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平面向量的数量积

2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》

平面向量的数量积

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作OA

→

＝a，OB

→

＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与

b的数量积，记作a·b

投影

|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在

a方向上的投影

几何

意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ

的乘积

3.向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论几何表示坐标表示

模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21

夹角cos θ＝

a·b

|a||b|

cos θ＝

x1x2＋y1y2

x21＋y21x22＋y22

a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22)

1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？

提示不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cos θ，而b在a方向上的投影为|b|cos θ，其中θ为a与b的夹角．

2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？

提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )

(3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )

(4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )

(5)两个向量的夹角的范围是???

?0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × )

题组二教材改编

2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________.

答案 12

解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，

由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，

∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.

3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．答案－2

解析由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为

|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.

题组三易错自纠

4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.

答案 2 3 解析方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2

＝a 2＋4a ·b ＋4b 2

＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12

＝12＝2 3.

方法二 (数形结合法)

由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.

又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量数量积教学反思

平面向量数量积教学反思一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会：（1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。（2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。（3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。

平面向量的数量积知识点整理

平面向量的数量积一、平面向量数量积的含义 1. 平面向量数量积的运算 1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求. 2.△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?_________ 3.在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________ 2.夹角问题 1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角 2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____ 3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____ 4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为 5.已知向量、不共线，且||||=，则+与-的夹角为 __________ 6.在ABC ?中=，= ，=，则下列推导正确的是__ _ ① 若0

平面向量的数量积

平面向量的数量积一．选择题： 1.在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?= ( ) A ．23- B ．3 2 - C ．32 D ．23 2.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 3．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（） A ． 6π B ．3π C ．32π D ．65π 4、若向量a =),sin ,(cos θθb =(1，－1)，则|2a b -|的取值范围是( ) (A)]22,22[+ - (B)]2,0[ (C)]2,0[ (D)[1,3] 5.（选）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量 1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（） A ．ππ 63 ， B ． 2ππ36 ， C ．ππ36， D ．ππ33 ，二．填空题： 1、如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +?的最小值是__________． 2．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。 3.（选）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是。三．解答题； 1． △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m =(2sinB ，2-cos2B)， 2(2sin (),1)42 B n π=+ ,m ⊥n , (I) 求角B 的大小； O P C B A 第13题图

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二) 平面向量数量积的应用的关系平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF → ＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB → 的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________.

题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD → 等于( ) A.－3 2a 2 B.－34a 2 C.3 4 a 2 D.3 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝????? x ，x ≥y ，y ，x

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示(精讲)(原卷版)

6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精讲）

考法一数量积的坐标运算【例1】（1）（2020·全国高一）向量()2,3a =-，()2,1b =，则a b ?=（） A ．1 B ．1- C ．7 D ．0 （2）（2020·全国高一）已知向量(1,3)a =，(b =-，则a 与b 的夹角是（） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π （3）（2020·全国）已知()2,1a =，()11 b =-,，则a 在b 上的投影的数量为（） A ． 2 B ． C ．5 - D （4）（2020·天津和平区·耀华中学高一期末）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b m =+，若a b ⊥，则m 等于（） A ．7- B ．5 C ．5 2 - D ． 12 （5）（2020·黑龙江双鸭山市·双鸭山一中）设平面向量()2,1a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围______. 【一隅三反】

1．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）向量()()2112a b =-=-，，，，则() 2a b a +?=（） A ．1 B ．1- C ．6- D ．6 2．（2020·广东高一期末）向量()1,2a =-，()2,1b =，则（） A ．//a b B ．a b ⊥ C ．a 与b 的夹角为60° D ．a 与b 的夹角为30 3．（2020·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知向量(0,23),(1,3)a b ==，则向量a 在b 上的投影为（） A ．3 B C ． D ．3- 4．（2020·北京高一期末）已知向量()4,2a =，()1,b m =-，若a b ⊥，那么m 的值为（） A ． 1 2 B ．12 - C ．2 D ．2- 5．（2020·沙坪坝区·重庆八中高一期末）已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60?，则a 在b 方向上的投影为（） A B ． 72 C ．27 D 6．（2020·湖南郴州市·高一月考）若向量()2,1a =-，()1,1b =，则向量a b +与a b -的夹角的余弦值为（） A B ．C D ． 7．（2020·河北唐山市·唐山一中高一月考）平面向量()1,2a =，()4,2b =，c ma b =+（m R ∈），且 c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，则m =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 8．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______；考法二巧建坐标解数量积【例2】（2020·四川高一期末）如图，边长为1的等边△ABC 中，AD 为边BC 上的高，P 为线段AD 上的动

《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排： 2课时五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

《平面向量数量积》

平面向量数量积的物理背景及其含义【课型】：新授课【课时】：第一课时一、教材分析本节内容选自人教A版高中数学必修四第二章第二节2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。本节内容先通过物理中“功”的例子抽象出平面向量数量积的概念，了解它的物理背景，再在此基础上探究学习数量积的几何含义、性质与运算律。平面向量的数量积是继学习了向量的线性运算后的又一重要运算，在数学、物理等学科中都有广泛的应用。它既是对平面向量的深入学习与拓展，也为后续物理应用的学习、立体几何问题的解决等提供了新的思路，起着重要的承上启下的衔接作用。在平面向量数量积概念中，既有长度又有角度，既有数又有形，是代数、几何与三角的最佳结合点，也很好的体现了数形结合的数学思想方法。二、学情分析本节课的授课对象是高一学生，从知识起点看，在学习本节内容前，学生已经学习了向量的概念及其线性运算，学习了功等简单的物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法；从能力上看，学生具备了一定程度的分析问题与解决问题的能力，也形成了一定的逻辑思维；从情感上看，高一的学生对未知有探求的渴望，有学习新知的渴望。但在学习本节内容时，之前向量线性运算的知识会造成学生对数量积这个概念的理解上的偏差，干扰学生对数量积概念的理解，另外，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个不同性质的向量经过数量积运算后，结果却不是向量，这给学生的学习带来了困难。三、重难点重点：平面向量数量积的概念；难点：平面向量数量积的定义与几何意义的理解。四、三维目标（一）知识与技能

说出平面向量数量积的概念；知道平面向量数量积的物理背景；描述平面向量数量积与向量的投影的关系；（二）过程与方法通过把功这个式子推广到一般形式来学习数量积概念的过程，学习从特殊到一半的数学学习方法；通过进一步根据图式理解概念，巩固数形结合的数学思想方法。（三）情感、态度与价值观通过生活中的物理问题引出数量积的概念，体会数学与生活与其他学科密切相关；通过解答新的运算与线性运算之间的区别，感受探索的乐趣，体验到成功解决疑问的快乐。五、教学过程（一）创设情境，导入新课情景：某天老师的小车在路上抛锚了，看到前方有一修车厂，需要将车子推到修车厂门口才可以修理，老师用力F 拉动汽车产生的位移为s ，假设F 是恒力。问题：老师做了多少功？【学生活动】学生在物理知识的基础上，很容易得到:?cos Fs W =。【师生活动】教师引导学生从数学的角度看这个式子，W 是数量，F 和s 都是向量，而从物理的角度看这个式子，其中F 和s 是力向量和位移向量的大小，所以可以将该式改成：cos W s F θ→ →= 。问题：功的计算是一种向量间的运算，那是向量的线性运算么？【教师活动】教师带领学生回顾之前学习的向量的线性运算。【学生活动】学生很容易得到功的计算不属于向量的线性运算。问题：将向量的线性运算与功的计算进行比较，请学生找两者的区别。结论：有两个不同点： ① 加、减法运算都是两个同性质的向量进行运算，数乘是实数与一个向量的运算，而功的运算是两个不同性质的向量—力和位移的运算；

平面向量的数量积知识点及归纳总结

平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积 (1) 已知两个非零向量a r 和b r ，作OA →＝a r ，OB →＝b r ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a r 与b r 的夹角．记作,a b r r ，并规定,a b r r []0,π∈.如果a r 与b r 的夹角是2 π ，就称a r 与b r 垂直，记为a b ⊥r r . (2) |a r || b r |cos ,a b r r 叫作a r 与b r 的数量积(或内积)，记作a b ?r r ,即a b ?r r ＝| a r || b r |cos ,a b r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是a b ?r r =0. 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是a b ?r r ＝±| a r || b r |. 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ?r r 等于a r 的长度| a r |与b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θ的乘积．即a b ?r r ＝| a r || b r |cos θ.( b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θa b a ?=r r r ;a r 在b r 方向上的射影| a r |cos θa b b ?=r r r ). 三．平面向量数量积的重要性质性质1 ||cos e a a e a θ?=?=. 性质2 .a b a b 0⊥??= 性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ?=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ?=. 22||a a a a ?==或||a 性质4 cos ().|||| a b a 0b 0a b 且θ?= ≠≠ 性质5 ||||||.a b a b ?≤ 注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律（1）a b=b a ??（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ??=?为实数）；（3）(+)=a b c a c b c ??+?（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ??≠?，不可约分 =a b a c b c ???=. 五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

平面向量的数量积教案

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程. 二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断. 三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。

五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算。我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？【设计意图】1.让学生明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。活动二：探究数量积的概念Array 1、给出有关材料并提出问题2：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移那么力F所做的功：W= |F| |S| cos 。（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： ① W（功）是量，② F（力）是量， ③ S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F和S的一种运算结果呢？为此我们引入平面向量数量积，今天，我们就来学习平面向量的数量积。 2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：

平面向量数量积运算专题(附答案)

题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D .π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a | ＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－112 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.

高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2 B.－34a 2 C.34 a 2 D.32 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝??? x ，x ≥y ， y ，x

平面向量的数量积

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6.3.2 平面向量数量积的坐标表示(精讲)(原卷版)

《平面向量的数量积》教学设计及反思

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