1
<≤-
m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,
2
()012442<+-=?m m m ,即0122<--m m ,
∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m , ∴10≤≤m (如图2)
③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m (如图3)故由①②③可知：2
1-
≥m . 例3. 若不等式2x-1>m(x 2-1)对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
分析：从表面上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，实质上可看作是关于m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为［－2，2］，求参数x 的取值范围，这是一种“转换主元”的思想方法。 解：原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)<0设f m x m x m ()()(),()=----≤≤2
12122
若，即x x 2101-==± x f m =<10时，() x f m =->10时，() ∴≠-x 1 x 210-≠时，由题意有： f x x f x x ()()()()()()-=----<=---
即2230
22102
2x x x x +->--
解得的取值范围是
在此范围内x x x -+<<+=17213
21()
4已知二次函数（，，，）满足，f x ax bx c a b c R a f ()()=++∈≠=2
011f x f x x
()()-=≥10，对任意的都有（）证明：，；100a c >>()[]（）设，求的范围，使在，上是单调211g x f x mx m R m g x ()()()=-∈-函数。
解：
（）由111
10f a b c f a b c ()()=++=-=-+=???得到a c b +==?
??????1212又f x x ()-≥0()即恒成立ax b x c 210+-+≥ ()∴a b ac >=--≤?????01402?
又b a c -=--1()()∴a a c ac a c >=---=-≤?????04022
?∴a a c >=>???00
（）又，∴，2121412a c a c b +====∴f x x x ()=++
14121
42 g x f x mx x m x ()()=-=+-?? ???+1412142抛物线的对称轴为x m m =--?? ?
?
??
=-1221421
[][]现要求在，上是单调函数，只要抛物线的对称轴不在，内，g x ()--1111
即211m -≥ 所以得或m m ≤≥01
例5．(1990年上海高考题)设A={x||x-2
)1(2+a |≤2)1(2-a },B={x|x 2
-3(a+1)x+2(3a+1)≤0},求使A ?B 的a 的取
值范围。 解：易得A=[2a,a 2
＋1].记f(x)=x 2
-3(a+1)x+2(3a+1),则A ?B 当且仅当对x ∈A ，f(x)≤0恒成立 ，其充要条件是f(x)在A 上的最大值不大于零。
而f(x)在A 上的最大值为f(2a)或f(a 2
＋1)。因而?????≤--+=+≤+-=0
)3)(1()1()1(022)2(2
2
a a a a a f a a f ????≤≤≤≤-≥-≤310111a a a a 或或 ?a=-1或1≤a ≤3.故工的范围为[1,3] {-1}.
函数不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(恒成立与存在性问题的基本解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;
关于函数恒成立问题的解题策略
关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n
地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范
求解恒成立问题的常见方法
求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴00（或f（x）
≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等
高中数学恒成立问题的解题策略
高中数学恒成立问题的解题策略 论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。 关键词：恒成立问题;函数图像;数学 在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。 一、利用函数图像与性质 例1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：令， 本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。
若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。 我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。 变式1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像， ，得 变式2：若时，恒成立，求的取值范围。 分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有， 利用的函数图像可知， 变式3：对任意及时，恒成立，求的取值 范围。 分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。 方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，
用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 数a 的取值围.
4．（2016届二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，数k 的取值围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，数m 的取值围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，数a 的取值围．
关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合；
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(函数中的恒成立问题的解题策略
函数中的恒成立问题的解题策略
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3 / 8 函数中的恒成立问题的解题策略 函数是整个高中知识体系的核心之一，而函数中的绝大多数问题最终归结为函数性质、函数思想在具体解题过程中的应用。恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。 一、一次函数型 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）?? ?>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成? ??>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有???<<0)(0)(n f m f 本质上是利用了一次函数的单调行和函数的最值。 例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0, 设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即?????>->+-0 103422x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a 已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠， n m o x y n m o x y
函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)
恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 １、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为Ｍ ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在Ｄ上恰成立，等价于)(x f 在Ｄ上的最小值 A x f =)(min ,若 ,D x ∈B x f ≤)(在Ｄ上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . ４、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥,则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤,则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间Ｄ上恒成立,等价于在区间Ｄ上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方; ?二、经典题型解析 题型一、简单型
函数、不等式恒成立问题完整解法
函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时， ] ,[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈x x f 在上恒成立? ? ?>>?0)(0 )(βαf f ],[0)(βα∈- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
高中数学解题方法系列：函数中缩小参数范围,优化“恒成立问题”的处理策略
高中数学解题方法系列： 函数中缩小参数范围，优化“恒成立问题”的处理策略 含参数不等式恒成立问题，在处理此类问题时所采取的解题方法和方向基本上是没有问题的，但是由于在解题的过程中，解题策略不优化，导致不能够顺利得出正确结果，下面就恒成立问题处理的优化策略，笔者谈一下看法，与大家交流。 一.试题呈现 已知函数()()()1ln a f x x a x a R x =--+∈（I ）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间 （II ）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由。 限于篇幅，本文只考虑第（II ）小题的作答。 阅卷中发现，学生的处理方法主要有以下两种： 1.直接构造函数()()()1ln a g x x f x a x x =-=++，把问题转化为()0g x ≥恒成立，但是在接下来利用导数求解函数()y g x =的单调性时，分类讨论出现了重复或者遗漏，从而没有顺利的解决问题。 2.先采取分离参数的方法将不等式转化为()1ln ln a x x x x +≥-，大部分学生此时直接把上述不等式转化为ln 1ln x x a x x ≥- +（应该先验证1ln 0x x +>），然后构造函数()ln 1ln x x g x x x =-+，但是由于所构造的函数形式上过于复杂从而出现了以下两个问题：一是学生根本不敢继续利用导数判断函数的单调性，二是对函数()y g x =进行求导，但是不能准确地判断导函数的正负号，从而没有顺利得解决问题。
通过以上解法基本上可以发现，学生在处理含参数不等式恒成立问题时所采取的方法基本上是正确的，即转化为求函数最值加以处理，并且求函数最值的手段有两种：一是直接求含有参数的函数最值，二是通过分离参数转化为求一个具体的函数的最值，通过这两种解法的对比不难发现，第一种转化的函数里面因为含有参数，所以在求其最值时可能会需要分类讨论，而第二种转化的函数虽然是个具体的函数，相比较容易求出其最值，但是这种方法也有其局限性，可能有些时候是不可以进行参数分离的，或者分离后所构造的函数虽然具体但形式过于复杂，同样导致解题的失败。 命题人给出的参考答案： （II ）()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立， 令()()1ln x a a x x ?=++，()0,x ∈+∞，则()()() 11ln x a x ?'=++当10a +>时，在10,x e ??∈ ???时，()0x ?'<，在1,x e ??∈+∞ ??? 时，()0x ?'>即函数()y x ?=在10,x e ??∈ ???上单调递减，在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递增。()x ?的最小值为1e ??? ???，由10e ???≥ ???得11a e ≥-当10a +=时，()1x ?=-，()0x ?≥在()0,x ∈+∞不能恒成立， 当10a +<时，在10,x e ??∈ ???时，()0x ?'>，在1,x e ??∈+∞ ??? 时，()0x ?'<函数()y x ?=在在10,x e ??∈ ???上单调递增，在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递减，所以函数()y x ?=在()0,x ∈+∞无最小值，不符合题意，综上所述当11 a e ≥-时，使()f x x ≤恒成立参考答案采取的是直接求含有参数的函数最小值进行处理，就是因为参数的
函数中存在与恒成立问题
函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.
高考函数当中恒成立问题
第四课时函数当中的恒成立问题 1:2log (1)a a y x ax =-+若函数有最小值，则的取值范围是（ ） A ：0已知，不等式（4）恒成立，则的取值范围 7.若不等式1)x a lg(ax 2lg <+在x ∈［1，2］时恒成立，试求a 的取值范围? 解：由题设知?? ?>>0ax 21x ，得a>0，可知a+x>1，所以0)x a lg(>+。原不等式变形为)x a lg(ax 2lg +<。 x a ax 2+<∴，即x a )1x 2(<-。又]21[x ， ∈，可得01x 2>- ??? ??-+=-< ∴1x 211211x 2x a 恒成立。设??? ??-+=1x 21121)x (f ，在x ∈［1，2］上为减函数， 可得32)2(f )x (f m in ==，知32a <。综上知32a 0<<。 关键点拨：将参数a 从不等式1)x a lg(ax 2lg <+中分离出来是解决问题的关键 8:已知)x (f 是定义在［－1，1］上的奇函数且1)1(f =，
若a 、b ∈［－1，1］，a+b ≠0，有0b a )b (f )a (f >++。 （1）判断函数)x (f 在［－1，1］上是增函数还是减函数。 （2）解不等式??? ? ?->??? ??+21x 2f 21x f 。 （3）若1am 2m )x (f 2+-≤对所有]1， 1[x -∈、a ∈［－1，1］恒成立，求实数m 的取值范围。 解：（1）设1x x 121≤<≤-，则0)x x (x x )x (f )x (f )x (f )x (f )x (f )x (f 2121212121<---+=-+=-， 可知)x (f )x (f 21<，所以)x (f 在［－1，1］上是增函数。 （2）由)x (f 在［－1，1］上是增函数知???? ?????->+≤-≤-≤+≤-21x 221x 121x 21121x 1 解得21x 4 1≤≤-，故不等式的解集??????≤≤-21x 41|x （3）因为)x (f 在［－1，1］上是增函数，所以1)1(f )x (f =≤，即1是)x (f 的最大值。依题意 有11am 2m 2≥+-，对a ∈［－1，1］恒成立，即0am 2m 2≥-恒成立。令2 m ma 2)a (g +-=，它的图象是一条线段，那么??? ???≥-=≥+=-0m 2m )1(g 0m 2m )1(g 22)2[}0{]2，(m ∞+--∞∈， 。
函数中常见-“恒成立问题”-的解决办法(老师版)
常见 “恒成立问题” 的解决办法 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法． 一 变量分离法 变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 例1．已知函数f (x )＝2x －1 2|x |若不等式2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的 取值范围 解：本题可通过变量分离来解决． 当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022 t t t t t m - +-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t ->∵，2(21)t m ≥-+∴ [1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴ 故m 的取值范围是[5,)-+∞ 例2．设，其中a 为实数，n 为 任意给定的自然数，且 ，如果 当时有意义，求a 的取值范围． 解：本题即为对于 ，有 恒成立． 这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得 ，对于 恒成立． 构造函数 ，则问题转化为求函数 在上的值域，由于函数 在 上 是单调增函数， 则在 上为单调增函数．于是有的最大值为 ，从 而可得 ． 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧 函数导数中的恒成立问题解题技巧 新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种. 一、利用函数的性质解决恒成立问题 例1 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． (1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； (2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．． ，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f 又? ??-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 所以a 的取值范围是{}15-<<-a a . 【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题. 二、利用数形结合思想解决恒成立问题 例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点． （1）求a ； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围． 【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间
函数恒成立存在性问题1
函数恒成立存在性问题 1 ()f x >恒成立?()max a f x > ；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2()f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3 ()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>? ?? ≤??在 上恒成立在上恒成立 A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈ B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 例 题 讲 解： 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，数a 的取值围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，数a 的取值围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，数b 的取值围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[ ]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则 的取值围为 (已知某个参数的围，整理成关于这个参数的函数) 2≤的所有实数p,求使不等式2 12x px p x ++>+恒成立的x 的取值围。 2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ =+是区间[]1,1-上的减函数， (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)若[]2 ()11,1g x t t x λ≤++∈ -在上恒成立，求t 的取值围； 1、当)1,2x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 . ） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是________
