概率论强化实践考作业答案
第一章 随机事件与概率
一．计算题
1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).
解:由全概率公式得， P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )
即：0.2=0.4P(B|A)+0.6*0.3
P(B|A)=0.05 因为，)|()
()(P A B P A P AB = P(AB)=0.05*0.4
P(AB)=0.02 P(A|B)=P(B)
P(AB)=0.02/0.2=0.1 2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；
(4) ()P A B ；(5)P (B -A ).
解：(1). P(A )=1-P(A)=0.8，P(B )=1-P(B)=0.7
(2). P(AB)=P(A)-P(A-B)
=0.2-(0.3-0.2)
=0.2-0.1
=0.1
(3). P(A B ) =P(A)-P(AB)
=0.2-0.1
=0.1
(4).P( B A )=P(A)+P(B)-P(AB)
=0.2+0.3-0.1
=0.4
(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)
=0.3-0.1
=0.2
3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .
解：(1). 因为A 与B 互不相容,P(A+B)=P(A)+P(B)
P(B)=P(A+B)-P(A)
=0.9-0.6
0.3
P(AB )=1-P(A+B)=1-0.9=0.1
(2). P(A|B )=1-P(A|B)
P(A|B)=B)
(P P(AB)=0.3 P(A|B )=1-0.3=0.7
(3). P(B A )=P( B A )=1-P( B A )
=1-[P(A)+P(B)]
=1-0.9
=0.1
4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B )；(2) ()P AB ；
(3)P (A|B ).
解; (1)由公式，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P （A ）=0.4>0, P(B)=P(B|A)
P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(A)*P(B)
0.6=0.4+P(B)-P(A)*P(B)
0.6=0.4+0.6P(B)
P(B)=6.02.0=3
1 (2)()P AB =P(A)-P(AB)
=0.4-P(A)P(B)
=0.4-0.4*31
=154 (3)P(A|B)=P(B)P(AB)=0.4
5.设A,B 为两个随机事件，P （A ）=0.5，P( B A )=0.8,P(AB)=0.3求P(B)
解：由P( B A )=P （A ）+P(B)-P(AB).得
P(B)=P( B A )-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6
第二章 随机变量及其概率分布
1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x
，求X 的概率密度函数.
解：f(X)=F`(X)={其他
100x 2
<≤x 2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5).
解; x 的分布函数：
F(x)={11102
.00x 0
≥<≤ P(x<0.5)=F(0.5)=0.2 3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数. f(x)={其他0x 0a -b 1 b ≤≤, 分布函数为， F(x)={b x b x a a ≥<<≤1a -b a -x x 0 : 4.设随机变量X ~N (3, 4)，求：(1)P (2 解：μ=.3，σ=2，记F(x)为x 的分布函数 (1)P(2 (2)P(-4 =F(10)-F(4)=Φ(3.5)-Φ(-3.5)=2Φ(3.5)-1=0.9996 (3).P(|x|>2)=1-P{|x|≤2}=1-P{2x 2≤≤-} =1-F(2)+F(-2)=1-Φ(-0.5)+Φ(-2.5)=1.6915-0.9935=0.698 (4).P(x>3)=P(x ≥3)=1-Φ(0)=0.5 5.已知随机变量X 的密度函数为2,01()0, kx x f x ?<<=??其它，求：(1)常数k ；(2)分布函数；(3)(10.5)P X -<<. 解;(1)2,01()0,kx x f x ?<<=??其它,F(x)={11 10x 00≥<< ,所以K-1=2，k=3 (2)由(1)知F(x)= { 1110x 00 ≥<< =0.125 第三章 多维随机变量及其概率分布 1.已知二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布为： (1)确定常数C ； (2)求(X , Y )关于X ，Y 的边缘分布. 解;(1)由分布律性质得 1/4+1/6+c+1/4+1/8+1/12=1 Y X 0 1 2 0 1 14 16 C 14 18 112 则C=8 1 (2)(x,y)关于x 的边缘分布为 P{X=0}=P1.=P11+P21+P31=1/4+1/6+1/8= 2413 P{x=1}=P2.=P12+P22+P32=1/4+1/8+1/12= 2411 (X,Y)关于Y 的边缘分布为 P{Y=0}=P.1=P11+P12= 2 1 P{Y=1}=p.2=p21+p22=24 7 P{Y=2}=p.3=p31+p32=245 2.已知二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布为： 求(X , Y )关于X ，Y 的边缘分布. 解; P{X=0}=P1.=P11+P21+P31= 6 1 P{X=1}=P2.=P12+P22+P32=12 5 P{X=3}=P3.=P13+P23+P33=4 1 P{X=5}=P4.=P14+P24+P34=61 (X,Y)关于Y 的边缘分布： P{Y=1}=P.1=P11+P12+p13+p14=12 5 Y X 1 2 4 0 1 3 5 112 0 112 14 16 0 0 112 16 112 0 112 P{Y=2}=p.2=p21+p22p23+p24= 4 1 P{Y=4}=p.3=p31+p32+p33+p34=31 5.设二维随机变量(X , Y )的分布律为： 试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？ 解：因为 P{x=1,y=1}=91 P{x=1}*P{y=1}=91 P{X=1,Y=2}=92 P{x=1}=31,P{Y=2}=32 P{X=1}*P{Y=2}=92 P{x=2，y=1}=P{X=2}*P{Y=1}=92 P{X=2，Y=2}=P{X=2}*P{Y=2}=94 所以认为X 与Y 相互独立。 7.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为4, 01,01(,)0, xy x y f x y <<< 边缘概率密度. 解：X f (x)=?+∞ ∞-dy y x ),(f =?1 0xy 40{dy ={1 0x 203< 同理，Y f (y)=?+∞∞-dx x y 4={1 0y 203< 1 2 19 2 9 2 9 4 9 8.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为22221,(,)0, x y R f x y R π?+≤?=???其它，求边缘 概率密度. 解;关于X 边缘密度函数为X f (x)=? +∞∞-),(dy y x f , 当|X|>R 时，X f (x)=?+∞ ∞-),(f dy y x =0. 当|X|≤R 时，X f (x)=?+∞∞-),(f dy y x =dy R X R ?-2222X R 21π=2 22R X R 2π- 所以X f (x)={R |X |R |X |R X R 2022 2≤>-π 同理R y R R y R Y y ≤>-=|||y |20 222{)(f π 第四章 随机变量的数字特征 计算题: 1.设随机变量X 的分布律为 求：(1)EX ；(2)E (X 2)；(3)E (3X 3+5). 解：EX=-2*0.4+0*0.3+2*0.3=-0.2 E(2X )=(-2)2*0.4+4*0.3=2.8 E(3X 3+5)=2.6 2.设随机变量X 的分布律为 求：期望EX 与方差DX . 解： EX=1*0.2+2*0.5+3*0.3=2.1 X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 X 1 2 3 P 0.2 0.5 0.3 方差DX=EX 2-（EX ）2 EX 2=4.9 所以DX=4.9-2.1*2.1=0.49 3.设随机变量X 的概率密度为6(1),01()0, x x x f x -< 1 EX 2=dx x x x dx x f ??+∞∞--=1022)1(6)(x =10 3 DX=EX 2-(EX)2=20 1 7.已知二维随机变量(X , Y )的概率分布为 求：协方差(,)Cov X Y 与相关系数,X Y ρ. 解：协方差(,)Cov X Y =E （X,Y ）-EXEY 先求X,Y 的边缘分布 X 的边缘分布; X 1 2 P 0.4 0.6 Y 的边缘分布： Y 0 1 2 3 P 0.3 0.2 0.4 0.1 Y X 0 1 2 3 1 2 0.1 0.2 0.1 0 0.2 0 0.3 0.1 EX=1.6，EY=1.3 EX 2=2.8 ， EY 2=2.7 EXY=2.2 故(,)Cov X Y =E(XY)-EXEY=2.2-1.6*1.3=0.12 DX=EX 2-（EX ）2 =0.24 DY=EY 2-（EY ）2=1.01 相关系数24.0DY DX Y X Cov ==），（ρ 5. 设连续型随机变量X 的密度函数为： 2,01()0, x x f x else < 可看出：E(2X)=2EX 第五章 大数定律及中心极限定理 1.已知随机变量X 服从均匀分布U [0，1]，估计下列概率： (1)1{|0.5|}3 P X -≥； (2) 13{}22 P X -<<. 解：由P{|X-E(X)|≥ε}≤ 2)(D εX ,得 P{|X-0.5|≥3 1}≤31D(X) 1022x xdx =??123100444|33x dx x ===?(2)2()E X xf x dx +∞-∞=?22()EX x f x dx +∞-∞=?1202x xdx =??13 4100112|22x dx x ===? 因为变量X 服从均匀分布U[0,1] 所以E （X ）=2 11)(=-=??+∞∞-xdx a b dx x xp b a D(x)=E(x 2)-[E(x)]2= 12 1 P{|X-0.5|31≥}41≤ 2.设X i (i =1, 2, ...,50)是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P (0.03), 令 50 1i i Z X ==∑，试用中心极限定理计算(3)P Z ≥. 解： 易知，E(X k )=0.03,D(X k )=0.03(k=1,2...50) 有中心极限定理得，随机变量 Z=03.0*5003 .0*50X 501k k -∑=近似服从标准正态分布N(0,1)于是 P{Z ≥3}=1-P{Z 3≤}1103.003.05003.0*5031=--≈）（ φ 3.设P (A )=0.4，现在进行1000次独立重复试验，(1)估计事件A 发生的次数在300~500之间的概率；(2)求事件A 发生的次数在300~500之间的概率. 解： （1）设事件A 服从参数n=1000，p=0.04的二项分布 于是有 E(x)=np=100*0.04=400 D(x)=npq=1000*0.4*0.6=240 P{300 2100 240976.0≈ (2)利用中心极限定理。得 X~B （1000，0.4）np=1000*0.4=400 492.15npq = P{300≤x ≤500}=p{ }492.154005006 .0*4.0*10004.0*1000x 492.15400300-≤-≤- 1455.62-≈）（φ 4.设P (A )=0.5，利用中心极限定理求在100次重复独立试验中A 至少发生60次的概率. 解： X 表示事件A 发生的次数，则X~B （100,0.5） 所以E （X ）=100*0.5=50，D(X)=100*0.5*(1-0.5)=25 所以P （X 60≥）=p(25 50602550-x -≥)0228.021=-≈）（φ 5.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击命中目标的炮弹数是一个随机变量，其期望为2，均方差为1.5，求在 100 次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率. 解：令 X i 表示第 i 次射击命中的炮弹数， 则 X i ( i = 1, 2, …, 100) 独立同分布. EXi =2,DXi =1.52 = 2.25. 第六章 统计量及其抽样分布 1.已知样本值如下： 19.1, 20.0, 21.2, 18.8, 19.6, 20.5, 22.0, 21.6, 19.4, 20.3. 1001i i X =∑“100次射击命中目标的炮弹数”. 10010011()200, ()100 2.25225.i i i i E X D X ====?=∑∑1001(200,225).i i X N =∑由中心极限定理得：近似服从1001(180220)i i P X =≤≤∑220200180200()()1515--≈Φ-Φ42()10.8165.3 =Φ-≈ 求样本均值x ，样本方差2s ，样本二阶中心矩2b . 解：()25.2010 1* 3.20 4.196.210.22 5.20 6.198.182.210.201.19x =+++++++++= 样本方差： 165.1)(1101s 10 122=--=∑=i i x x 样本二阶中心距 0485.0x 101B 2 10 1 i 2=-=∑=）（x i 3.设某种灯泡的寿命X 服从参数为λ的指数分布，12,,...,n X X X 是取自总体X 的样本，求样本分布密度函数. 解：概率密度为： ()000{>≤-=x x e X x x f λλ 样本分布密度为： ())...2,1(00211{)().....(n i x e n X X X i n i i x n x f x f x f =>∑==-其他λ λ 4.假设某网站在一小时内的点击率X 服从参数为λ的泊松分布，12,,...,n X X X 是取自总体X 的样本，求样本分布. 解; 概率函数为)0(!}{)(p >===-λλλe x x X P x x X 从而简单随机样本X1，X2，.....Xn 的样本分布为： λλn n n i i n X X e x x x x x P x P -=∑=!!...!)()......(x P 21121 X ）（ 5.若 X~N (μ ,σ 2)，样本(X1,X2, …,X n+1)来自总体X. Xn 与 Sn2 为样本均值和样本方差.求统计量 的分布 第七章 参数估计 1.设总体()2~,X N μσ，123,,X X X 为取自总体X 的样本，则1123211?5102 X X X θ=++，2123 111?333X X X θ=++ 都是μ的无偏估计量. 解：∵()1123211211?5 1025102E E X X X θμμμμ??=++=++= ???； ∵() 2123111111?3 33333E E X X X θμμμμ??=++=++= ???. ∴ 它们都是μ的无偏估计量. 2.正态总体()2~,X N μσ，其中2σ未知，求μ的置信区间. 且相互独立 21~(,)n X N μσ+1~(0,1)1n n X X N n n σ+-+21(1)~(0,)n n n X X N n σ++-~(1)t n -11n n n X X n S n +-=+11n n n X X n S n +-+且相互独立，则 222(-1)~(1)n n S n χσ-1221(1)/(1)n n n X X n n T n S n σσ +-+=--2~(,)n X N n σμ 由于2σ未知，所以用2σ的无偏估计量()2 21 11n i i S X X n ==--∑，引入统计量()~1X T t n S n μ-=-， 对于给定的置信度1α-，查t 分布表，确定临界值()2 1t n α-， 使得()()22111X P t n t n S n ααμα????-??--<<-=-???????? ， 即，()()22111S S P X t n X t n n n ααμα????--?<<+-? =-?????? 于是，得到均值μ的置信度为 1α-的置信区间为：()()221,1S S X t n X t n n n αα??--? +-? ??? . 3. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的11S = ，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的置信度为0.95的置信区间。 解：由于未知，故的置信度为 1α-的置信区间为()()()()222212211,11n S n S n n ααχχ-??-- ? ?-- ??? ， 代入数据得29,121,n S ==，0.05,0.025,10.97522ααα==-=，()()2 2 0.0252 1817.54n αχχ-==， ()()2 20.9751281 2.18n α χχ-=-=. 所以， 的置信度为0.95的置信区间为：81218121,17.54 2.18????= ???()55.19,444.04； 的置信度为0.95的置信区间为：() 55.19,444.04 ()7.43,21.07=. 4.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的置信度为0.95的置信区间. 解： 由于和都未知，故的置信区间为()()221,1S S X t n X t n n n αα??--? +-? ??? 代入数据得：()20.02565.14,126.48,11.25,7,6 2.45,x S S n t ===== 所以，的置信度为0.95的置信区间为： 11.2511.2565.14 2.45,65.14 2.4577??-?+? ?? ?()()65.1410.42,65.1410.4254.72,75.56=-+= 5.. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm ）： 14.7 , 15.0 , 14.9 , 14.8 , 15.2 , 15.1， 求的置信度0.9的置信区间和置信度0.99 的置信区间。 解： 由于已知，所以选用的置信区间22,X u X u n n αασσ??-?+? ??? 。 当 ，0.1α=，10.952α-=，查表得2u α=1.64； 当，0.01α=，10.9952α -=；查表得2u α=2.576； 代入数据得 的置信度0.9的置信区间为 ，即为 。 的置信度0.99 的置信区间 为 ，即 为 。 第八章 假设检验 1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定标准重量为250克，标准差不超过3克时机器工作 为正常，每天定时检验机器情况，现抽取16罐，测得平均重量252=X 克，样本标准差4=S 克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机器工作是否正常？ 解：设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ， 因为2σ未知，在0H 成立下，)15(~/250t n S X T -= 拒绝域为)}15(|{|025.0t T >，查表得1315.2)5(025.0=≠t 由样本值算得1315.22<=T ，故接受0H (2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知，选统计量 202 2)1(σS n x -= 在0H 成立条件下，2x 服从)15(2x 分布， 拒绝域为)}15({205.02x x >，查表得996.24)15(205.0=x ， 现算得966.24667.269 16152>=?= x ？拒绝0H ， 综合(1)和(2)得，以为机器工作不正常 2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25 件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布， 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格. 解：设元件寿命),(~2σμN X ，2σ已知10002=σ，05.0,950,25===αX n 检验假设1000:0=μH 1000:1<μH 在2σ已知条件下，设统计量)1,0(~/1000N n X σμ-= 拒绝域为}{05.0μμ<，查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025 /1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ，所以以为这批产品不合格. 3. 对 显 著 水 平 α， 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0， H 1 ; μ ≠ μ0， 问当 μ0， μ， α一 定 时 ， 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ？并 说 明 理 由 。 答 ： ( 1 ) 对 。 ( 2 ) 增 大 n ， 使 概 率 分 布 更 集 中 ， 使 H 1 的 拒 绝 域 及 H 0 的 接 受 域 均 变 小 ， 二 者 交 集 也 变 小 。 4、 甲 制 药 厂 进 行 有 关 麻 疹 疫 菌 效 果 的 研 究 ， 用 X 表 示 一 个 人 用 这 种 疫 菌 注 射 后 的 抗 体 强 度 。 假 定 X ~ N ( μ， σ2 ) 另 一 家 与 之 竞 争 的 乙 制 药 厂 生 产 的 同 种 疫 菌 的 平 均 抗 体 强 度 是 1.9 ， 若 甲 厂 为 证 实 其 产 菌 有 更 高 的 平 均 抗 体 问 ： ( 1 ) 如 何 提 出 零 假 设 和 配 择 假 设 ？ ( 2 ) 从 甲 厂 取 容 量 为 16 的 样 本 ， 测 得 x s ==2225026866672.,. 检 验 ( 1 ) 的 假 设 。 α = 0.05。 ( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 ) 解：( 1 ) H 0： μ = μ0 = 1.9； H 1 ： μ > μ0 = 1.9 ( 2 ) t x s n =-=-=μ02225190268666716 25081.... 由 于 t = 2.5081 > 1.7531 ===== t 0.95 ( 15 ) = t 1-α( n -1 ) 故拒绝H 0，即在α = 0.05下可以认为甲厂的产品有更高的平均抗体。 5、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。 C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构 成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 195。 C 和 8。 C 。 这 些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 α = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。 ( 已 知 t 0.95 ( 15 ) = 1.7531 ) 解: 这 问 题 即 是 在 α = 0.05 下 ， 检 验 H 0： μ = μ0 =190； H 1： μ > μ0 =190 ( σ2 末 知 ) t x s n =-=-=μ019519081625. 由 于 t = 2.5 > 1.7531 === t 0.95( 15 ) === t 1-α ( n -1 ) 故 拒 绝 H 0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均 工 作 温 度 高 于 190。 C 。 6、 测 定 某 种 溶 液 中 的 水 份 ，由 它 的 10 个 测 定 值 ，算 得 .%037.0,%452.0==s x 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ，能 否 认 为 该 溶 液 含 水 量 小 于 0.5% ？ ( α = 0.05 )， ( 已 知 t 0.95 ( 9 ) = 1.833 ) 解: 这 问 题 即 是 在 ( α = 0.05 ) 下 ， 检 验 假 设 H 0： μ = μ0 = 0.5%； H 1： μ < μ0 = 0.5% t x s n =-=-=-μ00452050037104102.... 由 于 t = -4.102 < -1.8331 == -t 0.95( 9 ) = t α( n -1 ) 故 拒 绝 H 0 即 认 为 溶 液 的 含 水 量 小 于 0.5% 第九章 回归分析 1、为研究某一化学反应过程中温度x 对产品得率Y 的影响，测得数据如下。 x ( ℃) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 Y ( % ) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 求出Y 关于x 的一元线性回归方程。 解：先画出散点图如下 100110120130140150160170180190 45505560 65 70 75 80 85 90 计算出 3985193282503.6714510======xy yy xx S S S y x n 483.0?==xx xy S S b 735.2??-=-=x b y a 所求的回归方程是x y 483.0735.2?+-=。 2、用T 检验法检验题1中的回归效果是否显著（)05.0=α？ 解：934.0)?(21?22=--=xx yy S b S n σ ，从而966.0?=σ，394.45??==xx S b T σ 查表得306.2)8(025.0=t ，由于)8(025.0t T >，说明回归效果是显著的。 方法2：F 检验法 采用如下检验统计量： )2,1(~) 2/(--=n F n Q Q F e R ，其中xx R S b Q 2?=，R yy e Q S Q -= 对一个小概率α，若)2,1(->n F F α，则接受1H ，即认为线性假设成立，所建立的线性回归方程正确。 3、某种产品在生产过程中的废品率Y 与它所含的某种物质量x 有关，现将试验所得16组数据记录列于下表。 x 34 36 37 38 39 39 39 40 Y 1.30 1.00 0.73 0.90 0.81 0.70 0.60 0.50 x 40 41 42 43 43 45 47 48 Y 0.44 0.56 0.30 0.42 0.35 0.40 0.41 0.60 要求建立Y 关于x 的回归方程。 解：先画出散点图如下 3436384042444648 0.20.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 提示 ),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++= 令)2,1(==i x x i i ，从而化成多元线性回归： ),0(~,222110σεεN x b x b b Y +++= ?? ?? ? ? ? ??=????? ?? ??=230448112963611156341,60.000.130.1 X Y 得到T B )0093.0,8205.0,484.18(?-=，所求回归方程是20093.08205.04840.18?x x y +-=。 4、求题1中温度1450=x ℃时，产品得率Y 的预测值和置信度为95%的预测区间。 解：预测值为296.67145483.0735.2?0=?+-=y 预测区间为 )63.69,96.64()(1011?)8(?2 0025.00=-++?±xx S x x t y σ 5、用F 检验法检验题1中的回归效果是否显著（)01.0=α？ 解：6.1924?2==xx R S b Q ，5.7≈-=R yy e Q S Q 26.11)8,1(4.20478/01.0=>==F Q Q F e R ，说明回归效果是显著的。 第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ). ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 第一章 随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是 ( B ) . A. AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =ΩU 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少 有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A U B.12A A C.12A A D.12A A U 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3）， 则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B =U 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). 第一章测试 1 【单选题】(10分) 设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=()。 A. {1,2,5,6,7,9,10} B. {1,2,5,6,7,8,9,10} C. {1,2,4,5,6,7,8,9,10} D. {1,2,3,5,6,7,8,9,10} 2 【单选题】(10分) 同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为()。 A. 0.325 B. 0.125 C. 0.375 D. 0.25 3 【单选题】(10分) 假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。 A. B. C. D. 4 【单选题】(10分) 设A，B为任意两个事件，则下式成立的为()。 A. B. C. D. 5 【单选题】(10分) 设则＝（）。 A. 0.48 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.30 6 【单选题】(10分) 设A与B互不相容，则结论肯定正确的是()。 A. B. C. D. 与互不相容 7 【单选题】(10分) 已知随机事件A,B满足条件，且，则（）。 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 8 【单选题】(10分) 若事件相互独立，且，则()。 A. 0.665 B. 0.875 C. 0.775 D. 0.95 9 【单选题】(5分) A. B. C. D. 10 【判断题】(5分) 不可能事件的概率一定为0。（） A. 对 B. 错 11 【判断题】(5分) A. 错 B. 对 12 【判断题】(5分) 贝叶斯公式计算的是非条件概率。（） 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 线性代数与概率统计作 业题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 《线性代数与概率统 计 》 第一部分 单项选择题 1．计算112212 12 x x x x ++=++（A ） A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212x x - 2．行列式1 1 1 111111 D =-=--（B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．设矩阵 231123111,112011011A B -???? ????==???? ????-???? ，求AB =（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 率统计》 率统计》作业题 4．齐次线性方程组123123123 000x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=?有 非零解，则λ=（C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5．设???? ??=50906791A ，?????? ? ? ?=6735 63 00B ，求AB =（D ） A ．1041106084?? ??? B ．1041116280?? ??? C ．1041116084?? ??? D ．1041116284?? ??? 6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,0 0A C B ?? = ??? ,则C =（D ） A ．(1)m ab - B ．(1)n ab - C ．(1)n m ab +- D ．(1)nm ab - 7．设???? ? ? ?=34 3122 321A ，求1-A =（D ） A ．1 3 23 53 22111?? ? ?- - ? ?-? ? B ．132********-?? ? ?- ? ?-?? C ．13 2353 22111-?? ? ?- ? ?-?? D ．13 23 53 22111-?? ? ?- - ? ?-? ? 8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ） A ．111[()]()()T T T A B A B ---= B ．111()A B A B ---+=+ C ．11()()k k A A --=（k 为正整数） D ．1 1()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为 正整数） 9．设矩阵m n A ?的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零 B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零 C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零 D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩， 32 1321 317051A --?? ?=- ? ?-? ? 的秩为（C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 概率统计章节作业答 案 第一章 随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的 是 ( B ). A. AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少 有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则 3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； Ⅱ、综合测试题 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). (A -B )=P (A )-P (B ) (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞ -∞=? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k == =，且0b >，则参数b 的值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 15 D. 1 8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3, k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次 出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3, k =. 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 【 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . ！ 1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 =A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件 =A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现. }),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =. 2) 由题意,可只考虑组合,则 ? ?? ?? ?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A . 3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则 ??? ? ????? ?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A . 4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =. 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 《 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0 )(=AB P 求事件C B A ,,全 不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） … （3） （2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 习题1解答 1. 写出下列随机试验的样本空间Ω： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为 {|0,1,2, ,100}i i n n Ω==. （2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=， 或写成{10,11,12, }.Ω= （3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=. （3）取直角坐标系，则有2 2 {(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<. 2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1) A 发生而B 与C 不发生； (2) A 、B 、C 中恰好发生一个； (3) A 、B 、C 中至少有一个发生； (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5) A 、B 、C 中至少有两个发生； (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生. 概率统计第3章答案 P {X=0, 丫=2 }= c ；c ； c 4 1 35 P {X=1, Y=1 }= c 3c 2c f c 4 35 第三章作业一 1. 将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现 正面的次数，以丫表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和 丫的联合分布律. 【解】X 和丫的联合分布律如表: 2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球, 在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数， 以丫表示取到白球的只数，求 X 丫的联合分布 律。 X 丫）的可能取值为（i , j ），i =0，1, 2, 3, j =0, 12, i + j >2,联合分布律为 1 2 3 丫 0 0 0 3 35 2 35 1 6 35 12 35 2 35 2 1 35 _6_ 35 3 35 班级 学号： 姓名： P {X=1, Y=2 }= C 3C 2C 2 6 C 4 _ 35 P { X=2, 2 2 Y=)}= c,= 3 P {X=2, 2 1 1 Y=| }= C 3C 2C 2 12 C ； _ 35 P { X=2, 2 2 Y=2 }= C 3C 2 - 3 C ； 35 P {X=3, 3 1 丫=)}= CCC 2 = i P {X=3, 3 1 Y=| }= C 3C 2 2 C ； 35 P {X=3, Y=2 }=0 3. 设随机变量（X Y ）的分布密度 求：(1) 常数A ; (2) 随机变量(X, Y )的分布函数; (3) P {0 < X <1, 0< Y <2}. 【解】(1 )由—f(x, y)dxdy =：0：0 「Ae -(3x " y) dxdy =￡ = 1 得 A =12 (2)由定义，有 y x F (x, y) f(u,v)dudv * r r (x, y )= 屁少杓） 0, x 0,y 0, 其他. 第三章 作业一 1. 将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 222= C C C P {X=1, Y=1 }= 3564 722 1213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35 64 712 2213= C C C C P {X=2, Y=0 }=35347 2223= C C C P {X=2, Y=1 }= 35 124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=35 347 2223= C C C P {X=3, Y=0 }=352471233= C C C P {X=3, Y=1 }=35 247 1233= C C C P {X=3, Y=2 }=0 3. 设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=???>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为 f Y （y ）=???>-., 0, 0,55其他y y e 求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 题6图 【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为 02197概率论与数理统计 一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。） 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为 【 B 】 A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B ．{ (反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D ．{先得正面，先得反面} 2. 设A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >则有 【 D 】 A. ()1()P A P B =- B. ()()()P AB P A P B = C. ()1P AB = D. ()()()P A B P A P B =+ 3. 若φ≠AB ，则下列各式中错误的是 【 C 】 A ．0)(≥A B P B.1)(≤AB P C. P(A+B)=P(A)+P(B) D. P(A-B)≤P(A) 4. 若A B ?，则下面答案错误的是 【 A 】 A. B 未发生A 可能发生 B. ()B-A 0 P ≥ C. ()B P A P ≤)( D. B 发生A 可能不发生 5. 袋中有a 个白球,d 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 【 C 】 A.21 B. 1a d + C. a a d + D. d a d + (c5) 6. 设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<概率统计章节作业答案
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