小；
（2）若的面积为，，求边的长．
12. 【如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题】已知函数，为的导函数，若为奇函数，求的值.
13. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】已知函数的最小正周期为． ⑴求函数的对称轴方程；
⑵设，，求的值．
14. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其
图像经过点M ???
?π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；
（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513
，求△ABC 的面积． 15. 【常州2015一模】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，．
（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC 的面积．
16． 【镇江2015一模】已知的面积为，且.
（1）求；
（2）若,求.
17. 【镇江2015一模】某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近.现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）.设小岛到的距离为，船到小岛的距离为.
（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；
（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）.
18. 【南京盐城2015一模】在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边
与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.
（1）求函数的值域；
（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.
19.【扬州2015一模】已知函数部分图象如图所示。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的值域。
20.【泰州2015一模】（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，角的终边经过点．
（１）求的值；
（２）若关于轴的对称点为，求的值．
21.【连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015一模】（本小题满分14分）
己知向量，．
(1)若，求的值：
(2)若，且，求的值．
22.【苏州2015一模】已知向量，且共线，其中.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【名师原创测试篇】
1.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，
(1)求函数的解析式及其单调增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.
2.已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形中，若，，求△的面积．
3.已知．，其中、为锐角，且．
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
4.如图，设是单位圆上一点，一个动点从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.秒时，动点到达点，秒时动点到达点.设，其纵坐标满足.
（1）求点的坐标，并求；
（2）若，求的取值范围.
5.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围
6.已知函数
（1）求函数的最大值，并指出取到最大值时对应的的值；
（2）若，且，计算的值.
7.在中,已知.
(1)求证:;
（2）若求角A的大小.
8.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且，求△ABC的面积及AB的长.