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概率计算方法

概率计算方法
概率计算方法

概率计算方法

在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=

的结果数

随机事件所有可能出现果数

随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事件)

=0;0

例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌,其中

只有两块木牌的背面贴有中奖标志,则随机翻动一块木牌中奖的概率为

________.

解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中,一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=

3

1

62=. 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景,重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法

例2 如图2是地板格的一部分,一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去,如果它随意停留在某一个地方,则它停留在阴影部分的概率是_______.

解析:因为四块地板的面积各不相同,故应分别求出阴影部分的面积为

2×1+2×3=8,总面积为:2×1+2×2+2×3+1×5=17,面积之比即为所求概率.所以P(随意停留在阴影部分)=

17

8

. 评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 三.树形图法

例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中白球有2个,黄球有1个,现从中任意摸出一个是白球的概率为12

.

(1)试求袋中蓝球的个数.

(2)第一次任意摸一个球(不放回),第二次再摸一个球,请用画树状图法,求两次摸到都是白球的概率.

解析:⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得

2

1

122=++x ∴x=1

答:蓝球有1个 (2)树状图如下:

∴ 两次摸到都是白

图1

图2

白2白1蓝白2白1蓝

黄白1蓝黄白2

球的概率 =

6

1

122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清:①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法

例4 (07山西)如图3,有四张编号为1,2,3,4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.

(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?

(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.

解析:(1)所求概率是

.2

142= (2)解法一(树形图):

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是

.6

1122= 解法二(列表法):

共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.6

1122= 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤(三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有

1 2 3

图4

图3 第一次抽取

1

第二次抽取 2

3

4

1

1

效.

一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点?共有多少条棱?

即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的,求这一事件发生的概率

p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)

其中p(A/B)叫条件概率,即:在B发生的情况下,A发生的概率

柏努力公式

是用以求某事件已经发生,求其是哪种因素的概率造成的

好以上例中已知A事件发生了,用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多大,C因素,D因素同样也求.

古典概型 P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数

几何概型 P(A)=A面积/总的面积

条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数

相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系

独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

概率计算

二. 重点、难点:

1. 古典概型∴

2. A、B互斥,则

3. A的对立事件,

4. A、B独立,则

【典型例题】

[例1] 从5双不同的鞋中任取四只,求至少配成一双的概率。

[例2] 4封不同的信,随机投入3个信箱,试求三个信箱均不空的概率。

[例3] 某袋中有大小相同的红球2个,白球4个。

(1)甲每次取一个不放回,恰在第k次取得红球的概率。

(2)甲一次取两个同色的概率。

(3)甲每次取一个不放回,在第三次首次取到红球的概率。

[例4] 从52张扑克牌中任取5张。

(1)5张同花的概率;

(2)5张顺子的概率;

(3)5张同花顺的概率;

(4)5张中有四张点数相同的概率;

(5)5张中有花色齐全的概率。

解:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

[例5] (1)掷一枚骰子三次之和为10的概率。

解:有序,所有可能

满足条件

(2)掷三枚骰子,三枚骰子之和为10的概率。

同上

[例6] 10个外表相同的小球,其中8个为a克,2个为b克,现从10球中取3个放在一端,再从余下的7个中取3个放在另一端,则天平平衡的概率是多少?

解:总数

平衡:①②

[例7] 有三个电器件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,将其中某两个并联后再与第三个串联,求使电路不发生故障的概率最大值。

A. T1T2并联

B. T2T3并联

C. T1T3并联

∴ T1T2并联,再与T3串联,不发生故障概率最大。

[例8] 某射击手,射击一次击中目标的概率为0.8,他连续射击三次。

(1)全部击中的概率

(2)击中目标的概率

(3)恰有一次击中目标的概率

解:三次射击击中的事件依次为A1、A2、A3

(1)

(2)均不击中

(3)

[例9] 如图所示,为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率,假设各元件正常工作,相互独立,求接入电路后,电路导通的概率。

[例10] 设甲、乙、丙三人射击目标击中的概率分别为0.7,0.6,0.5,三人各向目标射击一次。

(1)至少有1人命中的概率;

(2)恰有2人命中的概率。

解:

(1)

(2)

[例11] 一汽车前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为,遇到红灯的概率为,假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止。求停车时最多已通过3个路口的概率。

解:

[例12] 现有个可靠度为P()的电子元件其接入方式如图

试判断哪一种更可靠

解:

令,∴

∴方式更可靠

【模拟试题】

1. 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和为9的概率是()

A. B. C. D.

2. 从1,2,……9过九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数和为偶数的概率是()

A. B. C. D.

3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为()

A. B. C. D.

4. 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为()

A. B. C. D.

5. 某班委会由4名男生与3名女生组成现从中选出2人担任正副班长,其中至少有一名女生当选的概率是()

A. B. C. D.

6. 口袋内装有10个相同的球,其中5个标有0,5个标有1,若从换出5个球,五个球数字之和小于2或大于3的概率是()

A. ,

B. ,

C. ,

D.

7. 从1、2、3……9中任取2数。

(1)均为奇数的概率?

(2)和为偶数的概率?

(3)积为偶数的概率?

8. a、b、c,任取满足条件的一组a、b、c,恰成等差数列的概率是多少?

9. 甲、乙进行乒乓球比赛,已知每局甲获胜概率为0.6,乙获胜概率为0.4,比赛可采用三局二胜制,或五局三胜制。试问哪一种制度下,甲获胜的可能性大。

概率计算公式

罐中有12粒围棋子,其中8粒白子,4粒黑子,从中任取3粒,求取到的都是白子的概率是多少?

12粒围棋子从中任取3粒的总数是C(12,3)

取到3粒的都是白子的情况是C(8,3)

∴概率

C(8,3)

P=——————=14/55

C(12,3)

附:排列、组合公式

排列:从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一排,叫做从n个不同的元素中取m个元素的排列。

排列数:从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中

取出m个元素的排列数,记为Anm

排列公式:A(n,m)=n*(n-1)*.....(n-m+1)

A(n,m)=n!/(n-m)!

组合:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中取m 个元素的组合。

组合数:从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记为Cnm

组合公式:C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!*(n-m)!)

C(n,m)=C(n,n-m)

概率计算方法

概率计算方法

概率计算方法 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事件)=0;0

摸一个球,请用画树状图法,求两次摸到都是白球的概率. 解析:⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1 1 22=++x ∴x=1 答:蓝球有1个 (2)树状图如下: ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 1 122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清:①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的. 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 黄 白2白1蓝 黄白1蓝黄白2

四.列表法 例4 (07山西)如图3,有四张编号为1,2,3,4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上. (1)从中随机抽取一 张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少? (2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率. 1 2 3 图 图3

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题(含答案及解析) 1.(本题8分)为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表: ⑴表中a和b所表示的数分别为:a= .,b= .; ⑵请在图中补全频数分布直方图; ⑶如果把成绩在70分以上(含70分)定为合格,那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名? 2.为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生,某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图: (1)某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家.请将折线统计图补充完整; (2)该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业,现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率. 3.(12分)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜 色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图.

根据以上信息解答下列问题: (1)求实验总次数,并补全条形统计图; (2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度? (3)已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量.4.(本题10分)某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况,从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况,将统计结果列出如下的表格,并绘制成如图所示的扇形统计图,其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%. 类别科普类教辅类文艺类其他册数(本)128 80 m 48 (1)求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数; (2)该校2014年八年级有500名学生,请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本? 5.(10分)将如图所示的版面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上(“A”看做是“1”)。 (1)从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是;(3分) (2)从中随机抽出两张牌,两张牌面数字的和是5的概率是;(3分)(3)先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树形图的方法求组成的

概率统计常见题型及方法总结

常见大题: 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”,有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这个“结果”发生,考虑结果B 发生的概率,或者求在B 发生的条件下,源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式: ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式: 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑|| 一(12分)今有四个口袋,它们是甲、乙、丙、丁,每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后从丁口袋中任取一球,问取到红球的概率为多少? 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球,4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球, 2分 则 b a a B P += )(1, 2分 )()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二(10分)袋中装有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都出现国徽,问这只硬币是次品的概率为多少?

、解 记B ={取到次品},B ={取到正品},A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++,()1P A B =,()1 2r P A B =―—5分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、(10分)一批产品共100件,其中有4件次品,其余皆为正品。现在每次从中任 取一件产品进行检验,检验后放回,连续检验3次,如果发现有次品,则认为这批产品不合格。在检验时,一件正品被误判为次品的概率为0.05,而一件次品被误判为正品的概率为0.01。(1)求任取一件产品被检验为正品的概率;(2)求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”, B 表示“任取一件产品是正品”,则 ()96100P B = ,()4 100 P B =,()|0.95P A B =,()|0.01P A B = (1)由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= (2)这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’,统计资料表明,发出‘0’和‘1’的概 率分别为0.6和0.4,由于存在干扰,发出‘0’时,分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’,以0.2的概率收为模糊信号‘x ’;发出‘1’时,分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’,以概率0.1收到模糊信号‘x ’。 (1)求收到模糊信号‘x ’的概率; (2)当收到模糊信号‘x ’时,以译成哪个信号为好?为什么? 解 设i A =“发出信号i ”)1,0(=i , i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。由题意知 6.0)(0=A P , 4.0)(1=A P , 2.0)|(0=A B P x , 1.0)|(1=A B P x 。 (1)由全概率公式得 ) ()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x += 4分 16.04.01.06.02.0=?+?=。 2分 (2)由贝叶斯公式得 75.016 .06 .02.0)()()|()|(000=?== x x x B P A P A B P B A P , 3分 25 .075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分

概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图 统计 随机抽样 抽签法 随机数表法 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 共同特点:抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 (概率)相等用样本估计总体 样本频率分布 估计总体 总体密度曲线 频率分布表和频率分布直方图 茎叶图 样本数字特征 估计总体 众数、中位数、平均数 方差、标准差 变量间的相关关系 两个变量的 线性相关 散点图回归直线 正态分布 列联表(2×2)独立性分析 概率 概率的基本性质互斥事件对立事件 古典概型 几何概型 条件概率 事件的独立性 用随机模拟法求概率 常用的分布及 期望、方差 随机变量 两点分布 X~B(1,p) E(X)=p,D(X)=p(1-p) 二项分布 X~B(n,p) E(X)=np,D(X)=np(1-p) X~H(N,M,n) E(X)=n M N D(X)= nM N? ? ? ? 1- M N N-n N-1 n次独立重复试验恰好 发生k次的概率为 P n(k)=C k n p k(1-p)n-k 超几何分布 若Y=aX+b,则 E(Y)=aE(X)+b D(Y)=a2D(X) P(A+B)=P(A)+P(B) P(?A)=1-P(A) P(A B)=P(A)·P(B) P(B | A)= P(A B) P(A)

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容,在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容,题型及分值稳定,难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下: ①必然要发生的事件叫必然事件; ②一定不发生的事件叫不可能事件; ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下,做次重复实验,事件A 发生次,测得A 发生的频率为,当很大时,A 发生的频率总是在某个常数附近摆动,随着的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做A 的概率,记作。对于必然事件A ,;对于不可能事件A ,=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中,不可能再分的事件称为基本事件,所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件:1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件:每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ,A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为 A μ.

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 (1)排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。 Ω为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的关系与运算①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B A? 如果同时有B A?,A B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事件) =0;0

最全的遗传概率计算方法(高中生物)

全:遗传概率的计算方法(高中生物) 概率是对某一可能发生事件的估计,是指总事件与特定事件的比例,其范围介于0和1之间。相关概率计算方法介绍如下: 一、某一事件出现的概率计算法 例题1:杂合子(Aa)自交,求自交后代某一个体是杂合体的概率。 解析:对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。(1)若该个体表现型为显性性状,它的基因型有两种可能:AA和Aa。且比例为1∶2,所以它为杂合子的概率为2/3。(2)若该个体为未知表现型,那么该个体基因型为AA、Aa和aa,且比例为1∶2∶1,因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案:2/3或1/2 二、亲代的基因型在未肯定的情况下,其后代某一性状发生的概率计算法 例题2:一对夫妇均正常,且他们的双亲也都正常,但双方都有一白化病的兄弟,求他们婚后生白化病孩子的概率是多少 解析:(1)首先确定该夫妇的基因型及其概率由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3,AA的概率为1/3。(2)假设该夫妇为Aa,后代患病的概率为1/4。(3)最后将该夫妇均为Aa的概率(2/3×2/3)与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘,其乘积1/9,即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案:1/9 三、利用不完全数学归纳法 例题3:自交系第一代基因型为Aa的玉米,自花传粉,逐代自交,到自交系第n代时,其杂合子的几率为。 解析:第一代 Aa 第二代 1AA 2Aa 1aa 杂合体几率为 1/2 第三代纯 1AA 2Aa 1aa 纯杂合体几率为(1/2)2 第n代杂合体几率为(1/2)n-1 正确答案:杂合体几率为(1/2)n-1 四、利用棋盘法

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概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了 统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)=的结果数 随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事件)=0;0

解析:⑴设蓝球个数为x 个 . 由题意得2 1122=++x ∴x=1 答:蓝球有1个 (2)树状图 如下: ∴ 两次摸到都是白球的概率 =6 112 2=. 说明:解有关的概率问题首先弄清:①需要关注的是发生哪个或哪些结果. ②无论哪种都是机会均等的 . 本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法 例4 (07山西)如图3,有四张编号为1,2,3,4的卡 片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上. (1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的黄白2蓝白2白1蓝黄白1蓝黄白2

概率统计的数学计算解析

概率流程图的数学计算:瀑布算法、圆桌算法、混合算法 概率流程图的数学计算:瀑布算法、圆桌算法、混合算法解析 攻击判定流程研究:瀑布算法、圆桌算法、混合算法解析 攻击判定流程几乎是所有包含战斗玩法的游戏都无法绕过的一块内容,常见的攻击判定流程有瀑布算法、圆桌算法以及混合算法三种。本文简述了这三种判定流程的特征,以实例对比分析了瀑布算法与圆桌算法各自的优点,以期为后续其他战斗数值设计内容的论述提供一定的基础。 攻击判定流程概述 自此开始正文内容的叙述——让我们直接代入一个实例: 在一款游戏中,攻击方有命中率和暴击率两个攻击属性,而防守方有闪避率、招架率和格挡率三个防御属性。于是相应的,一次攻击有可能产生6种判定结果:未命中、普通命中、闪避、招架、格挡和暴击。当采用不同的判定流程进行攻击结算时,6种判定结果出现的频率会截然不同。 1. 瀑布算法 顾名思义,在瀑布算法中,各事件的判定顺序如同瀑布一般自上而下。如果“水流”在某个位置被截断,则后面的流程都将不再继续进行。据我所知,瀑布算法是大多数游戏所采用的攻击判定算法。 上述实例若采用瀑布算法,则会以如下方式进行判定: 瀑布算法流程图 由此我们可以得出: 先判定攻方是否命中再判定是否被守方闪避再判定是否被守方招架再判断是否被守方格挡最后判定该次攻击是否为暴击 瀑布算法特征1:多次掷骰,一次掷骰只判定单个事件的发生与否 瀑布算法特征2:后置判定依赖于前置判定的通过 注:有的游戏会将命中和闪避合并在一次掷骰中判定,这意味着将攻方命中率与守方闪避率合并计算出实际击中概率后再进行掷骰判定,仍是瀑布算法

我们再代入一些具体的数值,设攻守双方角色的面板属性如下: 攻方命中率=90% 攻方暴击率=25% 守方闪避率=20% 守方招架率=15% 守方格挡率=30% 按照上述的流程判定,6种判定结果将会按如下的概率分布: 实际未命中概率=1-命中率=1-90%=10% 实际闪避概率=命中率*闪避率=90%*20%=18% 实际招架概率=命中率*(1-闪避率)*招架率=90%*(1-20%)*15%=10.8% 实际格挡概率=命中率*(1-闪避率)*(1-招架率)*格挡率 =90%*(1-20%)*(1-15%)*30%=18.36% 实际暴击概率=命中率*(1-闪避率)*(1-招架率)*(1-格挡率)*暴击率 =90%*(1-20%)*(1-15%)*(1-30%)*25%=10.71% 实际普通命中概率=命中率*(1-闪避率)*(1-招架率)*(1-格挡率)*(1-暴击率)=90%*(1-20%)*(1-15%)*(1-30%)*(1-25%)=32.13% 瀑布算法的判定结果分布 由此我们可以得出: l 瀑布算法特征3:各事件出现的概率符合经典的概率计算方法 l 瀑布算法特征4:掷骰轮次越偏后的属性衰减程度越大,但不会出现无效的属性 2.圆桌算法 将所有可能出现的事件集合抽象成一个圆桌桌面,便是圆桌算法这一称呼的由来。圆桌算法的实质,是将所有可能发生的事件状态按优先级依次放上桌面,直至所有事件被放完或

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
(1)排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
(2)加法 和乘法原 理
加法原理(两种方法均能完成此事) :m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种 方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :m×n 某件事由两个步骤来完成, 第一个步骤可由 m 种方法完成, 第二个步骤可由 n 种 方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如 下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 ? 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点(基本事件 ? )组成的集合。通常用大写字母 A, B,C,…表示事件,它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件,? 为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件(Ω )的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, (A 发生必有事件 B 发生) :
(3)一些 常见排列 (4)随机 试验和随 机事件
(5)基本 事件、样本 空间和事 件
(6)事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B , B ? A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件:A ? B,或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可表 示为 A-AB 或者 A B ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率计算方法总结3

概率计算方法总结 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事 件)=0;0

高中数学概率统计

第八讲 概率统计 【考点透视】 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=)()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 例1.在五个数字12345,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示). [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. [解答过程]0.3提示:1 33 5 C 33.54C 10 2 P ===? 例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 . [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20 提示:51.10020P == 例3从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g ): 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________. [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

概率计算公式

概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) -P(AB 条件概率 当P(A)>0 ,P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ), P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容,则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组,则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ,则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B,有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率,称为条件概率,记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ,P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ,P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 , A2 ,?, An 互不相容,且 A1+A2+?+An=Ω,则称 A1 ,A2 ,?, An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。

概率论与数理统计C的习题集-计算题

一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解:() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?= = = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解: () ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ,即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =, 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求: (1)()P A B ?; (2) ()P A B -; (3) () P B A 。解:(1)()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-; (2)(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- (3)() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= 5、为了防止意外,在矿同时设两种报警系统,A B ,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A 为0.92,系统B 为0.93,在A 失灵的条件下,B 有效的概率为0.85,求: (1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率;(2)B 失灵的条件下,A 有效的概率。 解:设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”, ()()() 0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===, ()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ?=+-=+=+= ()()()()()()()()()()() 0.070.080.152.0.8290.07P AB P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---?= ==== 6、由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4 15 ,刮风(记作事件B )的概率为 715,既刮风又下雨的概率为110 ,求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ?。 解:()()()1 3 10(1)714 15 P AB P A B P B ===;

概率计算方法

概率计算方法 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事件) =0;0

13.1 概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容,在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容,题型及分值稳定,难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下: ①必然要发生的事件叫必然事件; ②一定不发生的事件叫不可能事件; ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下,做次重复实验,事件A 发生次,测得A 发生的频率为,当很大时,A 发生的频率总是在某个常数附近摆动,随着的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做A 的概率,记作。对于必然事件A ,;对于不可能事件A ,=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中,不可能再分的事件称为基本事件,所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件:1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件:每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ,A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥,则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥,且其中必有一个发生,称事件A,B 对立,记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件,即“事件A ,B 对立”是”事件A ,B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型,古典概型特征有二:有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的;其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数;最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =,()2,n b n = ,其中{}, 1.2,3,4m n ∈ (1)请列出有序数组(),m n 的所有可能结果; (2) 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ,求事件A 发生的概率。 分析:两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,从而可得m 与n 的关系,再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的,即得事件A 包含的基本事件个数。 解析:(1)由{}, 1.2,3,4m n ∈,有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 , ()()() 1,2,1,3,1,4, ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4, ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4, ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 (2)因为(),1m a m =,()2,n b n =,所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-,得 ()(),12,10m m n ?--= ,即22m 10m n -+-= ,所以()21n m =- 。故事件A 包含的

概率与统计知识梳理

概率与统计 一、高考预测 计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块,高考对该部分的考查分值也较多.从近几年的情况看,该部分考查的主要问题是排列组合应用问题,二项式定理及其简单应用,随机抽样,样本估计总体,线性回归分析,独立性检验,古典概型,几何概型,事件的独立性,随机变量的分布、期望和方差,正态分布的简单应用,在试卷中一般是2~3个选择题、填空题,一个解答题,试题难度中等或者稍易.预计2012年该部分的基本考查方向还是这样,虽然可能出现一些适度创新,但考查的基本点不会发生大的变化.计数原理、概率统计部分的复习要从整体上,从知识的相互关系上进行.概率试题的核心是概率计算,其中事件之间的互斥、对立和独立性是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具,在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具;统计问题的核心是样本数据的分布,反映样本数据的方法:样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,得到样本数据的方法是随机抽样,在复习统计部分时,要紧紧抓住这些图表和方法,把图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解,如样本均值和方差的计算,用样本估计总体等. 二、知识导学 (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:求概率的步骤是:第一步,确定事 件性质? ? ? ? ? ?? 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事 件的运算? ? ? 和事件 积事件即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第 三步,运用公式 () ()()() ()()() ()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p- ? = ? ?? +=+ ? ??=? ? =- ?? 等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n次独立重复试验:求解第四步,答,即给提出的问 题有一个明确的答复.

概率算法统计

复数、算法、统计 1.复数32(1)i i +=( ) B.-2 C .2i D.2i - 2.若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( ) B.2 或2 3.复数11 212i i + -+-的虚部是( ) A .15i B .15 C .15i - D .15 - 4.在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 5.若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位),则z= . 6.右图中的程序框图. 若输入m =4,n =6, 则输出 a = ,i =___. (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) 7.某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松 树苗的数量为( ) A .30 B .25 C .20 D .15 8.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为:[)[)[)[)[)95,85,85,75,75,65,65,55,55,45,由此得到频率分布直方图如右图,则这20名工人中一天生产该产品数量在[)75,55的人数是 _. 9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则 这100人成绩的标准差为( ) A .3 B . 2105 C .3 D .8 5 技巧点拨 1.(文2理2)已知),(2R b a i b i i a ∈+=+,其中i 为虚数单位,则=+ b a (A )-1 (B )1 (C )2 (D )3 *2.(理5)已知随机变量ξ服从正态分布),0(2σN ,若023.0)2(=>ξP ,则=≤≤-)22(ξP (A ) (B ) (C ) (D ) 3.(文6) 在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如 下:90 89 90 95 93 94 93;去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值 为和方差分别为 (A ) 92,2 (B )92 , (C ) 93,2 (D )93, 4.(理6)样本中共有五个个体,其值分别为3,2,1,0,a ,若该样本的平均值为 1,则样本方差为 题 第8文理13

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