应用随机过程张波课后答案
应用随机过程张波课后答案
【篇一：随机过程期末论文】
ass=txt>【摘要】：通过市场调查研究发现，很多现象是可以用随机过程来描述的。比
如说，企业在人力资源需求方面就是一个随着时间不断变化的随机过程。本文试图将马尔科夫链引入，并运用其原理以及特性，对企业人力资源需求方面进行分析和预测，从而帮助企业明确未来人力需求趋势，做好人才储备工作。
【关键字】：马尔科夫链；人力资源；预测；需求一、马尔科夫链原理简介
一个经济系统x(t)是随时间t变化的随机变量。人们可根据该经济系统在时刻t0所处的状态推出它在任何一个较后时刻t(t0)的状态。由此原则，可得到这样一个基本方法：系统内x(t)在给定的时刻tn的状态x(tn)=xn，可根据它在任何较早时刻tn?1(tn)所处的状态
x(tn?1)=xn-1推出，而不依赖于系统在时刻以tn?1前的历史状态。满足这一条件的系统所观测结果的随机过程，就称之为马尔科夫过程。
而马尔科夫链是状态离散的一类特殊马尔可夫过程, 即过程的发展可看作是在某些值（称为过程的“状态”）之间一系列转移, 而且具有下面性质：一旦过程处于一给定状态, 则过程未来发展只依赖于这个状态, 而与它过去到达过的状态无关。
假设过程的时间参数集任意n个时刻为t1t2......tn,系统x(t)在时刻ti 处于状态xi,即x(ti)=xi(i=1,2,...,n-1),则x（tn）的条件概率分布只依赖于x（tn-1）=xn-1最近的已知值，即：
p{x(tn)?xn|x(t1)=x1,...,x(tn-1)=xn-1}=p{x(tn)xn|x(tn-1)=xn-1} 可以直观地解释为当给定过程“现在”的条件下，它的“将来”与“过去”无关。
?
二、状态转移矩阵
运用马尔科夫链进行预测的关键在于：建立状态转移概率矩阵（指系统在时刻t所处状态，转变为时刻t+1所处状态时与之相对应的一个条件概率）。因此，企业人力资源需求的预测，其关键也就在于通过调查，确定预测期内企业对人才需求的状况。
设马尔科夫链xt，t?t状态空间为s={1,2,3,...,n},则称由一步转移概
率
pij(i,j=1,2,...,n)构成的n阶方阵：
p?(pij)n?n
?p11
?p??21
???pn1
p12...p1n?p22...p2n??
?...
?
pn2...pnn?
为一步状态转移概率矩阵。
一般地，由k步转移概率pij(k)，（i,j=1,2,...,n）构成的n阶方阵： ?p11(k)p12(k)...p1n(k)?
?p(k)p(k)...p(k)?21222n? ??
??...
??
p(k)...p(k)p(k)n2nn?n1?
p(k)?(pij(k))n?n
为k步状态转移概率矩阵。其具有以下性质：设p?(pij)n?n与
p(k)?(pij(k))n?n分别为马尔科夫链的一步和k步转移概率矩阵，则
p(k)?p，k=1,2,3,...,n即k步转移概率矩阵恰好等于一步转移概率矩
阵的k次幂。
k
三、人力资源预测概述
（一）、关于人力资源预测
随着全球经济的一体化，竞争的范围迅速扩大，竞争的程度空前加剧。只有占据人力资源优势的地区、国家和企业才是竞争的胜利者。因为经济的竞争实质是人才的竞争，即人力资源综合素质的竞争。
企业为维持核心竞争力，要培养好、使用好现有人才，同时必须对
当前和未来人力资源的供求进行科学的预测和规划。
人力资源预测是企业根据战略目标和发展规划，对未来一定时期内
人力资源供需状况的推测。人力资源预测可分为人力资源需求预测
和人力资源供给预测。人力资源供给预测是确定企业是否能够保证
员工具有必要能力以及员工来自何
处的过程；人力资源需求预测是指企业为实现既定目标而对未来所
需员工数量和种类的估算。企业人力资源需求预测可以帮助企业明
确未来人力需求趋势，做好人才储备工作；同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况，做好企业的定岗定编工作。面对日益复杂、变化更加剧烈的内外部环境，更需要企业对动态环境中企业人力资源需求做出科学预测。（二）、影响人力资源需求的一般因素
影响企业人力资源需求预测的因素有很多，下面列出几种影响比较大的因素：
1、企业的规模的变化。企业规模的变化有两个方面，一是原有业务范围内扩大或压缩规模，二是新增业务或者放弃旧业务。以上两个方面都会对人力资源需求的数量和结构产生重大影响。
2、企业技术、设备性能的提高。企业生产技术的提高以及设备的更新都有可能导致企业对员工数量方面需求的减少。并且如果企业员工的专业知识、技术技能跟不上企业发展的步伐，那么也有可能被企业在裁员的过程中裁掉。
3、企业经营战略方向的调整同样也会对人力资源需求产生结构性的变化。
4、其他因素。企业劳动力成本、员工培训、竞争对手、工作时间等等，都会直接或者间接地影响人力资源的需求。（三）、人力资源需求预测的一般方法
下图展现的是人力资源需求的主要方法：
（四）、人力资源预测的一般步骤
下图清晰的展现了人力资源预测的一般步骤：
四、马尔科夫链在人力资源需求预测方面的应用
（一）、应用马尔科夫链预测企业人力资源需求的必要前提 1、企业人力资源需求随机过程的马尔科夫性假定
即企业人力资源需求随机过程必须符合马尔科夫性，将来t+1时刻企业人力资源需求数依赖第t期企业人力资源需求的分布，与过去时刻t-1,t-2...的分布及转移状态无关。 2、转移概率稳定性假定
马尔科夫链理论是以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。应用马尔科夫链模型，企业人力资源需求也要求转移概率矩阵具有相对稳定性。对于一个比较稳定企业，在短时期内可以认为企业人力资源需求的转移概率矩阵是相对稳定的。
（二）、利用马尔科夫方法进行预测的特点
1、转移概率矩阵中的元素是根据近期企业的保留与得失流向资料确定的。
2、下一期的概率只与上一期的预测结果有关，不取决于更早时期的概率。
3、利用转移概率矩阵进行决策，其最后的结果取决于
转移矩阵的组成，不取决于原始条件，即最初企业的人力资源需求。（三）、企业人力资源需求预测
第一期企业各层次人力资源需求预测值：
(1)(0)s?(s,s,...,s)?sp 12n
(1)
(1)
(1)
(1)
s即：
?p1n?11p12...p
?pp...p?
(0)(0)(0)2n??(s1,s2,...,sn)?2122
?............?
??
?pn1pn2...pnn?
可见，第1期企业人力资源需求的预测值向量，就是以初始期企业
人力资源需求为条件的各层次人力资源需求的条件期望值。
同理，第k期企业各层次人力资源需求的预测值：
s(k)?(s1,s2,...,sn)?s(0)p(k)?s(0)pk
当转移概率矩阵不变时，不管企业人力资源需求如何变化，最后总
会达到平衡状态，即稳定状态，此时企业人力资源需求不再变化，
称此企业人力资源需求为最后的企业人力资源需求，设为
s?(s1,s2,...,sn)，即：
(k)(k)(k)
?p11
?p
(s1,s2,...,sn)?21
?...??pn1
第一步：进行人力资源调查
p1n?12...pp22...p2n??
.........?s1?s2?...?sn?1
?
pn2...pnn?
（四）、应用马尔科夫链预测企业人力资源需求的步骤
1、企业在研究期初i个层次的人力资源数量，获得初始分布
s(0)?(s1,s2,...,sn)
假设研究期初i个层次的人力资源数量为n1,n2,...,ni，则si
(0)
(0)(0)(0)
?ni/?ni
【篇二：随机过程知识点总结】
.3,1.4
1、计算指数分布的矩母函数.
2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.
3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.
第二章：
1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数
2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理
3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程z(t)?x?yt，???t??.若已知二维随机变量(x,y)的协方差矩阵为??12??，求z(t)的协方差函数. ?2????2?
2、设有随机过程{x(t),t?t}和常数a，y(t)?x(t?a)?x(t)，t?t，计算y(t)的自相关函数（用rx(s,t)表示）.
3、设x(t)?z1cos?t?z2sin?t，其中z1,z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量，?为实数，证明x(t)是宽平稳过程.
4、设有随机过程z(t)?xsint?ycost，其中x和y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明z(t)是宽平稳过程.
第三章：
1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算
2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算
3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义
1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程，计算：
(1). p{n(1)?3}； (2). p{n(1)?1,n(3)?3}；(3). p{n(1)?2n(1)?1}.
2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.
(1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；
(2). 在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？
3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：00开门，试求：
(1). 在开门半小时中，无顾客到来的概率；
(2). 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无
顾客到来的概率。
4、设有一泊松过程{n(t),t?0}，若有两个时刻s,t，且s?t，试证明
k?s? p{n(s)?kn(t)?n}?cn???t?k?s??1???t?n?k， k?0,1,,n.
5、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达速率为?.若已知在第一个小
时内有两个顾客抵达银行，试计算：
(1)．此两个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率；
(2)．至少有一个顾客在最初的20分钟内抵达银行的概率.
第四章：
1. 更新过程、更新方程及其解得存在唯一性
2. wald等式
3. 更新定理及其在概率计算中的应用
n121、设p{xi?1}?,p{xi?2}?，令tn??xi,n?1.对于更新过程33i?1
n(t)?sup{n:tn?t}，计算n(1)和n(2)的概率分布.
2、某控制器用一节电池供电，设电池寿命xi(i?1,2,?)服从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电
池的时间yi(i?1,2,?)服从期望为0.5小时的均匀分布.计算长时间工
作时控制器更换电池的速率.
3、设有一个单服务员银行，顾客到达可看作速率为20（人/小时）
的poisson分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服
从均值为2（分钟/人）的指数分布.顾客到达门口只有在服务员空闲
时才准进来.试求：
(1).顾客进银行的速率；
(2).服务员工作的时间所占营业时间的比例.
第五章：
1. markov链的定义，转移概率矩阵，c-k方程
2. 状态的周期，常返态、非常返态的定义及判别（定理5.2.3，推论5.
3.3，5.3.4）
3. 极限定理及平稳分布
1、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又
设今天下雨明天也下雨的概率为0.7，而今天无雨明天有雨的概率为0.4，计算星期一有雨，星期四天仍有雨的概率.
2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对
历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始
时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的概率），一步转移概率矩阵为：
0??1/21/2??1/31/95/9??
?1/62/31/6???
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
3、一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历
性，若有，求出极限分布。
4、设有一马尔可夫链，其转移状态有两种：e1、e2，经计算得一
阶转移概率矩阵为
?0.79p(1)???0.59?0.21??，求证该链具有遍历性，并求出极限分布。 ?0.41?
5、设i?{1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵为
?1/21/20?00?1
?01/32/3??1/201/20??0? ?0?0?
试对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期.
6、设齐次markov链的转移概率矩阵为
?q??q
?0?p0q0??p?，p?q?1，0?p?1，
p??
证明：此markov链有遍历性，并求其平稳分布.
第六章
1. 鞅及停时的定义
2. 鞅的证明
1、设x1,x2,?是一族零均值的独立随机变量序列，且e(xi)??，sn?n?x
i?1i，证明：?sn?是关于{fn}的鞅.
2、证明brown运动是鞅.
第七章
1. brown运动的定义及相关概率计算
2. gauss过程及相关概率计算
3. brown的最大值变量及反正弦律
1、设{b(t),t?0}是标准brown运动，计算p{b(1)?0,b(2)?0}.
2、设{b(t),t?0}是标准brown运动，计算b(1)?2b(2)?3b(3)的分布.
3、设{b(t),t?0}是标准brown运动，计算p{b(t)dt?0?12.
第八章
考试范围：p157性质8.2.1第二条，伊藤公式
【篇三：随机过程教学大纲】
xt>一课程说明
1.课程基本情况课程名称：应用随机过程
英文名称：applications random process 课程编号：2411223
开课专业：数学与应用数学专业开课学期：第6学期学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
《应用随机过程》是面向数学与应用数学专业（应用数学方向）三
年级学生开设的一门任选课，随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征。着重对随时间和空间变化的
随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具
有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各
个领域中都有广泛的应用。 3．本课程的教学目的和任务
通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、
思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学
生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提
高学生在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力，
为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求先修课程：微积分、概率论。
掌握随机过程及其有限维分布、数字特征、几种重要的随机过程等
基本概念；掌握马尔可夫过程的定义及性质、马氏链的状态分类、
平稳性和遍历性及连续时间马氏链的基本理论；理解平稳过程的概念、相关函数的性质，掌握遍历性定理、
相关函数的谱分解、平稳过程的预报.了解维纳过程、了解均方微分、积分等概念和方法；ito公式；初步领会随机微分方程在金融中的应用.
5．教学时数及课时分配
二教材及主要参考书
1、张波，商豪. 应用随机过程（第二版）. 中国人民大学出版社，2009
2、张波编著. 应用随机过程. 中国人民大学出版社, 2001
3、钱敏平、龚光鲁著. 应用随机过程. 北京大学出版社, 1998
4、方兆本、缪柏其著. 随机过程. 中国科技大学出版社, 1993
5、王寿仁
编著. 概率论基础和随机过程. 北京科学出版社, 1997
三教学方法和教学手段说明
本课程虽然归属理论课，但具有很强的应用性，在教学过程中应注
意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，注意理
论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新概念、新
方法。采用板书与多媒体结合的教学手段，以课堂讲授为主，学生
课堂讨论和练习为辅的教学方式。注重对学生的启
发与引导，注意联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使学生
加快对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解。为配合理
论教学的需要，在习题课中通过合适的例题和适当的讲解，使学生
通过做题，加深其对课堂讲授内容的理解，同时培养学生运用随机
过程理论解决实际问题的能力。
四成绩考核办法
本课程在大学三年级一学期开设，共计54学时（讲授54学时）。
考试分为平时作业（含课程设计）、半期考试和期末考试三部分组成，比例按教务处标准执行。评定学期成绩时结合平时出勤情况得
出该门课成绩。
第一部分基础知识（理论5学时）
一、教学目的
通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程
打下良好的基础，提供必备的数学工具。
二、教学重点
概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
三、教学难点
概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
四、讲授要求
掌握随机变量的基本概念，随机变量的分布函数与概率密度、数字
特征、特征函数和统计特性以及概率空间，矩母函数和特征函数的
定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等。
五、讲授要点
随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征
函数；独立性和条件期
望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识
作简要的回顾和扩展。
六、实验及实践要求无
第二部分随机过程的基本概念（理论6学时）
一、教学目的
通过本章学习，使学生理解随机过程的定义，了解随机过程的例子，理解并掌握随机过程的有限维分布函数族和数字特征，了解随机过
程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基本性质。二、教学重点
随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。三、教
学难点
随机过程的概念，有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。四、讲
授要求
要求理解和掌握随机过程的概念及定义；掌握和应用随机过程的统
计描述；理解和掌握和应用随机过程的联合分布和互相关函数；了
解随机过程的分类方式及分类，掌握几种典型的随机过程，及其基
本性质；有限维分布族，柯尔莫哥洛夫存在定理。
五、讲授要点
本章主要内容包括随机过程的基本概念和例子；随机过程的有限维
分布函数族和数字特征；随机过程的分类和几种典型随机过程及其
性质的介绍。
六、实验及实践要求无
第三部分平稳过程（理论5学时）
一、教学目的
通过本章学习，使学生了解严平稳过程的概念，理解掌握宽平稳过
程及其性质，了
解平稳增量过程，了解遍历性的基本概念，理解均值和协方差函数
遍历，掌握均值和协方程函数遍历性定理；要求学生能判断出某一
随机过程是否是平稳过程，并能验证其是否具有遍历性。
二、教学重点
宽平稳过程的概念及性质。三、教学难点
遍历性的理解及遍历性定理。四、讲授要求
理解平稳过程的基本定义、严平稳和宽平稳随机过程、高斯过程和滑动平均序列；遍历性的基本概念，理解均值遍历和协方差函数遍历，掌握均值遍历性定理和协方程函数遍历性定理；协方差函数的基本性质；振幅调制波、频率调制波和平方检波；确定性时间函数的能量、能谱密度、功率谱的基本概念，理解平稳过程功率谱的概念，理解wiener-khintchine公式；最小均方误差预报，理解最佳预报的基本含义；平稳序列的预报的基本概念，理解自回归模型的线性最佳预报和滑动平均模型的预报。
五、讲授要点
本章主要介绍平稳过程的概念及性质，着重讲解宽平稳过程；同时介绍平稳过程的遍历性。
六、实验及实践要求无
第四部分possion过程（理论10学时）
一、教学目的
通过本章的学习，使学生了解计数过程，理解掌握possion过程的定义与基本性质，了解泊松过程的实际背景，熟悉它的若干推广及应用。
二、教学重点
possion过程理解、应用。