求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)
总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法
二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。
四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,
则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-
=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。
解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +,得
11
121
3333
n n n n n a a +++=++, 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+
,故 11223
211
2232
111122122()()()(
)33333
333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此1
1(13)
2(1)2113133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--?, 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 练习
1.已知数列{}n a 的首项为
1,且
*12()
n n a a n n N +=+∈写出数列
{}n a 的通项公式.
答案:12
+-n n
练习2.已知数列
}
{n a 满足31=a ,
)
2()1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式.
答案:裂项求和
n a n 1
2-
=
评注:已知a a =1,)
(1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函
数、分式函数,求通项
n
a .
①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和。
例3.已知数列
}
{n a 中,
>n a 且
)(21n n n a n
a S +=
,求数列}{n a 的通项公式.
解:由已知
)(21n n n a n a S +=
得)(2111---+-=n n n n n S S n
S S S ,
化简有
n
S S n n =--2
12,由类型(1)有
n
S S n ++++= 32212
,
又11a S =得11=a ,所以
2)
1(2
+=
n n S n ,又0>n a ,
2)
1(2+=
n n s n ,
则
2)
1(2)1(2--+=
n n n n a n
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于: 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若
1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===,,, 两边分别相乘得,1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。
解:因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则
1
2(1)5n n n
a n a +=+,故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
???
??=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2, 3,…),
则它的通项公式是n a =________.
解:已知等式可化为:
[]0
)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即
1
1+=+n n
a a n n
∴2≥n 时,
n
n a a n n 1
1-=-
∴
112211a a a a a a a a n n n n n ????=
--- =121121??--?- n n n
n =n 1.
评注:本题是关于
n
a 和
1
+n a 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到
n
a 与
1
+n a 的更为明显的关系式,从而求出
n
a .
练习.已知
1
,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.
答案:
=n a )
1()!1(1+?-a n -1.
评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式
,
11-+=+n na a n n 转化为
),
1(11+=++n n a n a 若令
1
+=n n a b ,则问题进一步转化为
n
n nb b =+1形式,进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如
(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
(1)若c=1时,数列{
n a }为等差数列;
(2)若d=0时,数列{n
a }为等比数列;
(3)若01≠≠且d c 时,数列{n
a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.
待定系数法:设
)
(1λλ+=++n n a c a ,
得
λ
)1(1-+=+c ca a n n ,与题设
,
1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以
)0(,1≠-=
c c
d λ所以有:)1(11-+=-+-c d a c c d a n n
因此数列????
??-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项,以c 为公比的等比数列,
所以
11)1(1-?-+=-+
n n c c d a c d a 即:
1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 规律:将递推关系
d
ca a n n +=+1化为
)1(11-+=-+
+c d
a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列
}1{-+
c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d
a c c d a n n
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系d
ca a n n +=+1中把n 换成n-1有
d
ca a n n +=-1,
两式相减有
)
(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列
}
{1n n a a -+,进而求得通项公式.
)
(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:
121(2),n n a a n -=+≥
112(1)n n a a -∴+=+ 又
{}112,1n a a +=∴+是首项为2,公比为2的等比数列
12n n a ∴+=,即21n
n a =-
解法二:
121(2),n n a a n -=+≥
121n n a a +∴=+
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,故数列{}1n n a a +-是首项为2,公比为2的等
比数列,再用累加法的……
练习.已知数列
}
{n a 中,
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。
答案:1
)21
(1+=-n n a
2.形如:
n
n
n
q
a
p
a+
?
=
+1(其中q是常数,且n≠0,1)
①若p=1时,即:
n
n
n
q
a
a+
=
+1,累加即可.
②若
1
≠
p时,即:n
n
n
q
a
p
a+
?
=
+1,
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以
1+
n
p.目的是把所求数列构造成等差数列
即:
n
n
n
n
n
q
p
p
q
a
p
a
)
(
1
1
1?
+
=
+
+
,令
n
n
n p
a
b=
,则
n
n
n q
p
p
b
b)
(
1
1
?
=
-
+
,然后类型1,累加求通项.
ii.两边同除以
1+
n
q. 目的是把所求数列构造成等差数列。
即:
q
q
a
q
p
q
a
n
n
n
n
1
1
1+
?
=
+
+
,
令
n
n
n q
a
b=
,则可化为
q
b
q
p
b
n
n
1
1
+
?
=
+
.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列
设
)
(
1
1
n
n
n
n
p
a
p
q
a?
+
=
?
++
+
λ
λ
.通过比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.
注意:应用待定系数法时,要求p≠q,否则待定系数法会失效。
例7已知数列{}
n
a
满足
1
11
2431
n
n n
a a a
-
+
=+?=
,
,求数列
{}
n
a
的通项公式。
解法一(待定系数法):设
1
112
3(3
n n
n n
a a
λλλ-
+
+=+?)
,比较系数得12
4,2
λλ
=-=
,
则数列{}1
43n
n
a-
-?
是首项为
11
1
435
a-
-?=-
,公比为2的等比数列,
所以
11
4352
n n
n
a--
-?=-?
,即
11
4352
n n
n
a--
=?-?
解法二(两边同除以
1+
n
q):两边同时除以1
3n+得:
1
12
24
3333
n n
n n
a a
+
+
=?+
,下面解法略
解法三(两边同除以
1+
n
p):两边同时除以1
2+n得:
n
n
n
n
n
a
a
)
2
3
(
3
4
2
21
1?
+
=
+
+
,下面解法略
练习.(2003天津理)
设0a 为常数,且
)(2311
N n a a n n n ∈-=--.证明对任意n ≥1,0
12)1(]2)1(3[51
a a n n n n n n ?-+?-+=-;
3.形如
b
kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数,且0≠k )
方法1:逐项相减法(阶差法) 方法2:待定系数法 通过凑配可转化为 )
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤: 1、确定()f n =kn+b
2、设等比数列
)
(y xn a b n n ++=,公比为p
3、列出关系式
)
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即
1
-=n n pb b
4、比较系数求x,y
5、解得数列
)
(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列
{}n a 的通项公式
例8 在数列}
{n a 中,
,
23,111n a a a n n +==+求通项
n
a .(逐项相减法)
解: ,
,
231n a a n n +=+ ①
∴2≥n 时,)1(231-+=-n a a n n ,
两式相减得
2
)(311+-=--+n n n n a a a a .令
n
n n a a b -=+1,则
2
31+=-n n b b
利用类型5的方法知2
351+?=-n n b 即
1
3511-?=--+n n n a a ②
再由累加法可得
213251--?=
-n a n n . 亦可联立 ① ②解出21
3251--?=-n a n n .
例9. 在数列{}n a 中,
362,23
11-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .(待定系数法)
解:原递推式可化为
y
n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21
比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为
1
2-=n n b b
所以
{}n b 是一个等比数列,首项
299611=
+-=n a b ,公比为21.1
)21
(29-=∴n n b 即:
n
n n a )21
(996?=+-
故9
6)21
(9-+?=n a n n .
4.形如
c
n b n a pa a n n +?+?+=+21 (其中a,b,c 是常数,且0≠a )
基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
例10 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=,,求数列{}n a 的通项公式。
解:设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++
比较系数得3,10,18x y z ===,
所以22
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++
由213110118131320a +?+?+=+=≠,得2
310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项,以2为公比的等比数列,因此2131018322n n a n n -+++=?,则42231018n n a n n +=---。
5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析:原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式,比较系数可求得λ,数列
{}1n n a a λ++为等比数列。
例11 已知数列
{}
n a 满足
211256,1,2
n n n a a a a a ++=-=-=,求数列
{}
n a 的通项公式。
解:设
211(5)()
n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-,不妨取2λ=-,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同)
则
21123(2)
n n n n a a a a +++-=-,则
{}12n n a a +-是首项为4,公比为3的等比数列
1
1243n n n a a -+∴-=?,所以
11
4352n n n a --=?-?
练习.数列{}n a 中,若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .
答案:
n
n a 311-=.
四、迭代法
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型
例12 已知数列
{}
n a 满足
3(1)2
115n
n n n a a a ++==,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为3(1)2
1n
n n n a a ++=,所以
1
21
2(2)(1)
3
2
(2)(1)
3(3)(2)(1)
1
12(3)(32
3(1)232
3(1)2
1
2
2
3(2)23
(1)23
3(2)(1)23
323
(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--++
+-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======
=2)(1)
(1)1
2
3
!21 n n n n n a -+---??=
又
15
a =,所以数列
{}
n a 的通项公式为
(1)1
2
3
!25n n n n n a --??=。
注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.(2005江西卷)
已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-==+),4(21
,110
,
(1)证明
12,;
n n a a n N +<<∈ (2)求数列
}
{n a 的通项公式an.
解:(1)略(2)
],4)2([21
)4(2121+--=-=
+n n n n a a a a 所以 2
1)2()2(2--=-+n n a a
n
n n n n n n n n b b b b b a b 222121
22222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令又bn=-1,
所以1
212)21(22,)21(---=+=-=n
n n n n b a b 即.
方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:设c n
n b -=,则c
2121-=
n n c ,转化为上
面类型(1)来解
五、对数变换法 适用于
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0,
>n a
例14. 设正项数列{}n a 满足11=a ,2
12-=n n a a (n ≥2).求数列{}n a 的通项公式.
解:两边取对数得:122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 1
22+=+-n n a a ,设1log 2+=n a n
b ,则1
2-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 1
21=+=b 11221--=?=n n n b ,
1221log -=+n a n
,12log 12-=-n a n ,∴
1
21
2--=n n a
练习 数列
{}n a 中,11=a ,1
2
-=n n a a (n ≥2),求数列
{}n a 的通项公式.
答案:n
n a --=22
22
例15 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??,17a =,求数列{}n a 的通项公式。
解:因为5
11237n n n a a a +=??=,,所以100n n a a +>>,。
两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ (同类型四)
比较系数得, lg3lg3lg 2
,4164
x y ==+
由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +
?++=+?++≠,得lg3lg3lg 2lg 04164
n a n +++≠, 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164
+++
为首项,以5为公比的等比数列,则1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++,因此
111111111
16
164
4
44
1111
15
1616
444
4
541515116
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+
++---=???-??=???-??=??
则11
54151516
4
732
n n n n n a -----=??。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例16 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+,求数列{}n a 的通项公式。 解:求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??=+∴-=∴-????
为等差数列,首项111a =,公差为1
2,
112
(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=+
七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列{}n a
满足111
(14116n n a a a +=
+=,,求数列{}n a 的通项公式。
解:令n b =2
1(1)24
n n a b =-
代入11
(1416
n n a a +=
++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为0n b =≥, 则123n n b b +=+,即11322
n n b b +=+, 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-, 所以{3}n b -
是以13332b -==为首项,以
2
1
为公比的等比数列,因此121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+
21
()32n -=+,得
2111
()()3423
n n n a =++。
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳
法加以证明。 例18 已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由122
8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及189
a =,得 2122
3222
43228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +?=+
=+=?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=
?+?+?
由此可猜测22(21)1
(21)n n a n +-=+,下面用数学归纳法证明这个结论。
(1)当1n =时,212
(211)18
(211)9
a ?+-==?+,所以等式成立。 (2)假设当n k =时等式成立,即22
(21)1
(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时,
122
2222222
222222
8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+
+++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++
由此可知,当1n k =+时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何*
n N ∈都成立。 九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有n S ,又有n a
分析:把已知关系通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采用相应的
方法求解。
例19 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式。 解:∵对任意n N +
∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =++ ⑴ ∴当n=1时,11111
(1)(2)6
S a a a ==
++,解得11a =或12a =
当n ≥2时,1111
(1)(2)6
n n n S a a ---=
++ ⑵ ⑴-⑵整理得:11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数,∴13n n a a --=
当11a =时,32n a n =-,此时2
429a a a =成立
当12a =时,31n a n =-,此时2
429a a a =不成立,故12a =舍去
所以32n a n =-
练习。已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2
1
+=
n n a S ,求数列}{n a 的通项公式. 答案:n n n a S S =--1 2
12)1()1(+=--n n a a 12-=n a n
2、对无穷递推数列
例20 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥,,求{}n a 的通项公式。
解:因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式-①式得1.n n n a a na +-=
则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
???
?=-???=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,则21a a =,又知11a =,
则21a =,代入③得!13452
n n a n =?????=
。 所以,{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法
不动点的定义:函数()f x 的定义域为D ,若存在0()f x x D ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为
()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。
分析:由()f x x =求出不动点0x ,在递推公式两边同时减去0x ,在变形求解。 类型一:形如1 n n a qa d +=+
例21 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式。 解:递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+,由()f x x =得,不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+,…… 类型二:形如1n n n a a b
a c a d
+?+=
?+
分析:递归函数为()a x b
f x c x d
?+=
?+
(1)若有两个相异的不动点p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,再将两式相除得
11n n n n a p a p k a q a q ++--=?--,其中a pc k a qc -=-,∴1111
11()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- (2)若有两个相同的不动点p ,则将递归关系式两边减去不动点p ,然后用1除,得
111n n k a p a p +=+--,其中2c
k a d
=+。
例22. 设数列{}n a 满足7
24
5,211++=
=+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数t,得:
7
2524
7)52(727)52(72451
++++
+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a , 令5
24
7++=
t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得
7213
11+-=-+n n n a a a ,7
22
921++=++n n n a a a ,
相除得
21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为4
1
2111
=+-a a , 公比为31
的等比数列, 21+-n n a a =n -?1341, 解得1
342341
1-?+?=--n n n a . 方法2:,
7
213
11+-=-+n n n a a a ,
两边取倒数得
1
3
32)1(39)1(2)1(3721
11-+=-+-=-+=
-+n n n n n n a a a a a a ,
令b 1
1
-=
n n a ,则b =n n b 33
2
+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+,,求数列{}n a 的通项公式。
解:令212441x x x -=
+,得2
420240x x -+=,则1223x x ==,是函数2124()41
x f x x -=+的两个不
动点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??
是
以
112422343a a --==--为首项,以913
为公比的等比数列,故12132()39
n n
n a a --=-,则11313
2()19
n n a -=
+-。
练习1:已知{}n a 满足1112
2,(2)21
n n n a a a n a --+==
≥+,求{}n a 的通项n a
答案:3(1)3(1)
n n
n n n
a --∴=+- 练习2。已知数列{}n a 满足*1121
2,()46
n n n a a a n N a +-==
∈+,求数列{}n a 的通项n a
答案:135106
n n
a n -∴=
-
练习3.(2009陕西卷文)
已知数列{}n a 满足, *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’+2==
. ()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列;
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。 答案:(1){}n b 是以1为首项,12-
为公比的等比数列。(2)1*
521()()332
n n a n N -=--∈。 十一。特征方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数)的数列
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
n a ,其特征方程为2x px q =+…①
若①有二异根,αβ,则可令1212(,n n
n a c c c c αβ=+是待定常数) 若①有二重根αβ=,则可令1212()(,n
n a c nc c c α=+是待定常数)
再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a
例24 已知数列{}n a 满足*
12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a
解:其特征方程为2
32x x =-,解得121,2x x ==,令1212n n n a c c =?+?,
由1122122243a c c a c c =+=??=+=?,得121
12
c c =???=??, 112n n a -∴=+
例25 已知数列{}n a 满足*
12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a
解:其特征方程为2
441x x =-,解得1212x x ==,令()1212n
n a c nc ??=+ ???
,
由1122121()121(2)2
4
a c c a c c ?
=+?=????=+?=??,得1246c c =-??=?, 1322n n n a --∴=
练习1.已知数列{}n a 满足*
12211,2,441()n n n a a a a a n N ++===--∈,求数列{}n a 的通项
练习2.已知数列{}n a 满足
*12211,2,444()n n n a a a a a n n N ++===---∈,求数列{}n a 的通项
说明:(1)若方程2
x px q =+有两不同的解s , t, 则)(11-+-=-n n n n ta a s ta a , )(11-+-=-n n n n sa a t sa a ,
由等比数列性质可得1121)(-+-=-n n n s ta a ta a , 1
121)(-+-=-n n n t sa a sa a ,
,s t ≠ 由上两式消去1+n a 可得()()()
n
n n t t s t sa a s t s s ta a a ..1212-----=
.
(2)若方程2
x px q =+有两相等的解t s =,则
()()12121211)(ta a s ta a s ta a s ta a n n n n n n n -==-=-=-----+ ,
21211s ta a s a s a n n n n -=-∴
++,即?
??
???n n s a 是等差数列, 由等差数列性质可知
()2
1
21.1s sa a n s a s a n n --+=, 所以n n s n s sa a s sa a s a a ??
????-+??? ??--=.2
122121. 例26、数列{}n a 满足1512a =-,且2
125
42924
n n n a a a +-
=+求数列{}n
a 的通项。 解:22
11252925244429292244
n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-
+==
+=++
……① 令2
29254λλ-=,解得12251,4
λλ==,将它们代回①得,
()21112924
n n n a a a +++=
+
……②,2
12525429424n
n n a a a +??+ ???+=+……③, ③÷②,得2
1125254411n n n n a a a a ++??
++ ?= ?++ ?
??
, 则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a +++
+=++,∴数列254lg 1n n a a ?
?+????+??
??
成等比数列,首项为1,公比q =2
所以1254lg 21n n n a a -+
=+,则12254101n n n a a -+=+,1
1
222510
4101
n n n a ---∴=-
十二、四种基本数列
1.形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义形式,见累加法。 2.形如
)(1
n f a a n
n =+型 等比数列的广义形式,见累乘法。 3.形如)(1n f a a n n =++型
(1)若d a a n n =++1(d 为常数),则数列{n a }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;
(2)若f(n)为n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项. 例27. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式. 分析 1:构造 转化为)(1n f a a n n =-+型
解法1:令n n
n a b )1(-=
则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(1
11111?-=+-=---=-++++++.
2
≥n 时,
????
?????=-=??-=--?-=--?-=-----01
2)1()2(2)1()1(2)1(11212
1
211a b b b n b b n b b n n n n n n
各式相
加:[]
1)1(2)1()2()1()1()1(22
31?-+?-++--+--=- n n b n n n
当n 为偶数时,n n n b n =??
?
???-?
-+-=22)1()1(2. 此时n b a n n == 当n 为奇数时,1)2
1
(2+-=--
=n n b n 此时n n a b -=,所以
1-=n a n .故
???-=.
,,,1为偶数为奇数n n n n a n 解法
2:
n
a a n n 21=++
求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法:利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项公式? 1n n S a =-,∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-,∴ 112n n a a +=,又112a =,12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式; 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N .求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈. 求数列}{n a 的通项公式; 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中,前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S (1)求证:}{n a 是等差数列 (2)若n b 3021 -=n a ,求}{n b 的前n 项 和的最小值
1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以12n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222 n n n n a a ++-= ,故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 (2)累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+,即得数列{}n a 的通项公式。 变式:已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 (3)累乘法 例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的方法 教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
求数列的通项公式的方法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 255a S =.求数列{}n a 的通项公式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴9123 a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得:531=a ,5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 练一练:已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式:__________; 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。
例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式。 解:由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时,有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评:利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若能 合写时一定要合并. 练一练:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a ; ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=,求n a ; 3.作商法:已知12()n a a a f n =求n a ,用作商法:(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ,则=+53a a ______ ; 4.累加法: 若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。
创作编号:GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1:已知{}n a 是一个等差数列,且5,152-==a a ,求{}n a 的通项公式. 分析:设数列{}n a 的公差为d ,则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a . 例2:已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ,求通项n a . 分析:当2≥n 时,1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式,() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a . 例3:已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +,其中11=a ,求n a . 分析: 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”,由n s 与n a 的关系式,类比出1-n a 与 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时, 可以用这种方法. 例4: ()12,011-+==+n a a a n n ,求通项n a 分析: 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ,所以()2 1-=n a n ()2≥n ,而01=a 也适合上式, ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时,就可以用这种方法. 例5:111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析: 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1- 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通 项公式.
(二).累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比 数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥, 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
数列通项公式的求法详解 一、 观察法(关键是找出各项与项数n 的关系.) 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999, (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1(3) ,52,21,32 ,1(4) ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案:(1)110-=n n a (2);122++=n n n a n (3);12+=n a n (4)1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、 公式法 公式法1:特殊数列 例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x -1)2 ,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案:a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1); b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ??=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是( ) (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案:(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10< 求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?,12a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +,得 113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项,以23 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22 n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2.若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,对任意正整数 2(1)n a n =-+,34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式; 解: 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习:1. 已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3 又10S n -1=a n -12+5a n -1+6(n ≥2),② 由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2) 当a 1=3时,a 3=13,a 15=73 a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3 三、累加法 递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列,也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中,已知,求通项公式。 解:已知递推式化为,即, 所以 。 将以上个式子相加,得 , 所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解:当, 即 当,所以。 三、型 例3. 在数列中,,求。解法1:设,对比 ,得。于是,得 ,以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2:又已知递推式,得 上述两式相减,得,因此,数列是以 为首项,以3为公比的等比数列。 所以,所以 。 四、型 例4. 设数列,求通项公式。 解:设,则, , 所以, 即。 设这时,所以。 由于{b n}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有。 由此得:。 说明:通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列)。 五、型 例5. 已知b≠0,b≠±1,,写出用n和b表示a n的通项公式。 解:将已知递推式两边乘以,得 ,又设, 于是,原递推式化为,仿类型三,可解得,故。 说明:对于递推式,可两边除以,得 ,引入辅助数列 ,然后可归结为类型三。 六、型 例6. 已知数列,求。 解:在两边减去。 所以为首项,以 。 所以令上式,再把这个等式累加,得 。所以。 说明:可以变形为,就是 ,则可从,解得,于是是公比为的等比数列,这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差、等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变形手段,达到转化的目的。 求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥,等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且*1()n n a S n N +=∈,求{}n a 的通项 公式? 12n n a ?? = ??? . 反思:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键. 2.累加法:利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法(()f n 可求前n 项和). 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ,n n a a n n ++ =+211 ,求n a 1131122n a n n =+-=- 解: 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ,n n a n n a 11+= +,求n a 。23n a n = 解: 变式:(全国I,)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解 求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的7种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法 (根据各班情况适当讲) 二。基本数列:等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三.求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以13n +,得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++, 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+ ,故 因此11 (13)2(1)211 3133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?, 则21133.322 n n n a n =??+?- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案:12 +-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ,) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 n a n 12- = 评注:已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项n a . 求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法: 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a .(分3步) 三、n s 与n a 的关系式法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a .(分3步) 四、累加法: 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时, 就可以用这种方法. 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的 方法:------+常数P ㈡、取倒数法:这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈(,,k m p 均为常数 0m ≠) ,两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法:一般情况下适用于1k l n n a a -=(,k l 为非零常数) 例8:已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析:由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项,以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+(c b ,为常数且不为0,*,N n m ∈)”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型,可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ,令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外,还有嵌套法(迭代法)、归纳猜想法等,但这8种方法是经常用的,将其总结到一块,以便于学生记忆和掌握。 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1:已知{}n a 是一个等差数列,且5,152-==a a ,求{}n a 的通项公式. 分析:设数列{}n a 的公差为d ,则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a . 例2:已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ,求通项n a . 分析:当2≥n 时,1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式,() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a . 例3:已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +,其中11=a ,求n a . 分析:Θ 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”,由n s 与n a 的关系式,类比出1-n a 与1 -n s 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时,就 可以用这种方法. 例4: ()12,011-+==+n a a a n n ,求通项n a 分析:Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n 又01=a ,所以()2 1-=n a n ()2≥n ,而01=a 也适合上式, ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 例5:111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析:Q 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===-g g g g L g g g g L g () 2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式,所以() n a n n N *=∈ 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的方法: 一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k = - 故111n n b b a k a k k -? ?+=+ ?--? ? 1. 观察法(求出a1、a2、a3,然后找规律) 即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ,)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ,若1=b ,求32,a a 及数列}{n a 的通项公式. 解:由题意可知:11111+-==a , 112212212 12+-==++-=a a a , 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式. (1)当n =1时,结论显然成立. (2)假设当n =k 时结论成立,即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k , 即当n =k +1时结论也成立. 由(1)、(2)可知,对于一切正整数n ,都有)(11* ∈+-=N n n a n .(最后一句总结很重要) 2.定义法(已知数列为等差或者等比) 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=,求{}n a 的通项公式。 解:设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=,所以2d =. 又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = . 3.公式法 若已知数列的前n 项和与的关系,求数列的通项可用公式 求解。(一定要讨论n=1,n≥2) 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知23 3.n n S =+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式。 解:(Ⅰ)由 233n n S =+ 可得:当1=n 时, 111(33)32 a S == +=, 当2≥n 时,11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠, 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4.累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时,通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列{a n }的前10项和为 解:由题意得: 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5.累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时,通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-= 求数列通项公式的11种方法方法 总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L 所以3 1.n n a n =+- 解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +,得 111 21 3333n n n n n a a +++=++, 则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+,故 因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?, 则211 33.322 n n n a n = ??+?- 练习 1.已知数列{}n a 的首项为 1,且 *12() n n a a n n N +=+∈写出数列 {}n a 的通项公式. 答案:12 +-n n 练习2.已知数列 } {n a 满足31=a , ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 n a n 1 2- = 评注:已知a a =1,) (1 n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、 数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累加法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中,1a =1,11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ,求{n a }的通项公式。 解:∵111n a ==时, 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=? ? -=? ? -=??? -=-?? 时, 这n-1个等式累加得:112...n a a -=+++(n-1) =(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N * ∈). 例2.在数列{n a }中,1a =1,12n n n a a +-= (n N * ∈),求n a 。 解:n=1时, 1a =1212323 431 122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=? ? -=? ?-=????-=? 时, 以上n-1个等式累加得 21 122 (2) n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -,故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满 足该式 ∴21n n a =- (n N * ∈)。 二、累乘法 形如 1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……),且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累乘法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例3.在数列{n a }中,1a =1,1n n a na +=,求n a 。 数列通项公式的解法 数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结:除了熟悉以上常见求法以外,对具体的数列进行适当的变形,一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验,多加琢磨。 总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中. 1.直接法 2.公式法 3.归纳猜想法 4.累加(乘)法 5.取倒(对)数法 6.迭代法 7.待定系数法 8.特征根法 9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法 ◆一、直接法 根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,… (2) ,17 164,1093 ,5 42,211 (3) ,52,21,32, 1 (4) ,5 4 ,43, 32,21-- ◆二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意:求完后一定要考虑合并通项) 例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式. 求数列通项公式的11种方法方法 总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、 数学归纳法(少用) 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法 二.四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2.若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。 解法一:由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二:13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +,得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++, 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+,故求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
数列通项公式的十种方法(已打)
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求数列通项公式的种方法
求数列通项公式常用的八种方法
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式的十种方法
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数列通项公式的求解方法归纳
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