当前位置：文档库 › 2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)(最新整理)

2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)(最新整理)

2014 年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题

1、如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作⊙O 的切线 DC ，P 点为优弧 CBA 上一动点（不与 A ．C 重合）．

（1）求∠APC 与∠ACD 的度数；

（2）当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形．

（3）P 点移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等，请说明理由．

2、如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ，

AC= 1

AB ，点 P 在半圆弧 AB

上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．

（1）如图 1，求证：△PCD ∽△ABC ；

（2）当点 P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图 2 中画出△PCD 并说明理由；

（3）如图 3，当点 P 运动到 CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．

3、如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E．

（1）当BC=1 时，求线段 OD 的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，

请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为 y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．

4、如图，菱形ABCD 的边长为2cm，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC

向C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运

动．当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 ts．

（1）当P 异于A．C 时，请说明PQ∥BC；

（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P与

边BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？

5、如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2

，∠A＝60o，以点 D 为圆心的⊙D 与边 AB 相切于点 E．

(1)求证：⊙D与边BC 也相切；

(2)设⊙D与BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积(结

果保留)；

(3)⊙D上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半

周，当 S△HDF＝

果保留)．

3S△MDF时，求动点 M 经过的弧长(结

6、半径为2cm 的与⊙O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点F，DC 在l 上．

（1）过点B 作的一条切线BE，E 为切点．

①填空：如图1，当点A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是；

②如图2，当E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；

（2）以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC 与OF 重合时结束移动，M，N 分别是边BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围．

7、如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，

BC=3，点P 在射线AC 上运动，过点P 作PH⊥AB，垂足为H．

（1）直接写出线段AC、AD 及⊙O 半径的长；

（2）设PH=x，PC=y，求y 关于x 的函数关系式；

（3）当PH 与⊙O 相切时，求相应的y 值．

8、如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点

（不与M、C 重合），以AB 为直径作⊙O，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；

（2）设BP=x，AF=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）延长DC、FP 交于点G，连接OE 并延长交直线DC 与H（图2），问是否存在点P，

使△EFO∽△EHG（E、F、O 与E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；

如果不存在，请说明理由．

9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O，交⊙O 于C、D 两点，直径AB⊥CD，点M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点，AM所在的直线交于⊙O 于点N，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN．

（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程；

（2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

10、如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G，交过C 的直线于F，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N．

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；

（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明

（3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos∠BOC= ，求BN 的长．

11、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED⊥AB 于点F,交BC

5 于点 G ，过点 C 作圆 O 的切线与 ED 的延长线交于点 P ． (1）求证：PC ＝PG ；

（2）点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若点 G 是 BC 的中点，试探究 CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）

在满足（2）的条件下，已知圆为 O 的半径为 5,若点 O 到 BC 的距离为时，求弦 ED

的长．

12、如图 1，已知⊙O 的半径长为 3，点 A 是⊙O 上一定点，点 P 为⊙O 上不同于点 A 的动点．

（1）当tan A =

1 时，求 AP 的长；

（2）如果⊙Q 过点 P 、O ，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2），设 AP ＝x ，QP ＝y ，求 y 关

于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当tan A = 4

时（如图 3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q

3 相外切，且 OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．

图 1 图 2 图 3

答案：

1、解：（1）连接 AC，如图所示：

∵AB=4，∴OA=OB=OC=1

AB=2。2

又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO 为等边三角形。∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，

∴∠APC=1

∠AOC=30°。2

又 DC 与圆 O 相切于点 C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接 PB，OP，

∵AB 为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点 P 移动到弧 CB 的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP 和△BOP 都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。

∴四边形 AOPC 为菱形。

（3）当点 P 与B 重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。

当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：

∵CP与AB 都为圆 O 的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。

综上所述，当点 P 与 B 重合时和点 P 运动到 CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA。

2、解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是B C所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）当 PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC 是⊙O 的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：

4 - x 2 2

x+ 4 - x 2 2 2 2

- 2 ? ? 1 ?2

? ? 2 4 - x 2 4 - x 2

2 2

x+ 4 - x 2 2

（3）∵∠ACB=90°，AC= 1

AB ，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴ A

C = A P 。∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

3、解：（1）∵点 O 是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= 1 BC= 1

。

又∵OB=2，∴ OD= （2）存在，DE 是不变的。如

图，连接 AB ，则 AB=

∵D 和 E 是中点，∴DE= 1

AB= 2

2 2

= =

= 2 。

。

15 。 2

（3） ∵BD=x，∴ OD = 。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900

。

∴∠2+∠3=45°。

过 D 作 DF⊥OE，垂足为点 F 。∴DF=OF= 。

由△BOD∽△EDF，得 BD = OD

，即

EF DF

x 4 - x 2 1 = ，解得 EF= x 。 EF 4 - x 2 2

∴OE= 。

∴。

y = 1 DF ? O E = 1 ? ? 4 - x 2 +x 4 - x 2 = 形

0 < x < 2 2 4 2形 OB 2

- BD 2

OB 2 +OA 2 2

3 3 3 3 3 3 3 4、解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2，

∴AB=BC=2，∠BAC= 2

∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。如图 1，连接 BD 交 AC 于 O 。 ∵四边形 ABCD 是菱形， 1 ∴AC⊥BD，OA= 2

AC 。

∴OB= 2

AB=1。∴OA= ，AC=2OA=2 。

运动 ts 后，AP=

t ，AO=t ，∴

AP = AC = 。

AQ AB

又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如图 2，⊙P 与 BC 切于点 M ，连接 PM ，则 PM⊥BC。

在 Rt△CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM= PC= - t 。

由 PM=PQ=AQ=t ，即 -

t =t ，解得 t=

4 2

- 6 ，

此时⊙P 与边 BC 有一个公共点。如图 3，⊙P 过点 B ，此时 PQ=PB ， ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB 为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴当 4 - 6 < t ≤ 1时，⊙P 与边 BC 有 2 个公共点。

如图 4，⊙P 过点 C ，此时 PC=PQ ，即 2

∴t= 3 - 。

- 3t =t

∴当 1≤t≤ 3 - 时，⊙P 与边 BC 有一个公共点。

当点 P 运动到点 C ，即 t=2 时，Q 、B 重合，⊙P 过点 B ，此时，⊙P 与边 BC 有一个公共点。

3 3 3 3 3 3

3 综上所述，当 t=

4 - 6 或 1≤t≤ 3 - 或 t=2 时，⊙P 与菱形 ABCD

的边 BC 有 1 个公共点；当 4 - 6 < t ≤ 1时，⊙P 与边 BC 有 2 个公共点。

5、解：（1）证明：连接 DE ，过点 D 作 DN ⊥BC ，垂足为点 N 。

∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC 。

∵⊙D 与边 AB 相切于点 E ，∴DE ⊥AB 。∴DN=DE 。

∴⊙D 与边 BC 也相切。

（2）∵四边形 ABCD 是菱形，AB ＝ 2

3，∴AD ＝AB ＝2 3 。

又∵∠A ＝60o，∴DE ＝ADsin600＝3，即⊙D 的半径是 3。

又∵∠HDF ＝ 1

∠HADC ＝60o，DH ＝DF ，∴△HDF 是等边三角形。

过点 H 作 HG ⊥DF ，垂足为点 G ，则 HG ＝3sin600＝ 3

3 。

2 1

3 9 60 ?? 32

∴ S ?HDF = 2 ? 3? 2 3 = 3形 4

S 形形 HDF =

360 = 。 2 ∴ S = S

- S = 3- 9

3 = 6- 9 3 。阴形形形 HDF

?HDF 2 4 4

（3）假设点 M 运动到点 M 1 时，满足 S △HDF ＝ 3S △MDF ，过点 M 1 作 M 1P ⊥DF ，

垂足为点 P ，则 9 3 = 3 ? 1 ? 3 ? M P ，解得 M 'P= 3

。

4 2 1

∴ M 1P= 2

DM 1 。∴∠M 1DF ＝30o。

此时动点 M 经过的弧长为： 30 ?? 3

= 。

180 2

过点 M 1 作 M 1M 2∥DF 交⊙D 于点 M 2，

则满足S ?HDF = 3S ?M1DF = 3S ?M2DF ，

此时∠M DF ＝150o，动点 M 经过的弧长为： 150 ?? 3 = 5

。

2 180 2

6、7．解：（1）①∵半径为 2cm 的与⊙O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，当点 A 在⊙O 上时，过点 B 作的一条切线 BE ，E 为切点，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°， ∴∠EBA 的度数是：30°；

②如图 2，

∵直线 l 与⊙O 相切于点 F ， ∴∠OFD=90°，

∵正方形 ADCB 中，∠ADC=90°，

3 3

5 5 5 5 5 5 ∴OF ∥AD ， ∵OF=AD=2，

∴四边形 OFDA 为平行四边形， ∵∠OFD=90°，

∴平行四边形 OFDA 为矩形， ∴DA ⊥AO ，

∵正方形 ABCD 中，DA ⊥AB ， ∴O ，A ，B 三点在同一条直线上； ∴EA ⊥OB ，

∵∠OEB=∠AOE ， ∴△EOA ∽△BOE ，

OA OE ∴ = ， OE OB

∴OE 2=OA?OB ， ∴OA （2+OA ）=4，解得：OA=-1± ， ∵OA ＞0，∴OA= -1；

方法二：

在 Rt △OAE 中，cos ∠EOA=

OA = OA ， OE

2 在 Rt △EOB 中，cos ∠EOB=

，

∴ OA =

2 2

， OA + 2

OB OA + 2

解得：OA=-1± ，

∵OA ＞0，∴OA= -1；

方法三：

∵OE ⊥EB ，EA ⊥OB ，

∴由射影定理，得 OE 2=OA?OB ， ∴OA （2+OA ）=4，解得：OA=-1± ， ∵OA ＞0，

∴OA= -1；

（2）如图 3，设∠MON=n°，S 扇形MON =

×22=

n （cm 2），

360

S 随 n 的增大而增大，∠MON 取最大值时，S 扇形MON 最大，当∠MON 取最小值时，S 扇形MON 最小，

如图，过O 点作OK⊥MN 于K，

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

NK NK

在Rt△ONK 中，sin∠NOK= ，

ON 2

∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，

①当N，M，A 分别与D，B，O 重合时，MN 最大，MN=BD，

∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON最大=π（cm2），

②当MN=DC=2 时，MN 最小，

∴ON=MN=OM，

∴∠NOM=60°，

S 扇形MON 最小2 =

π（cm2），3

∴ π≤S 扇形MON≤π．

7、（1）连接AO、DO．设⊙O 的半径为r．

在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC==4，则⊙O 的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；

∵CE、CF 是⊙O 的切线，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，

∴四边形CEOF 是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF 是⊙O 的切线，

∴AF=AD；

∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，即AD=3；

（2）在Rt△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，

∵∠C=90°，PH⊥AB，

∴∠C=∠PHA=90°，

∵∠A=∠A，

∴△AHP∽△ACB，

∴==，

即=，

∴y=﹣x+4，即y 与x 的函数关系式是y=﹣x+4；

（3）如图，P′H′与⊙O 相切．

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，

∴四边形OMH′D 是正方形，

∴MH′=OM=1；

由（1）知，四边形CFOE 是正方形，

CF=OF=1，

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；

又由（2）知，y=﹣x+4，

∴y=﹣y+4，解得，y=．

8、（1）证明：连接OE

FE、FA 是⊙O 的两条切线

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF 和Rt△OEF 中，

∴Rt△FAO?Rt△FEO（HL），

∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE，

∴∠AOF=∠ABE，

∴OF∥BE，

（2）解：过F 作FQ⊥BC 于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ 中

∴FQ2+QP2=PF2

∴22+（x﹣y）2=（x+y）2

化简得：，（1＜x＜2）；

（3）存在这样的P 点，

理由：∵∠EOF=∠AOF，

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，

当∠EFO=∠EHG=2∠EOF 时，

即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，

此时Rt△AFO 中，

y=AF=OA?tan30°= ，

∴

∴当时，△EFO∽△EHG．

9、（1）PN 与⊙O 相

切．证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．

∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．

即PN 与⊙O 相切．

（2）成立．

证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN．在

Rt△AOM 中，

∴∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°﹣90°=90°．

即PN 与⊙O 相切．

（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．

作NE⊥OD，垂足为点E，

则 NE=ON ?sin60°=1× = ．

S 阴影=S △AOC +S 扇形 AON ﹣S △CON =OC ?OA+CO ?NE

=×1×1+π﹣×1× =+

π﹣

．

10、（1）证明：∵△BCO 中，BO=CO ， ∴∠B=∠BCO ，

在 Rt △BCE 中，∠2+∠B=90°，

又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°， ∴CF 是⊙O 的切线；

（2）证明：∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，

∴∠ACB ﹣∠BCO=∠FCO ﹣∠BCO ，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，

∵∠4=∠D ，∴△ACM ∽△DCN ；

（3）解：∵⊙O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4，

在 Rt △COE 中，cos ∠BOC= ， 4

∴OE=CO ?cos ∠BOC=4× 1

=1，

由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得： CE===

， AC= ==2 ， BC=

，

∵AB 是⊙O 直径，AB ⊥CD ， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2，

∵△ACM ∽△DCN ， ∴

，

﹣

∵点 M 是 CO 的中点，CM=AO=×4=2， ∴CN=

，

∴BN=BC ﹣CN=2

=．

11、

12、（1）如图4，过点O 作OH⊥AP，那么AP＝2AH．

在Rt△OAH 中，OA＝3，tan A =1 ，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．

解得m =3 5 ．所以AP = 2 AH = 4m =12 5 ．

5 5

（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP 是等腰三角

形．又因为底角∠P 公用，所以△QPO∽△OAP．

因此QP =OP ，即y =3 ．

PO PA 3 x

由此得到y =9 ．定义域是0＜x≤6．

图4 图5

（3）如图6，联结OP，作OP 的垂直平分线交AP 于Q，垂足为D，那么QP、QO 是⊙Q 的半径．

在Rt△QPD 中，PD =1 PO =3 ，tan P = tan A =4 ，因此QP =5 ．

2 2

3 2

如图7，设⊙M 的半径为r．

由⊙M 与⊙O 内切，r

= 3 ，可得圆心距OM＝3－r．

由⊙M 与⊙Q 外切，r =QP =5 ，可得圆心距QM =5 +r ．

Q 2 2

在Rt△QOM 中，QO =5 ，OM＝3－r，QM =5 +r ，由勾股定理，得

2 2

( 5

+r)2= (3 -r)2+ (

)2．解得r =

9 ．

2 2 11

图6 图7 图8

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!