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甘肃省武威2020届高三第二次诊断考试数学(文)(含答案)z

甘肃武威2020届高三第二次诊断考试

文科数学试题

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知z a bi =+（i 虚数单位，,a b ∈R ），()()112i ai b i +-=+，则z =（） A. 3

D. 1

2．已知单位向量a v 、b v ，则()()

22a b a b +?-v v

v v 的值为（）

C. 3

D. 5

3．给出两个命题：p ：“事件A 与事件B 对立”的充要条件是“事件A 与事件B 互斥”；q ：偶函

数的图象一定关于y 轴对称，则下列命题是假命题的是（） A. p 或q B. p 且q

C. p ?或q

D. p ? 且q

4．过点()1,0且倾斜角为30o 的直线被圆()2

221x y -+=所截得的弦长为（） A.

B. 1

C. 3

D. 23

5．执行如图所示程序框图，输出的k =（） A. 3 B. 4

C. 5

D. 6

6．函数2

()2sin 4f x x π??

?2sin cos 44x x ππ????+-- ? ?????

在区间423,ππ??????上的最小值是（）

A. 12-

B. 0

C. 1

D. 2

7．一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（） A.

π B. ()

42π+ C. 6π

D. ()

52π+

8．已知函数()f x 在区间[]22-,

上单调递增，若()()()

24log log 2f m f m <+成立，则实数m 的取值范围是（） A. 1,24??

????

B. 1,14??

????

C. (]1,4

D. []2,4

9．已知等比数列{}n a ，11a =，41

a =，且12231n n a a a a a a k +++???+<，则k 的取值范围是（）

A. 12,23??

????

B. 1,2??+∞????

C. 12,23??

????

D. 2,3??

+∞????

10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式

2()21f x x x <-+的解集为（）

A. {}|33x x -<<

B. {}|3x x >-

C. {}|3x x >

D. {}|33x x x <->或

11．正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点M 在正方

体表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹的周长为（） A. 62

B. 43

C. 42

D. 33

12．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，

B 两点，直线l 2与

C 交于

D ，

E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 二.填空题(每小题5分，共20分)

13．已知集合{}

|430M x x x =-+<，{}|215N x x =+<，则M N ?=__________．

14．学校为了调查学生在课外读物方面的

支出情况，抽出了一个容量为n

的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)40,50元的同学有30人，则n 的值为__________．

15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，

P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →

|的最小值为________.

16．已知x

t x f 39)(?-=，()21

x x g x -=+，若存在实数b a ,同时满足

0)()(=+b g a g 和0)()(=+b f a f ，则实数t 的取值范围是______．

三．解答题

17.（12分）已知在ABC ?中，、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且2cos a b C =，

sin sin cos 42A B C ππ????

-+=- ? ?????

（1）求角A ；

（2）若2a =，求ABC ?的面积.

18. （12分）3月12日，全国政协总工会界别小组会议上，人社部副部长汤涛在回应委员呼声

时表示无论是从养老金方面，还是从人力资源的合理配置来说，延迟退休是大势所趋.不过，汤部长也表示，不少职工对于延迟退休有着不同的意见.某高校一社团就是否同意延迟退休的情况随机采访了200名市民，并进行了统计，得到如下的22?列联表：

赞同延迟退休

不赞同延迟退休

合计男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计

140

200

（2）为了进一步征求对延迟退休的意见和建议，从抽取的200位市民中对不赞同的按照分层抽

样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少有1人为男性的概率.

附：2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

()20P K k ≥

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19. （12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，且3

DAB ∠=

，其对角线AC 、

BD 交于点O ，M 、N 是棱PA 、PB 上的中点.

（1）求证：面//MNO 面PCD ；

（2）若面PCD ⊥底面ABCD ，2AB =，3PC =，19PD =，求三

棱锥M BON -体积.

20. （12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

，直

线y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=u u u v u u u v

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点10,2Q ??- ???

满足

MQ NQ =u u u u v u u u v

，求实数m 的取值范围.

21．（12分）已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0).

（1）若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最小值；（2）若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围.

22. （10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极

坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为2

1cos ρθ

（1）试将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标系方程；（2）直线l 过点(),0M m ，交曲线C 于A 、B 两点，若2

11MA

的定值为

，求实数m 的值.

甘肃武威2020届高三第二次诊断考试解析

文科数学答案

1---5 DCBCB 6---10ADADC 11--12AA

13. (),3-∞ 14. 100 15. 5 16. [

+∞， 17. （1）由2cos a b C =及正弦定理得sin 2sin cos A B C =， ∴()sin sin cos 2sin cos B C B C cosBsinC B C +=+=， ∴()sin cos sin 0B C cosBsinC B C -=-=，又,B C 为三角形的内角，∴B C =，

∴sin sin sin 4A B B π??-+= ???，∴sin 04A π?

?-= ??

?，

又304

4A π

π<-

,∴4

A π

=. （2）由B C =知b c =，

由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，∴(2224222b b b =-=-

∴(2

22b =+， ∴2

1sin 12

ABC S b A ?=

=． 18. （1）由列联表中的数据可得()2

220080402060200

9.5247.87914060100100

K ??-?=

≈>???．所以有99.5%的把握认为对延迟退休的态度与性别有关．

（2）设从不赞同延迟退休的男性中抽取x 人，从不赞同延迟退休的女性中抽取y 人，由分层抽样的定义可知

6602040

x y ==，解得2,4x y ==，在抽取的不赞同延迟退休的6人中，男性2人记为1A ，2A ，女性4人记为1B ，2B ， 3B ，4B ，则所有的基本事件如下：

{}121,,A A B ， {}122,,A A B ， {}123,,A A B ， {}124,,A A B ，

{}112,,A B B ， {}113,,A B B ， {}114,,A B B ， {}123,,A B B ，{}124,,A B B ， {}134,,A B B ，

{}212,,A B B ， {}213,,A B B ， {}214,,A B B ，{}223,,A B B ， {}224,,A B B ， {}234,,A B B ， {}123,,B B B ， {}124,,B B B ， {}134,,B B B ， {}234,,B B B 共20种，

其中至少有1人为男性的情况有16种．

记事件A 为“至少有1人为男性不赞同延迟退休”，则()16

0.820

P A =

=．即至少有1人为男性不赞同延迟退休的概率为0.8． 19. （1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，且//AB CD ，

又M 、N 是棱PA 、PB 上的中点，所以//MN AB ，所以//MN CD ，又MN ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，所以//MN 平面PCD ．

又在PAC ?中，//OM PC ，且OM ?平面PCD ，PC ?平面PCD ，所以//OM 平面PCD ，又MN OM M ?=，所以平面//MNO 平面PCD ．

（2）解：在PCD ?中，2221

cos 22

PC CD PD PCD PC CD +-∠==-?，

所以120PCD ∠=o ，由（1）知//MN CD ，//OM PC ，所以120NMO PCD o ∠=∠=，

所以1111sin sin1202222NMO S MN OM NMO DC PC ?=

??∠=???=

o ，因为平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD I 底面ABCD CD =，所以点B 到面PCD 的距离即为点B 到CD 的距离．又在菱形ABCD 中，3

DAB π

∠=

，2AB =，

所以点B 到CD

因为O 、M 、N 是AC 、PA 、PB 的中点，平面//MNO 平面PCD ，所以点B 到面MNO 的距离为点B 到面PCD 的距离的一半，

所以113

32816M BON B NMO V V --?==

??= ?．

20.（1）∵224PA PB PO a +===u u u v u u u v u u u v

，

∴2a =，

又c a =

∴c =

2221b a c =-=，

∴椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

（2）由22

y kx m x y =+???+=??消去y 整理得：()

222

418440k x kmx m +++-=， ∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，

∴(

)(

)

64441440k m k m ?=-+->，整理得2241k m >-．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122

841

x x k -+=

+，又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，

∴1224241D x x km x k +-==+，222

44141

D D k m m

y kx m m k k -=+=+=++． ∵MQ NQ =u u u u v u u u v ，

∴DQ MN ⊥，即

12D D y x k

=-， ∴2614m k -=，

∴2

610611m m m ->??->-?

，解得1

66m <<． ∴实数m 的取值范围1

(,6)6

．

21. (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，

又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，

所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.

易知f (x )在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，

所以当x ＝0时，f (x )在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数，当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0；当x <0时，取x ＝－1

a ，则f ? ????－1a <1＋a ? ????

－1a －1＝－a <0.

所以函数f (x )存在零点，不满足题意. ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a ). 在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(ln (－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值.

函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2

综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0).

（2）设直线l 的参数方程x m tcos y tsin α