反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解

第七章、反比例函数 (1)

一、反比例函数知识要点点拨 (1)

二,、典型例题 (2)

三、反比例函数中考考点突破 (8)

四、达标训练 (10)

(一)、基础.过关 (10)

(二)、综合.应用 (11)

五、分类解析及培优 (13)

(一)、反比例函数k的意义 (13)

(二)、反比例函数与三角形合 (14)

(三)、反比例函数与相似三角形 (15)

(四)、反比例函数与全等三角形 (15)

(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)

(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)

1、联手演绎无交点 (20)

2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)

3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)

4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)

(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)

(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)

六、拓展练习 (26)

练习(一) (26)

练习（二） (28)

练习(三) (32)

本章参考答案 (35)

后跫胥俜

第七章、反比例函数

反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。

一、反比例函数知识要点点拨

1、反比例函数的图象和性质：

2、反比例函数与正比例函数

(0)y kx k =≠的异同点：

二,、典型例题

例 1

下面函数中，哪些是反比例函数？

（1）3x y -

=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8

1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．

说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x

k

y =

)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．

x y 后跫胥俜挠力

O 后跫胥俜挠力

x 后跫胥俜挠力

y 后跫胥俜挠力

O 后跫胥俜挠力

例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．

(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；

(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；

(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；

(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．

答：

说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数6

2

)2(--=a

x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．

分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6

2

)2(--=a

x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，

所以???>--=-.

02,

162a a 解得???>±=.2,5a a

所以5=a ，解析式为x

y 2

5-=

． 例4 （1）若函数2

2

)1(--=m

x m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）

A ．±1

B ．1

C ．3

D ．－1

（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数x y 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若A

B C ?的面积为S ，则：

A ．1=S

B ．2=S

C ．3=S

D ．S 的值不确定

解：（1）依题意，得???-=-≠-,

12,

012m m 解得1-=m ．

故应选D ． （2）由双曲线x

y 1

=

关于O 点的中心对称性，可知：O BC O BA S S ??=．

∴12

1

22=?=??==?AB OB AB OB S S OBA ． 故应选A ．

例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．

分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，

所以)0(,212

211≠=

=k k x

k y x k y ． 所以x

k

x k y y y 2121+=+=．

将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得

??

?

??=+=+.531

3,42121k k k k 解得 ???

???

?

==.821,8

1121k k 所以x

x y 821

811+=

． 所以当1-=x 时，48

21

811-=--

=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了2

1k k 、的值．

例 6 根据下列表格x 与

（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．

解：（1）图像如右图所示．

（2）根据图像，设)0(≠=

k x

k

y ，取6,1==y x 代入，得1

6k

=

． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6

>=

x x

y ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数x

y 3

=

在同一坐标系中的图像大致是如图中的

（ ）

（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数x

k

y =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）

解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又x

y 3

=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．

（2）若0>k ，则直线)1(2

+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线x

k

y =

的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0

例8， 已知函数2

4231-??

? ??+=m x

m y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y

随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．

解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242

-=-m ，所以21=

m 或.21

-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以3

1

->m ，

所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65

x

y =

说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数x

k

y = )0(≠k ，当0>k 时，

y 随x 增大而减小，当0

例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．

（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．

分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米，

所以1005=xy ，所以x

y 20=

．

（2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，3

2

6320==

y （厘米） （4

描点画图如图所示．

例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．

说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．

解 据S F W ?=，得15=S F ?，即S F 15

=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）．

例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.3

2如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？

解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.S

F

p =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是03

2

S ，

由S

F

p =

，且0S S =时，200=p ，有.20020000S S pS F =?==

因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当03

2

S S =

时，).Pa (3003

220000

===

S S S

F p 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．

说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．

例12 如图，P 是反比例函数x

k

y =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．

分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．

解 设P 点坐标为),(y x ．

因为P 点在第二象限，所以0,0>

又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为x

y 2-

=． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于x

k

y =

中的k ． 例13. 当n 取什么值时，1

22

)2(-++=n n

x n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在

每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？

分析 根据反比例函数的定义)0(≠=

k x

k

y 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022

≠+n n 且112

-=-+n n ．

解 1

22

)2(-++=n n

x n n y 是反比例函数，则

?????-=-+≠+,11,

0222n n n n ∴??

?-==-≠≠.

10,20n n n n 或且即 1-=n ． 故当1-=n 时，1

22

)2(-++=n n

x n n y 表示反比例函数：x

y 1

-

=．01<-=k ， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．

三、反比例函数中考考点突破

1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数

x k y 12--=

的图像上. 下列结论中正确的是

A ．

321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >> 2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x

y 2

-=交于),(),,(2211y x B y x A 两

点,则122183y x y x -的值为( )

A.-5

B.-10

C.5

D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)k

y k x

=

<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 A ．

12 B ．9 C ．6 D ．4

4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=

x x

k

y 的图像上。正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x

k

y 的图像又经过A 、E 两

点，则点E 的横坐标为__________。

5、（2010内蒙赤峰）已知反比例函数x

y 2

=，当－4≤x ≤－1时，y 的最大值是___________. 6、（2010 广西钦州市）反比例函数k

y x

=

（k >0）的图象与经过原点的直线l 相交于A 、B 两点，已知A 点的坐标为（2，1），那么B 点的坐标为 ．

7、（2010广西南宁）如图7所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且32211A A

A A OA ==,分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与分比例函数)0(8

>=

x x

y 的图像分别 交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B 、2B 、3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C 、2C 、3C ，连

接1OB 、2OB 、3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 ．

8、（2010年山西15题）如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，

点P 在x 轴上，△ABP 面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。

【答案】x

y 4=

9、（2010江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线 y = k

x (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标

分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则 k= ．

10、（2010 福建德化）如图，直线43y x =

与双曲线k

y x

=（0x >）交于点A ．将 直线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k

y x

=（0x >）交于点B ，与x 轴交于点C ，

第6题

则C 点的坐标为___________；若2AO BC

=，则k = ．

11、（2010福建南平）函数y= 4x 和y=1x 在第一象限内的图像如图，点P 是y= 4

x 的图像

上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1

x 的图像于点B.给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面

积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA= 1

3AP.

其中所有正确结论的序号是______________.

四、达标训练

(一)、基础·过关

1．在反比例函数y=

x

2

的图象上的一个点的坐标是（ ） A.（2，1) B.（－2，1) C.（2，21) D.（2

1

,2）

2．对于函数y=x

3

，下列判断正确的是（ ）

A.图象经过点（－1，3）

B.图象在第二、四象限

C.图象所在的每个象限内，y 随x 的增大而减小；

D.不论x 为何值时，总有y ＞0 3．已知反比例函数y=x

6

的图象经过点（a ，b ），（c ，d ），且b ＜d ＜0，则a 与c 的大小关系是（ ）

A.a ＞c ＞0

B.a ＜c ＜0

C.c ＞a ＞0

D.c ＜a ＜0

第11题

4．在反比例函数y=

x

k

（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1－y 2的值为( )

A.正数

B.负数

C.非正数

D.非负数 5．设反比例函数y=

x

m

-3的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0

k

的图象上，则k=__________，在图象的每一支上，y 随x 的增大而_________. 7.若反比例函数y=x

k

经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第____象限.

8.正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=

x

k

的图象有一个交点的纵坐标是2， 求：（1）x=－3时反比例函数y 的值；（2）当－3

6

2-a ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式.

(二)、综合·应用

10．函数y=－ax ＋a 与y=

x

a

-（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是图17－1－6中的（ ）

图17－1－6

11．在平面直角坐标系内，过反比例函数y=

x

k

（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为___________. 12.若函数y=(2m －1)x 与y=

x

m

-3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是________. 13.在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么所得直线

与函数y=

x

2

的图象的交点共有几个？ 14.已知反比例函数y=x k 的图象经过点A （4，2

1

），若一次函数y=x+1的图象平移后经过该

反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标. 15、三个反比例函数:(1)y=

x k 1;（2）y=x k

2;（3）y=x

k 3在x 轴上方的图象如图17－1－7所

示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系是________.

15题图 16题 图

16、两个反比例函数y=

x 3,y=x 6

在第一象限内的图象如图17－1－8所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数y=x

6

的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐

标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 分别作y 轴的平行线，与y=

x

3

的图象的交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则y 2 005=____________.

17、如图17－1－9所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=x

k （k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（－1，2）. （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标；

（3）利用图象直接写出当x 在什么范围内时，y 1>y 2.

17题 图

18．已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=x

8

的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求：

（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积.

五、分类解析及培优

(一)、反比例函数k 的意义

代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x 、y ），则k=xy

（1） 当x 、y 变为-x 、-y 时，k 不变，可知双曲线的两支关于原点对称。

几何意义：

（1）过反比例函数图象上一点分别作x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为

k

（2）过图象上的任一点P 作x 轴(或y 轴)的垂线，连接OP ，则垂线段、OP 、x 轴(或y 轴)围成三角形的面积为

2

1k .

（3）k ?0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小；k ?0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y 随x 的增大而增大；

我们抓住反比例函数 k 的意义可以快解题。 A 、 快得解析式

例1、某反比例函数的图象过点M （1,3）,则此反比例函数的解析式为＿＿＿＿。 解析：由代数意义知k=1×3=3则解析式为y=x

3

B 、 快判断点是否在图象上。

例2、在平面直角坐标系中有六个点A （1，5）,B （-3，-35）,C （-5,-1）D （-2，2

5），E （3，

3

5

）,F （

2

5,2）

其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是＿＿＿＿。 解析:由代数意义分别求出k ，除D 点的k=-5外，其它都为5，因而点D 不在这个反比例函数图象上

C 、快确定图象所在的象限

例3、已知反比例函数y=

x

k 的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_____象限。

解析: k=-1?2=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。

D 、快比较大小

例4、若A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ）是y=x

k

（k ?0）

上的三点，且1x ?2x ?0?3x ，则从小到大排列

1y 、2y 、3y 为_____

解析:

1x ?2x ?0，k ?0，在第二象限，k ?0,y 随x 的增大而增

大，所以

1y ?2y ?0；0?3x ，k ?0，所以3y ?0 所以3y ?2y ?1y

E 、快得图形的面积

例5、如图，直线y=mx 与y=x

k 交于A 、B 两点，过A 作AM 垂直x 轴，垂足为M ，连接BM ，若k =2,

则

S

ABm

?=___.

解析：双曲线的两支关于

原点对称。所以O 为AB 的中点，又OAM S ?=1，则

S

ABm

?=2.

例6、如图，y=

x

k 经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于D ，若梯形ODBC

的面积为3，则双曲线的解析式为_____

解析：S △DOA=2

1

k ，四边形ECOF 的面积为k ，由 S △DOA+S DBCE 梯形=S 矩形ＡＢＣＯ，则2

1

k +3=2k ；解得k =2 F 、

快得图象上的两点与原点构成三角形面积。

如图1，由几何意义知S △COA=S △DOB,则不重叠的两部分面积相等。 例7、已知A （1,2），B （4,b ）在同一反比例函数的图象上，求S △AOB.

解析：由代数意义知y=

x

2

,b=

2

1,如图2，过分别

A 、

B 作AD ⊥x 轴,BE ⊥x 轴,AD 交OB 于C,由几何意义知S △AOC=S 四边形BCDE

则S △AOB=S 梯形ABED =

21(2

1+2)（4-1）=

2

1

×

2

5×3=

4

15 (二)、反比例函数与三角形合

反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。 1、反比例函数与直角三角形

例1、如图1所示，P 是反比例函数y=

6

x

在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴， 随着x 的逐渐增大，△APO 的面积将（ ）

A 、增大

B 、减小

C 、不变

D 、无法确定 （09年德城）。

分析：设点P 的坐标是（a ，b ），

所以ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a ，AP=b ， 所以，三角形AOB 的面积是：

AO AP ??21=2

1

ab=3，

因此，三角形的面积是不变的定值。解：选C 。 2、反比例函数与底边是定长的动态三角形

例2、如图2，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是 双曲线3

y x

=

（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， OAB △的面积将会：A ．逐渐增大

B ．不变

C ．逐渐减小

D ．先增大后减

小（兰州市2009年） 分析：三角形OAB 的面积是：

2

1

×OA ×h ，因为，点A 是x 轴正半轴上的一个定点， 所以，OA 是一个定长，所以，三角形OAB 的面积有OA 上的h 决定，而这里的h 恰好是点B 的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k 大于0时，y 随x 的增大而减小， 所以，当点B 的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选C 。

(三)、反比例函数与相似三角形

例3、如图3所示，在直角坐标系中，△OBA ∽△DOC ，边OA 、OC 都在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），∠BAO =∠OCD =90°，OD =5．反比例函数(0)k

y x x

=

>的图象经过点D ，交AB 边于点E ．（1）求k 的值．（2）求BE 的长．（09年长春市） 分析：

解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。

解：（1）因为，△OBA ∽△DOC ，

所以，OC BA DC OA =因为，B (6，8)，∠BAO =90?，所以，84

63

OC DC ==． 在Rt △COD 中，OD =5，所以，OC =4，DC =3．所以，D (4，3)．

因为，点D 在函数k y x =的图象上，所以，34

k

=．

所以，12k =．（2）因为，E 是12(0)y x x =>图象与AB 的交点，所以，AE =12

6

=2．所以，BE =8－2=6．

(四)、反比例函数与全等三角形

例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y=

x

m

在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)．过点C 作CE 上y 轴于E ，

过点D 作DF 上X 轴于F ．

(1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；(3)求证：△AEC ≌△DFB ． 分析：

(五)、反比函数图像上四种三角形的面积

反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 A 、三角形面积的四个结论

结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。 如图1所示，

设P （a ，b ）是反比例函数y=

x

k

（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则|k|=2S 。

结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。 如图2所示，

设P （a ，b ）是反比例函数y=

x

k

（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则|k|=2S 。

结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。如图3所示。 证明1：

因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y=

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以，

x k x

k

1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=

1

1k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（

1

1k kk ，

1kk ），

当x =-

1

1k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-

1

1k kk ，-1kk ），所以，OC

的长度是

1

1k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积

=

21×OC ×AC+2

1

×OC ×BD

=

21×11k kk ×1kk +21×1

1k kk ×|-1kk | =

21k+2

1

k=k 。所以，与k 1无关。 证明2、根据结论1，知道三角形AOC 的面积是

2

1k ，

三角形BOC 的面积=

21×OC ×BD 2

11

1k kk |-1kk |=

2

1

k ， 所以，三角形ABC 的面积= k 。

结论4、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。如图4所示。 因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与 反比例函数y=

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点， 所以，

x k x

k

1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=

11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的（

1

1k kk 1kk ），

当x =-

1

1k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-1

1k kk ，-1kk ），

所以，OC 的长度是1

1k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOE 的面积+三角形BOD 的面积

+矩形ODCE 的面积 =

21×OE ×AE+2

1

×OD ×BD+OD ×DC =

21×11k kk ×1kk +21×|-11k kk |×|-1kk |+1

1k kk ×|-1kk | =

21k+2

1

k+k=2k 。所以，与k 1无关。 B 、结论的具体应用

这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 例1、如图5，若点A 在反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．（08年巴中市）

分析：根据结论1，知道面积S 与k 之间有如下的关系：|k |=2S ，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k ＜0，所以 k=-6.解：k =-6. 例2、两个反比例函数y=

x k 和y=x 1

在第一象限内的图象，如图6所示，点P 在y=x

k

的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交

y=

x 1的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=x 1的图象于点B ，当点P 在y=x

k

的图象上运动时，以下结论：

① △ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点． 其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市）

分析：因为，点A 、B 都在反比例函数y=

x

1

的图像上，根据结论1和结论2，知道; △ ODB 与△OCA 的面积相等,所以，①是正确的； 如图7所示，连接OP ，

根据结论1知道，三角形POC 的面积为21k ，是个常数，三角形OAC 的面积是2

1， 所以，三角形PAO 的面积是

21k-2

1

，是个常数， 根据结论2知道，三角形POD 的面积为21k ，是个常数，三角形OBD 的面积是2

1

，

所以，三角形PBO 的面积是21k-2

1

，是个常数，

所以，四边形PBOA 的面积等于三角形PAO 的面积+三角形PBO 的面积=21k-21+21k-2

1

=k-1，是一个定值，所以②是正确的；

设点P 的坐标为（m ，n ），因为，点P 在k

y x

=的图象上，反比例函数在第一象限内， 所以，mn=k ，m ＞0，n ＞0，因为，PC ⊥x 轴于点C ，交1

y x

=的图象于点A ，

所以，点A 的横坐标为m ，所以，点A 的纵坐标为m 1，即点A 的坐标为（m ，m

1

）； 因为，PD ⊥y 轴于点D ，交1

y x

=的图象于点B ，所以，点B 的纵坐标为n ，所以，点A 的横坐标为

n 1，即点B 的坐标为（n 1，n ），PA=PC-AC=n-m 1=m mn 1-,PB=PD-BD=m-n 1=n

mn 1-， 分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n 时，PA=PB 才能成立，所以，即③是

不正确的；当点A 是PC 的中点时，有PA=AC 即

m mn 1-=m

1

，所以，mn=2，即k=2， 所以，点P 的坐标为（m ，m 2），即点B 的坐标为（2m ，m

2

），所以，点B 是PD 的中

点，所以，当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．即④是正确的；因此，一定正

确的是①②④.

例3、如图8，一次函数1

22

y x =

-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)k

y k x

=>的图象于Q ，32OQC S ?=，

则k 的值和Q 点的坐标分别为_________________________.（08年荆州市）

简析：根据结论1知道：因为k 是大于0的，所以，k=2S=2

×

23=3，即y=x

3

，设Q 的坐标为（m ，n ），则mn 因为，一次函数1

22

y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，

所以，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，-2）， 所以，线段OA =4,因为，PC 为△AOB 的中位线，

所以，点C 是线段OA 的中点，所以，OC=2,即点Q 的横坐

标为m =2，所以，n=23，所以点Q 的坐标为（2，2

3

）。 例4、如图9，反比例函数y=x

5

的图象与直线y=kx （k ＞0）

相交于A 、B 两点，AC ∥

BC ∥轴，则△ABC 的面积等

于 个面积单位。 简析：因为，反比例函数y=

x

5

中k=5，根据结论4，所以，△ABC 的面积等于2k=10。本题的最大特点是吧，把几何中的三角形全等问题引入函数的图像中，充分体现数形的完美组合。

解：（1）因为，点c(1，6)在反比例函数y=x

m

的图像上，所以，1×6=m ，所以，m=6， 因为，点D(3，n) 在反比例函数y=

x

m

的图像上，所以，3×n=6，所以，n=2； （2）设设直线AB 的解析式是y=kx+b ，

所以，?

??=+=+236b k b k ，解得：k=-2，b=8所以，直线AB 的解析式是y=-2x+8。

（3）因为，直线AB 的解析式是y=-2x+8，令x=0，得y=8，即直线与y 轴的交点坐标是（0，

8），即A 的坐标是（0，8），所以，OA=8,令y=0，得x=4，即直线与x 轴的交点坐标是（4，0），即B 的坐标是（4，0），所以，OB=4,又因为，点C(1，6)、点D(3，2)，所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以，AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1，因此，AE=DF ，CE=BF, 因为,∠AEC=∠DFB ＝90°,所以,△AEC ≌△DFB ．

(六)、反比例函数与一次函数相交题

反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。

1、联手演绎无交点

例1、函数x

k

1y

-=

的图象与直线x y =没有交点，那么k 的取值范围是： A 、1k > B 、1k < C 、1k -> D 、1k -<(2008年扬州市)

分析：反比例函数y=x

k

（k ≠0）与正比例函数y=ax （a ≠0）要想没有交点，函数的图像必须不能分布在

相同的象限内，具体应满足如下的两种情形：①如果反比例函数的图像分布在一、三象限，则正比例函数的图像必须分布在二、四象限，即k ＞0，则a ＜0；②如果反比例函数的图像分布在二、四象限，则正比例函数的图像必须分布在一、三象限，即k ＜0，则a ＞0。 解：因为，函数x

k 1y

-=

的图象与直线x y =没有交点，且正比例函数的图像分布在一、三象限，

所以，反比例函数的图像必须分布在二、四象限，所以，1-k ＜0，所以，k ＞1，所以，选择A 。

2、联手演绎已知一个交点的坐标

例2、已知直线

mx y =与双曲线x

k y =

的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；k =____；它

们的另一个交点坐标是______．（08梅州）

分析:函数的交点坐标，一定同时满足两个函数的解析式。这是骄傲点坐标的一个最大的特点。 所以，在具体的解答过程中，同学们只需把交点的坐标分别代入两个函数的解析式。 在求另一个交点的坐标时，建立起方程就可以。 解：因为，直线

mx y =与双曲线x

k

y =

的一个交点A 的坐标为（-1，-2），所以，-2=m ×（-1）,-2=

1

-k

， 解得：m=2，k=2，所以，函数的解析式分别是：y=2x 和y=

x

2；令：2x=

x

2，所以，x 2

=1，所以，x=-1，或

x=1；当x=1时，y=2，所以，另一个交点的坐标是（1，2）。

3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布

例3、已知反比例函数

y =x

a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，则一次函数

y =-a x +a 的图象不经过．．．

（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （08茂名） 分析：因为，反比例函数

y =x

a (a ≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减少，所以，a ＞0，因

此，-a ＜0，所以，y=-ax+a 一定经过二、四象限，和第一象限，因此，函数的图像一定不经过的是第三象限。选C 。

4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标

例4、在平面直角坐标系xoy 中，直线

y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数k

y x

=

的