医学高等数学习题解答(1,2,3,6)
第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)
一、判断题题解
1. 正确。设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。故为偶函数。
2. 错。y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。定义域不同。
3. 错。+∞=→20
1
lim
x
x 。故无界。 4. 错。在x 0点极限存在不一定连续。
5. 错。01
lim =-
+∞→x
x 逐渐增大。
6. 正确。设A x f x x =→)(lim 0
，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。
7. 正确。反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解
1. ()
)( 22)]([,2)(,)(22
2D x f x x x f x x x ====??
2. y =x (C )
3. 01
sin
lim 0=→x
x x (A )
4. 0cos 1sin
lim
0=→x x x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 1
1
1
1
1
f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--
(B ) 6. 3092
-x x (D )
7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。 (A )
8. 设1)(4
--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。 (D ) 三、填空题题解
1. 210≤-≤x ?31≤≤x
2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。
3. 31=
ω,πω
π62==T 。 4. y x -=,可以写成x y -=。
5. 设6
t x =，1,1→→t x ，3
2
11lim 11lim 213
21=+++=--→→t t t t t t t 6. 2
arctan π≤x 有界，01
lim =∞→x x ，故极限为0。
7. 42
)
2sin(2
lim )2sin(4lim
222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(2
2?)1(,+-==c a c b ,而5)(lim 1
=+-→c x x ，得c =6, 从而
b =6, a=-7。
9. 1sin sin 1010
)
sin 1(lim )sin 1(lim --?-→→=-=-e x x x
x
x x x
x
10. 5
2
522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim
000=???=?=→→→x x x x x x x x x x x x x
11. 设u =e x -1，1ln 1
)
1ln(1lim
)1ln(lim
1
0==
+=+→→e
u u u
u
u u 12. 由0=x 处连续定义，1lim )(lim 0
===+-+→→x
x x e a x a ，得：a =1。
四、解答题题解 1. 求定义域
(1) ???≥-≥??
?
?≥-≥0)1(000x x x x x x , 定义域为),1[+∞和x=0 (2) ??
???≥-≤-025151
2x x ????≤≤-≤≤-5564x x ?定义域为]5,4[-
(3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=πr 2h , 2r v h π=，则罐头筒的全面积??? ?
?+=+=r v r rh r S 22
222πππ，
其定义域为(0,+∞)。
(4) 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=，经过两天细菌数为2
01112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=,故经过x 天的细菌数为x
r N N )1(0+=，其定义域为[0,+∞)。
2. 12)(+-=
x x x f ，41222)2(-=+---=
-f ，)1( 1
2
)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f 。 3. u e y =,x
t t v v u 1,sin ,3
===。
4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f 。
5. 令x +1=t , 则x=t -1。?
??≤<-≤≤-=???≤-<-≤-≤-==+32 , )1(22
1 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ，所以：
?
??≤<-≤≤-=32 , )1(221 , )1()(2x x x x x f 。
6. 求函数的极限
(1) 原式=34
3
/1131
12/1121
1lim 11
=----
++→∞n n n 。
(2) 原式=????????? ??+-++??? ??-+??? ?
?-∞→111
3121211lim n n n =1111lim =??? ??+-→∞n n 。 (3) 原式=3211)1(3lim x x x x -++-→=112lim )1)(1()2)(1(lim 2121=+++=++-+-→→x
x x
x x x x x x x 。 (4) 原式=313233
22lim =+??
? ??+???
??∞
→n n
n 。
(5) 原式=20sin 2sin 2lim x x x x →=
4sin 22sin 4lim 0=??→x x
x x x 。（P289常见三角公式提示） (6) 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210?→，令t x =arcsin ，则x t =sin ，1sin lim arcsin lim
00==→→t t
x
x t x 令t x =arctan ，则x t =tan ，1cos sin lim tan lim arctan lim
000=?==→→→t t t t t x x t t x ，原式=2
1
。
(7) 原式=(
)
3
tan 31
2
2tan 31lim ?→+x
x x
=()3
tan 31
2
02tan 31lim ??
? ??+→x x x = e 3。 (8) 原式=122
1
21221lim -?+→∞
??
?
??
++
x x x =2
21
21221lim ??
??
?
????? ??+++∞→x x x ?11221lim -→∞??? ??
++x x = e 2。 (9) 原式=)1sin 1(2
sin 2sin lim 20++→x x x x
x x =11sin 112sin 2sin lim
22
0=++?
????? ??→x x x x x x x 。 (10) 令a x t -=，则t a x +=，原式=a t a t e t
e e =-→)
1(lim
0(填空题11)。 7. 221233sin 21a a a S =?=π，242233sin 2221a a a S =??=π，26
223233
sin 2221a a a S =
??=π
，?，
2211233sin 2221a a a S n n n n =??=--π, ??? ??+++=n a S 4141
41322 =)(3
34
114114132
2∞→→
-?
?? ??-n a a n 8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量
(1) 0cos 1sin lim
0=+→x x
x ，为无穷小量。
(2) 01arctan lim 2
=+→∞x x
x ，为无穷小量。
(3) 0sin lim =?-∞
→x e x
x ，为无穷小量。
(4) ∞=+→x
x x sin 1
lim
0，为无穷大量。
9. 比较下列无穷小量的阶
3111lim
31=--→x x x ，1)1(2
11lim 21=--→x x x ，当x →1时，1-x 与1-x 3是同阶无穷小。1-x 与)1(2
12x -是等阶无穷小。 10. 当x →0
时，x 2是无穷小量，当
x →∞时，x 2是无穷大量；当
x →±1时，3
21
x
x -是无穷小量，当x →0时，321
x
x -是无穷大量；当x →+∞时，e -x 是无穷小量，当x →-∞时，e -x 是无穷大量。 11. 16319)112()132()1()3(2
2=-=+?-+?=-=?f f y 。
12. 1sin lim 0=-
→x x x ，b b x x x =??
?
??++→1sin lim 0，∴b =1，2)0(+=a f =1，∴a=-1 13. []22
11
11
21)1(1lim lim e x x x x x x =??
? ??-+=-→-→，2
, )1()(lim 21=?=∴=→k e e f x f k x 14. 设2)(-=x e x f ，01)0(<-=f ，02)2(2
>-=e f ，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x 0
使得0)(0=x f ，即02=-x
e 。
15. 设x b x a x f -+=sin )(，它在[0,a +b ]上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f ，若
0)(=+b a f ，则a+b 就是方程0)(=x f 的根。若0)(<+b a f ，由介质定理推论知：至少存在一点ξ∈(0, a+b ), 使
得0)(=ξf ,即ξ是0)(=x f 的根。综上所述，方程b x a x +=sin 至少且个正根，并且它不超过a+b 。
16. (1)312630126)0(0=+=
e w (g )；(2)2630126lim 32max =+=-+∞→t t e
w (g )；(3)t e 3230126226-+=?530ln 23
≈=t (周)。 17. 设)()()(x g x f x F -=，则F (x )在[a,b ]上连续，0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ，由介质定理推
论知：至少存在一点ξ∈(a, b ), 使得0)(=ξF 。即)()(0)()(ξξξξg f g f =?=-。所以)(x f y =与)(x g y =在(a,b )内至少有一个交点。
第二章 一元函数微分学习题题解(P66)
一、判断题题解
1. 正确。设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0
000=?'=???? ??
??=??? ??????=?→?
→?→?→?y x x y x x y y x x x x 。 2. 正确。反证法。假设)()()(x g x f x F +=在x 0点可导，则)()()(x f x F x g -=在x 0点也可导，与题设矛
盾。故命题成立。
3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。
4. 错。如图。
5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。
6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。
7. 错。设x x f =)(, x
x g 1)(=
，则：1)()()(=?=x g x f x F ， 显然)(x f 在0=x 点的导数为1，)(x g 在0=x 点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。
8. 错。设3x y =和3x y =，显然它们在(-∞,+∞)上是单调增函数，但在0=x 点3
x y =的导数为0，3x y =的
导数不存在。 二、选择题题解
1. 设切点坐标为),(00y x ，则切线的斜率020
x y k x x ='==，切线方程为：)(2000x x x y y -=-过)1,0(-得
2
0021x
y =+，又有
2
00x
y =，解方程组
???==+2
02
0021x y x y 得：10=y ，10±=x ，切线方程为：12-±=x y 。(A ) 2. 可导一定连续。(C ) 3. 连续但不可导。(C ) 4. 因为),(),(12b a x x ?∈ξ。(B )
5. 321, x y x y ==，在x=0处导数不存在，但y 1在x=0处切线不存在，y 2在x=0处切线存在。(D )。
6. ,1sin lim 0)0sin(lim )0(00=??=?-?+='→?→?-x x x x f x x 10
)0(lim )0(0=?-?+='→?+x x f x 可导。(C )
7. x x e e f 5)(=，x
x e e f 55)(='。(B )
8. 01sin lim 0
01
sin )0(lim 020=??=?-?+?+→?→?x
x x x x x x 。(B )
三、填空题题解 1. 1
1)(2
-=
'x x x f ,3
211
)2(21)2(2
=
---=
-'f 。
2. x x x cot csc )(csc ?-='
3. y y x y xy y x xy x x '+='+??'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --='。
4. xdx x e e
d x x 2cos )(2sin sin 2
2
??=。
5. )3)(2(63666)(2
-+=--='x x x x x f ，当32<<-x 时，0)(<'x f ，单调调减小。
6. )](ln )([ln 2
1
ln x g x f y -=?
???? ??'-'='?)()()()(211x g x g x f x f y y ????
? ??'-'?=')()()()()(2)(x g x g x f x f x g x f y 。 7. 3
235)(x x x f -=，()25313235)(33132-=-='-x x
x x x f ，当52=x 时，)(x f 由减变增，取得极小值。
8.
x e dx dy +=1，x
e dx
dy dy dx +==11
1。 四、解答题题解
1. g t g g t g t g t S t t -=??
? ???--=??
?? ??
--??? ???+-?+='→?→?102110lim 2110)1(21)1(10lim
)1(020 2. (1)x
x x x x x ?=?-?+?+→?→?1sin
lim 0
01
sin )0(lim 00不存在，)(x f 在0=x 不可导。 (2) 01sin lim 0
01
sin )0(lim 020=??? ?????=?-?+?+→?→?x x x x x x x ，)(x f 在0=x 可导，且0)0(='f 。
3. ∞=?=?-?+-→?→?αα1001
lim 0)0(lim
x x
x x x 不可导。 4. 过)1,1(与)4,2(两点的割线斜率为31
21
4=--=k ，抛物线2x y =过x 点的切线斜率为x y 2='，故32=x ，得49,23==y x ，??
?
??49,23即为所求点。
5. 过),(00y x 点作抛物线2
x y =的切线，设切点为),(2x x ，应满足x x x y x 20
02=--方程，若方程有两个不等的
实根x ，则说明过),(00y x 点可作抛物线的两条切线。整理方程得：02002
=+-y x x x ，当0
4402
0>-=?y x 时，方程有两个不等的实根。也就是要满足2
00x y <即可。
6. 求下列函数的导数。
(1) a a nx
a x y x n x n ln )(1
+='+='- (2) x
x x y 1
1)5ln (+='++='
(3) 1sin cos sin )cos sin (1+-+='++='-x x x x nx x x x x y n
n n
(4) 23222422211
tan 2cos 111tan 2sec )arctan tan (x x x x x x x x x x x x x x y ++-=++-='+='
(5) x
x
x x x x y 22sin ln 2cos )ln 2sin 21(+?='?='
(6) 2
)1(sec tan sec )1()1ln(1sec x x x x x n x x y +-+='
??
?
??+++=' 7. 求下列函数的导数。
(1) 112111
)1()1()1()
1(-----+=?+='+?+='n n n n n n n n n x x n nx x n x x n y
(2) x x x x x x x x y 3sec 33tan 2)3(tan 3tan )(2
222+='+'='
(3) 2
22
12cot 12sin cos ])1ln(sin [ln x
x x x x x x x x y +-=+-='+-=' (4) )
12ln()12(2
12)12()12ln(1)12ln(])12[ln(++=+'+?+=+'+=='x x x x x x x y
(5) x x
x
x x x x x x y sec 2cos cos 2sin 1cos sin 1cos ])sin 1ln()sin 1[ln(2
==-++='--+=' (6) []
x
x x x x x x x x x x x x x x x x y ln )ln(ln 6ln ln 3)ln(ln 2ln ))(ln (ln 3)ln(ln 2ln )(ln )ln(ln 2]))[ln(ln ln(ln 2)(ln ln 3323
3233333332=='='='='='
8. kt
kt e kn e n t n 00][)(='='，k e
n e kn t n t n kt kt =='00)()(。
9. 求下列函数的导数。
(1) x x y ln sin ln =，
x x x x y y sin ln cos 1+='?，??? ?
?+='x x x x x y x sin ln cos sin
(2) []x x x y 2sin ln )3ln()1ln(2ln 2
1
ln -++++=，??? ??-+++='?x x x x y y 2sin 2cos 23111211，
??
?
??-+++++==??? ??-+++++=
'x x x x x x x x x x x x y 2cot 231112sin 2)3)(1(2cot 231112sin )3)(1(221 (3) x
x y =ln ,x x y ln ln ln =，
1ln ln )(ln +='x y y ，)1(ln ln +='x y y
y ，)1(ln ln +='x y y y ,)1(ln +?='x x e y x x x (4) x x y arctan ln ln =，211arctan arctan ln x x x x y y +?+=', ???? ??++='x x x x x y x arctan )1()ln(arctan )(arctan 2 10. 求下列函数的n 阶导数。
(1) x y 5=，5ln 5x
y ='，5ln 52x y =''，…，5ln 5)(n
x n y =
(2) bx a y cos =，??
?
?
?+
=-='2cos sin πbx ab bx ab y ，??? ?
?++=???
?
?+
-=''22cos 2sin 2
2
πππbx ab bx ab y ，()??? ??+=+-='''23cos sin 33ππbx ab bx ab y ，…，??? ?
??+=2cos )(πn bx ab y n
n
(3) x y ln =，1
1-=='x x
y ，2--=''x y ，32-='''x y ，…，n n n x n y ---?-=)!1()1(1)(
11. 求下列隐函数的导数。
(1) 0)3(3
3
='-+x axy y x ，0)(3332
2='+-'+y x y a y y x ，2
2y ax ay
x y --='
(2) 同填空题3。y y x y xy y x xy x x '+='+??'+='1)()cos()(])[sin(, )
cos(11
)cos(xy x xy y y --='。
(3) x x xy
y xe y )(cos )('='+?y y y x y xe e y xy
xy '?-='+++'sin )(?xy
xy
e x y e xy y 2sin 1)1(+++-='
(4) 1)
(1)(])[arctan(2
='++'
+?'='+y xy y x y x y xy x x ?222211y x x y x y y +++-=' 12. 求下列函数的微分。 (1) xdx e x d e e
d dy x x x
cos )(sin )(sin sin sin ===
(2) x
x x
x x x x
e
dx e e
x d e e e d e d dy 42422
222121)2()
(1)()(arcsin -=
-=
-=
=
(3) dx x x x x x d x x x x d dy ????
?
?--
+=++=+=2111)arccos cos()arccos ()arccos cos()]arccos [sin( (4) dx x e dx x e x d e e
d dy x x
x x 2
arctan 22arctan 2arctan 2arctan 21212)arctan 2()(+=+=== 13. 求5、
31sin 近似值。
(1) 设x x f =)(，则x
x f 21)(='，取84.42.22
0==x ，16.0=?x ，则2.284.4)(0==x f ，
227.084
.421
)(0=='x f ，故236.216.0227.02.2)()()(5000=?+=?'+≈?+=x x f x f x x f
(2) 设x x f sin )(=，则x x f cos )(='，取6300π== x ，180
1π==?
x ，则2130sin )(0== x f ，
2330cos )(0==' x f ，故515.0180
2321)()()(31sin 000=?+
=?'+≈?+=πx x f x f x x f
14. 证明下列不等式。
(1) 设x x x f tan )(-=，则0tan sec 1)(2
2≤-=-='x x x f ，)(x f 在??? ??-2,2ππ上单调递减。当??
? ??-∈0,2πx 时，
)0()(f x f >，即x x tan >，当???
??∈2,0πx 时，)0()(f x f <，即x x tan <，当0=x 时，)0()(f x f =，即
x x tan =，综上所述，当??
?
??-∈2,2ππx 时，x x tan ≤。
(2) 设)1ln(11
1)1ln(1)(x x
x x x x f +++-=+-+=,当0>x 时,0)1(11)1(1)(2
2<+-=+-+='x x x x x f ,有)0()(f x f <,即)1ln(1x x x +<+；设)1ln()(x x x f +-=,当0>x 时,01111)(>+=+-='x
x x x f ,有)0()(f x f >,即)1ln(x x +>；综上所述，当0>x 时，有x x x
x
<+<+)1ln(1。 (3) 设x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ，当0>x 时,0)(>'x f ，有)0()(f x f >，即01>--x e x
；当0
；综上所述)0( 1≠+>x x e x 。
15. 求下列函数的极限。
(1) )2ln(cos )5ln(cos lim 0x x x →=x
x x x
x 2cos 2sin 25cos 5sin 5lim 0--→=x x x x x x x 5cos 2cos 2sin 255sin 25lim 250?
??→=4
25
(2) p q x q
p x x x x x -→→++=ln lim ln lim 00=p q x px x q --→-+10ln lim =p
q x x p x q q --→--+220)(ln )1(lim =…=p
n n q x x p x n q q q --→-+--+)(ln )1()1(lim 0 =0 (分子和分母分别求n 阶导数，使n >q ) (3) x
x x
x x x
x x e
e
x
ln sin lim ln sin 0
sin 0
0lim lim +
→++==→→=10
=e
x x x x x x sin 1ln lim ln sin lim 00+
+→→==x
x x x 20sin cos 1
lim -+→=x
x x x cos sin lim 20+→=0sin cos cos sin 2lim 0=-+→x x x x x x (4) x
x x
x x x
x x e
e
x
--→-→→==1ln lim
1ln 111
1
1lim lim =)
1(11lim 1-?→x x e
=1
-e
(5) x x
x x x x e x x sin ln
10
102
2
lim sin lim →→=??
? ??=20sin ln
lim x
x x
x e →=x
x x x x x x x e 2sin cos sin lim 20-?→=x x x
x x x e sin 2sin cos lim 20-→=661
1e e =- x x x x x x sin 2sin cos lim 20-→ =x x x x x x x x x cos 2sin 4cos sin cos lim 20+--→=x x x x x cos 2sin 4sin lim 0+-→=)sin (cos 2cos 4cos lim 0x x x x x x -+-→=6
1
- (6) x
x x
x x x
x x e
e
x ln cot ln lim
ln cot ln 0
ln 10
0lim )
(cot lim +
→++==→→=1cos sin
lim
0--=+→e e
x
x x x
16. 证明下列不等式。
(1) 令x x x f -=sin )(,因为f '(x )=cos x -1<0 (x <0), 所以当x <0时f (x )↘, f (x )>f (0)=0 ? sin x >x ；
令g (x )=6/sin 3
x x x +-, 则：g '(x )=2/1cos 2
x x +-，g ''(x ) = - sin x +x , g '''(x )= - cos x +1>0 (x <0), 有g ''(x )↗
?g ''(x ) (2) 令p p x x x f )1()(-+=, f (x )在[0,1]连续且f (0)=f (1)=1，f '(x )= p [x p -1-(1-x )p -1],令f '(x )=0得x =1/2为驻点。 f ''(x )=p (p -1)[x p -2+(1-x )p -2]>0,有极小值12 1212121-=??? ??+??? ??=??? ??p p p f ，1)(211≤≤∴-x f p 1)1(211≤-+≤?-p p p x x 17. 确定下列函数的单调区间。 (1) x x y 63-=，定义域(-∞,+∞)，)2(3632 2-=-='x x y ，令0='y ，解得2±=x ，增减性如下表： (2) x x y sin +=，定义域(-∞,+∞)，0cos 1≥+='x y ，令0='y ，解得 ,2,1,0,)12(±±=+=k k x π，均是孤 立驻点，故在(-∞,+∞)单调递增。 (3) 7123223+--=x x x y ，定义域(-∞,+∞)，12662 --='x x y =)1)(2(3+-x x ，令0='y ，解得2,1-=x ，增减性如右表： 18. 求下列函数的极值。 (1) )1ln(x x y +-=，定义域(-1,+∞)，x y +- ='111=x x +1，令 y 0=x ，极值见右表： (2) x x y ln =，定义域(0,+∞)，x x x y 12ln + = '=x x 22 ln +， 令0='y ，解得2 -=e x ，极值见如右表： (3) x x y 1+ =，定义域(-∞,0)∪(0,+∞)，211x y -='，32 x y =''，令0='y ，解得1±=x ，02)1(<-=-''y 有极大值2)1(-=-y ，02)1(>=''y 有极小值2)1(=y 。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1) x x f 45)(-= 是[-1,1]上的连续函数，0452 )(<--= 'x x f 减函数且无驻点，但有一个不可导点 14 5 >= x ，它不在[-1,1]上，故3)1(max =-f ，1)1(min =f 。 (2) 23)(2 +-=x x x f 是[-10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示???+-≤≤+--=其它 , 232 1 , )23()(22x x x x x x f ， ???><-<<+-='2 1 , 322 1 , 32)(2x x x x x x f 或，令0)(='x f ，得：23=x ，0)2()1(==f f ，41)23(=f ，132)10(=-f ， 72)10(=f ，比较得：132max =f ，0min =f 。 (3) 2 2 )(-=x x f 是[-5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示? ??≥<=--2 , 22 , 2)(22x x x f x x ，分段点为2=x ， 1)2(=f ，???><-='--2 , ln222 , ln22)(22x x x f x x ，无驻点。72)5(=-f ，3 2)5(=f ，比较得：128max =f ，1min =f 。 20. 2 3 bx ax y +=，bx ax y 232 +='，b ax y 26+=''，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有?? ?=?+?=+3 110 262 3b a b a ，解之得：23- =a ，2 9=b 。 21. 1 1 2+-=x x y ，222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(1(2++-+=''x x x x y ，令0=''y ，解得11-=x ，323,2±=x ， 11-=y ，4313 ,2±-=y ，可验证??? ? ??+-+???? ??-----431,32,431,32),1,1(是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。 4133433132143112121=--=+-+--=--=x x y y k ，4 13343 31321 43113132=++=++++-=--=x x y y k ，21k k =得证。 22. )1(0b w w be w kt +=+-，kt be b w w -++=1)1(0两端对t 求导数：0)(='+-+'--w e w ke b w kt kt ?2 0)1()1(1kt kt kt kt be e b bkw be w bke w ----++=+=' 23．设t dR R R 2.002.00+=+=，2 222)2.002.0(r t r R v -+=-=， 2min /)08.0008.0(2.0)2.002.0(2cm t t dt dv +=?+=。 24. (1)求出现浓度最大值的时刻：)(122)(18.0t t e e t C ---=,)18.0(122)(18.0t t e e t C --+-=',令0)(='t C ，解得唯一驻点82 .018.0ln -=t 。)18.0(122)(18.02t t e e t C ---=''，)18.0(122)82.018.0ln (82 .018.0ln 82 .018 .0ln 18.02-- -?--=-''e e C =)18.0(12218.0ln 41 50 18.0ln 41 9 2 e e -=)18.018.018.0(12241504192 -?=0)18.018.0(12241 504191<-有极大值。也为最大值。 (2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令0)(=''t C ，解得唯一驻点41.018 .0ln -=t 。 )18.0(122)(18.03t t e e t C --+-=''',)18.0(122)41 .018.0ln (41.018.0ln 41.018.0ln 18.03---?-+-=-'''e e C =)18.0(12218.0ln 4118318.0ln 41 100e e - =)18.018.018 .0(12241183 41 100 ?-=0)18 .018 .0(12241 14141 100>-有极小值。也为最小值。 25. 求w '何时达最大值。)66.1()5.341ln(ln -=--t k w w ?) 66.1(15 .341t k e w -+=…①， k w w w w ='?---'?5.34111?)5.341(5.3412w w k w -='…②， ()()w w k w w w k w '-='?-'= ''25.3415.34125.3415.341，令0=''w ，得：2 5.341,0=='w w 。 由0='w ?0)5.341(=-w w ，而0≠w ?w =341.5，由①得0) 66.1(=-t k e 无解。 由2 5.341=w ?1) 66.1(=-t k e ，得：66.1=t 是唯一驻点。[] w w w w k w ''?-'-''='''2)(25.3415.3412， 当66.1=t 时，25.341=w ，k w 4 5 .341='，0=''w ，0<'''w 有极大值。也为最大值。 26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点 (1) )0(2 2 2 >+=a x a a y ，定义域(-∞,+∞)，2 222) (2x a x a y +-='，322222)()3(2x a a x a y +-=''，令0=''y ，得3 a x ± =，43 =y ，列表讨论。 (2) x x y sin +=,定义域(-∞,+∞),x y cos 1+=',x y sin -='',令0=''y ,得πk x =,),2,1,0( ±±=k ,当 ()ππk k x 2,)12(-∈时,0>''y ,曲线是凹的。当()ππ)12(,2+∈k k x 时,0<''y ,曲线是凸的。拐点为： ()ππk k ,。 27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1) 2 x e y -=，定义域(-∞,+∞)，是偶函数，0lim 2 =-→∞ x x e ，有水平渐进线0=y ，2 2x xe y --='， 22 22''---x x x (2) x x y -+=11ln ，定义域(-1,1)，)()(x f x f -=-是奇函数，∞=-+-→x x x 11ln lim 1，∞=-++-→x x x 11ln lim 1有垂直渐进线 1±=x ，2 2 y = '无驻点，但当1±=x 时导数不存在。x x e e y --='，x x e e y -+=''，令0='y (5) x x y arctan +=，定义域(-∞,+∞)=[]2)arctan (lim π±=-+∞→x x x x ，有两01 12>+='y 无驻点，22)2x y -= ''(6) 2 11arccos x x y +-=，定义域(-∞π=-=+-∞ →)1arccos(11arccos lim 2 2 x x x 水平 渐 进 线 y=π,x x x y )1(22+='=?????>+<+-0 , 120 , 122 2x x x x ，??? ????>+-<+=''0 , )1(40 , )1(4222 2x x x x x x y =0)1(42 <+-x x ，01arccos )0(==f ， 0arccos )1(π = =±f 。 28. 已知不在同一直线上的三点),(11y x A 、),(22y x B 和),(33y x C ；试用i i y x ,表示?ABC 的面积。 解：由P55例42知：直线b kx y +=到),(00y x 的距离为：2 001k b kx y d +--= 。那么，直线AB 的方程为： )(112121x x x x y y y y ---= -?1 221121212x x y x y x x x x y y y --+--=，AB 两点间的距离为：212212)()(y y x x -+-， ?ABC 的面积= 233 2122121)()(21 k b kx y y y x x +--?-+- =21212122 1123121232122121)()(21 ??? ? ??--+---?---?-+-x x y y x x y x y x x x x y y y y y x x = 1 22 122 121 22112312123212212) ()() ()()()()(2 1 x x y y x x x x y x y x x y y x x y y y x x --+-------?-+- = )()()(212112312123y x y x x y y x x y -----=)()(2 1 133221133221x y x y x y y x y x y x ++-++ 29. 椭圆)(122 22b a b y a x >=+的切线与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点，(1)求AB 之间的最小距离；(2)求三角形 ?OAB 的最小面积。 解：椭圆方程：122 22=+b y a x …①如图。设切点坐标为),(00y x ， 则y a x b y 22-='…②，此点切线斜率为：0 20 2y a x b k -=，切线方程 为：)(00 20 20x x y a x b y y --=-。 令0=y ，0202 2 022********x a x b y a x b x b y a x x =+=+=，坐标)0,(02 x a A 。 令0=x ，0202202202022020y b y a y a x b y a x b y y =+=+=，坐标),0(0 2 y b B 。 (1) 20 4 2042 2 2 y b x a oB oA AB +=+=。可设2424y b x a l +=，令022343 4='?-+-='x x y y b x a l ，将②代入得：0223434=??? ? ??-?+y a x b y b x a ?2332 x a b y =，代入①得驻点：b a a x +±=3，b a b y +±=3。 '??? ? ??+-=''--4 26 3422xy a b x a l =()x y xy y a b x a '?-+---542644426=???? ??-?-+---y a x b xy y a b x a 22542644426 =042662224264 4>??? ? ??++---y x a b y a b x a 有极小值。23434)()()(b a b a b b a a b a b b b a a a l +=+++=+++=，故AB 之间的最小距离是b a +。 (2) 可设面积12222)(2121-=??=xy b a y b x a S ，)()(21222y x y xy b a S '+-='-=??? ? ??-+--y a x b x y xy b a 22222)(21， 令0='S ，得：2222 x a b y =，代入①得驻点：2a x =，2 b y =(三角形边长取值应大于零)。 ' ?? ? ?? -=''---1222322121y x b a y b S =() y y x y x b a y y b '---'------2213224222123 =???? ? ????? ??----???? ??-------y a x b y x y x b a y a x b y b 22 221322224222123=34322524223xy b y x b a y a x b -+ 3 43225242222222232,2? ?? ????? ??-??? ????? ??+??? ??? ?? ??=??? ??''b a b b a b a b a a b b a S =a b a b ab 246-+=026>+a b ab 有极小值。 ab b a b a b a S =?? ? ????? ??= ??? ??2222,222，故三角形的最小面积为a ?b 。 第三章 一元函数积分学习题题解(P108) 一、判断题题解 1. 错。是原函数的全体，记作 ?+C dx x f )(。 2. 错。)(x f 的任意两个原函数之差为常数。 3. 错。是C x F +)(。 4. 正确。 5. 错。被积函数在x =0处无界。 6. 正确。x y sin ='，00='=x y 7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 8. 正确。 二、选择题题解 1. )()(x f x x x f -=--=-被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或 ? -1 1 dx x x = ??+--1 20 1 2 dx x dx x =1 30 1331 31x x +--=[]0)01(31)1(031=-+---。(A ) 2. ?+∞ ∞-+dx x 2 11=?∞-+0 211dx x +?+∞+0 211dx x =0 arctan ∞-x ++∞0 arctan x =ππ π=-+??? ??--02 20。(A ) 3. 正确的是C 。 4. dx x f a a ? -- )(x u du dx -=-=====令du u f a a ? -- )(=dx x f a a ?- )(。(D ) 5. 令u ax b =-，du adx =-，du u f a dx ax b f ??- =-)(1)(=C u F a +-)(1=C ax b F a +--)(1 。(B ) 6. 令x e x F -=)(，则x e x f --=)(，dx xe dx x xf x ??--=)(=() ?-x e xd =?---dx e xe x x =C x e x ++-)1(。(D ) 7. dt t x ? +1 4 1u du u x u t u du dt 211 2 2? +======== 令=du u u x ?+1 121，∴? ?? ??+?dt t dx d x 1 4 1=x x +121。(D ) 或? ?? ??+?dt t dx d x 1 41=)()(14'+x x =x x x x +=+1212112 8. ?'''dx x f x f )()(=?'')()(x f d x f =[][]C x f x f d +'='?2 2)(21)(21，2)(x e x f -=，22)(x xe x f --=' []C x f +'∴2)(21 =() C xe x +--22 22 1=C e x x +-2222。(B ) 三、填空题题解 1. ? +dx x x )1ln(2= ?++)1()1ln(2 122x d x =??? ??+?+-++?222212)1()1ln()1(21x xdx x x x =[] ?-++xdx x x 2)1ln()1(212 2 = [] C x x x +-++222)1ln()1(2 1 。 2. dx kx ?-π π 2 sin =dx kx ?--π π 22cos 1=π π 2sin 2121-??? ??-kx k x = π。 3. ?xdx arctan =?+-?dx x x x x 2 1arctan =C x x x ++-?)1ln(2 1arctan 2 。 4. dx lx kx ?-π π sin sin =[]dx x l k x l k ?---+-π π )cos()cos(21=π π )sin(1)sin(121-??? ??---++-x l k l k x l k l k = 0。 5. dx e e x x ?-+1=dx e e x x ?+12=?+2)(1x x e de =C e x +arctan 。 6. ?+10 2cos x tdt dx d =)1()1cos(22'+?+x x =)1cos(22 +x x 。 7. ?xdx 2sin =C x +-2cos 2 1 。 8. 这是积分上限函数，由定理3知：)()(x f x Φ='，x xe y ='∴。 四、解答题题解 1. 分别对三个函数求导数，结果皆为x 2 ，所以它们是同一函数的原函数。 2. (1) 错。C x F +)(是不定积分。 (2) 错。 ?dx x f )(是)(x f 所有原函数。 (3) 正确。设C x F =)(是)(x f 的一个原函数，则)(0)(x f x F =='。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为1-≠n 时，C x n dx x n n ++=+? 1 1 1。 3. 求下列不定积分 (1) dx x ? -)31(2 =C x x +-3 (2) dx x x ?+)2(2 = C x x ++3 3 12ln 2 (3) dx x x ?+1 =dx x x ?-+)(2 121 =C x x ++-+++-+12 112112 1121=C x x ++21 23232 (4) dx x x ?-)3(=dx x x ?-)321 23=C x x ++232525 2 (5) dx x x ?+221=dx x x ?+-+2 2111=dx x ???? ?? +-2111=C x x +-arctan (6) dx x x ?-2 21=dx x x ?--+2 2111=dx x ???? ??--1112=C x x x +--+11ln 21 (7) dx x ?2sin 2=dx x ?-2cos 1=C x x +-)sin (2 1 (8) dx x ?2cot =dx x ??? ? ??-1sin 12 =C x x +--cot (9) dx x x x ???? ? ?-211=() dx x x ?--4321=dx x x ?--)(4 543=C x x ++-41 47474 (10) dx e e x x ?+-11 2=dx e x ?-)1(=C x e x +- (11) dx x x x ?+sin cos 2cos =dx x x ?-)sin (cos =C x x ++cos sin (12) dx x x ?+)1(122=dx x x ??? ? ??+-22111=C x x +--arctan 1 (13) dx x x ?22sin cos 1=dx x x ??? ? ??+22sin 1cos 1=C x x +-cot tan (14) dx x x ? -+4 211=dx x ? -2 11 =C x +arcsin (15) dx x x ??? ? ??++cos 21sin 1=C x x x ++-sin 21cos 4. 求下列不定积分 (1) dx x ?-25 )2(=)2()2(2 5x d x ---?=C x +--27 )2(7 2 (2) ?-2)21(x dx =?---2)21()21(21x x d = C x +-) 21(21 (3) ? -2 32x dx = ? ??? ? ??-??? ? ??2 231323x x d = C x +23 arcsin 3 1 (4) ?-x dx cos 1=?2 sin 22 x dx =?? ?? ??2sin 2 2x x d =C x +-2cot (5) dx a x ?3=)3(313x d a x ?= C a a x +3ln 31 (6) dx x x x ?+--3 122=?+-+-3)3(2 2x x x x d =C x x ++-3ln 2 (7) dx e e x x ?--+)(2=C e e x x +----22 1 (8) dx a x ?-)5sin 5(sin =C a x x +?-- 5sin 5cos 5 1 (9) dx x x ?-21=?---2 21) 1(21x x d =C x +--21 (10) dx x x ?+?33 21=)1()1(313313x d x ++?=C x ++34 3)1(4 1 (11) dx x x ?+44=???? ????? ? ??+?222221141x d x =C x +??? ? ??2arctan 412 (12) dx x x ?+)1(1=() ?+2 12x x d =C x +arctan 2 (13) dx x e x ? -2 =)(212 2x d e x -- ?-=C e x +--22 1 (14) dx x x ? 3cos sin =)(cos cos 2 3 x d x ?- -=C x +-2 1 cos 2= C x +cos 2 (15) dx x x ??4 2cot sin 1=())(cot cot 41x d x ?--=()C x +-43cot 34 (16) dx x x ?+21arctan =)(arctan arctan x d x ?=C x +2 )(arctan 2 1 (17) dx e e x x ?-+1=dx e e x x ?+12=?+2)(1x x e de =C e x +arctan (填空题5) (18) dx x x x ?-+-11ln 112=??? ??-+-+?x x d x x 11ln 11ln 21=C x x +??? ??-+2 11ln 41 (19) dx x x ?+-)3)(1(1=dx x x ???? ??+--311141=()C x x ++--3ln 1ln 4 1 =C x x ++-31ln 41 (20) dx x x ?++)2)(1(122=dx x x ???? ??+-+211122=C x x +-2 arctan 21arctan (21) dx x x ?sin 3sin =()dx x x ?--2cos 4cos 21=C x x +?? ? ??--2sin 214sin 4121=C x x +-4sin 812sin 41 (22) dx x ?4 sin =dx x ??? ? ??-2 22cos 1=()d x x x ?+-2cos 2cos 21412 =C x x x ++-4sin 3212sin 4183 (23) dx x ?5cos =x d x sin )sin 1(22?-=x d x x sin )sin sin 21(42?+-=C x x x ++-5 3sin 5 1sin 32sin (24) dx x ?3tan =dx x x ?-)1(sec tan 2=dx x x d x ??-tan tan tan =C x x ++cos ln tan 2 12 (25) dx x e x ?21 =?? ? ??-?x d e x 11=C e x +-1 (26) ()dx x x 1ln 2??=()()x d x ln ln 2 ?=()C x +3ln 3 1 (27) dx x e x ?cos sin =x d e x sin sin ?=C e x +sin (28) dx x ?-2941=dx x x ???? ??++-32132141=C x x +??? ??++--32ln 3132ln 3141=C x x +-+3232ln 121 (29) ?-221)(arcsin x x dx =?2)(arcsin )(arcsin x x d =C x +-arcsin 1 (30) ?+-222x x dx =?+--1)1()1(2x x d =C x +-)1arctan( (31) dx e e x x ?++221)1(=dx e e e x x x ?+++22121=dx e e x x ???? ? ??++2)(121=C e x x ++arctan 2 (32) dx x x x ?--+32722=dx x x x x x ?--++--3 2102)32(22=dx x x x x ?--+-+3212 )22(2=??--------+2222)1(2)1(1232)32(x x d x x x x d x =C x x x x x +---+??---+) 1(2) 1(2ln 2211232ln 2 =C x x x x x +-+---+31ln 332ln 2 5. 求下列不定积分 (1) dx x x ?-?321u x du dx =--======1令du u u ??--3 1 2 )1(=du u u u ?+--)2(3 73 43 1=C u u u +-+-310 37 34 10 3 7643 =C x x x +---+--310 3734)1(10 3 )1(76)1(43 (2) dx x x ?-22u x du dx =--======2令du u u ?--2)2(=du u u u ?-+--)44(232121=C u u u +-+-2 5232 152388 =C u u u ++--)32060(1522=() C x x x +-++-2383215 22 (3) dx e x ? +11 u e u udu dx x =+-=======1122令?-122u du =du u u ???? ??+--1111 =C u u ++-11ln =C e e x x +++-+1111ln (4) dx x x x ?+)1(arctan =)()(1arctan 22 x d x x ?+=)(arctan arctan 2x d x ?=C x +2 )(arctan (5) ?-232)1(x dx u x udu dx sin cos =======令?-232) sin 1(cos u udu =?u du 2cos =C u +tan =C x x +-21 (6) ?+23 22 ) (a x dx u a x udu a dx tan sec 2 ========令?+2 3 2222)tan (sec a u a udu a = ?udu a cos 12=C u a +sin 1 2=C a x a x ++222 (7) ? -492x dx u x udu u dx sec 23sec tan 32==========令?-?4sec 4sec tan 32 2u udu u =?udu sec 3 1=C u u ++tan sec ln 31=C x x +-+493ln 312 (8) dx x a x ?-2 2u a x udu u a dx sec sec tan ==========令udu u a u a a u a sec tan sec sec 222?-?=?udu a 2tan =() ?-du u a 1sec 2=C u u a +-)(tan =??? ? ??+--C x a a a x a arccos 22=C x a a a x +?--arccos 22 (9) dx x x ?sin cos 5=() )(sin sin sin 122x d x x ?-=)(sin sin sin 2sin 292 521x d x x x ???? ??+- =C x x x ++-2112723sin 112sin 74sin 32=C x x x x +?? ? ??+-53sin 112sin 74sin 32sin (10) dx x x x ?+ln 1ln =)ln 1(ln 11ln 1x d x x ++-+?=)ln 1(ln 11ln 1x d x x +??? ? ? +-+?=C x x ++-+2123)ln 1(2)ln 1(32 =()C x x +-+2ln ln 13 2 (11) ?+x x e e dx 2 2 22 12 1x x e u udx dx e du ===========令u du u u 212?+?=du u u u ???? ??+-+211112=C u u u +?? ? ?? --+1ln 1ln 2 =C u u u +???? ??-+11ln 2=C e e e x x x +???? ? ?-+222 11ln 2=C e e x x +??? ??-+--22 1ln 2 (12) ?x dx 4sin =() ?+-)(cot 1cot 2 x d x =C x x +--cot cot 3 13 (13) ?+32x x dx 6 56u x du u dx =======令?+u du u 162=du u u ???? ??++-1116=C u u u +??? ??++-1ln 2162=C x x x +??? ??++-6 631ln 216 (14) ?+231x dx x u x udu dx tan sec 2========令udu u u 23sec sec tan ?=()u d u u cos cos 1cos 1 42???? ??-=C u u +??? ??+-3cos 31cos 1 =C x x ++-+2 2321)1(3 1 6. 求下列不定积分 (1) ?xdx arctan =dx x x x x ?+- ?21arctan =C x x x ++-?)1ln(2 1 arctan 2 (2) )1( ln -≠?n xdx x n =() ?++1ln 11n x xd n =() ?-?++dx x x x n n n ln 111=C n x x x n n n +??? ? ??+-?+++1ln 1111 =C n x n x n +?? ? ??+-++11ln 11 (3) ?xdx x 2ln =???? ??232 ln 3 2x xd =??? ??-?xdx x x x ln 2ln 32223=??? ????? ?? -?23223ln 34ln 32x xd x x =??? ??--?dx x x x x x ln 98ln 3223223=C x x x x x +?? ? ??--232322332ln 98ln 32=C x x x +??? ??+-98ln 34ln 32223 (4) ? dx e x u x udu dx =======令2?udu e u 2=? u ude 2=( )? -du e ue u u 2=( ) C e ue u u +-2=( ) C x e x +-12 (5) ()d x x x ?++2 1ln =( ) dx x x x x x x x x ???? ? ??++++-++2 22 1111ln =() ?+-++2 211ln x xdx x x x =() C x x x x ++-++2211ln (6) dx x x ? cos =x d x sin ? =dx x x x ? -sin sin =C x x x ++cos sin (7) dx e x x ?-22=x de x 2221-? - =( )dx xe e x x x ?----222221=()x x de x e x 22221--?+-=() dx e xe e x x x x ?----+-222221 =??? ??+++----C e xe e x x x x 22222121=C x x e x +??? ? ?++--212122 (8) dx x ?3sec =)(tan sec x d x ?=xdx x x x sec tan tan sec 2?-=dx x x x x )sec (sec tan sec 3--? =x x dx x x x tan sec ln sec tan sec 3++-?，dx x ?∴3sec = ()C x x x x +++tan sec ln tan sec 2 1 (9) dx x ?)sin(ln =dx x x x ?-)cos(ln )sin(ln =() dx x x x x x ?+-)sin(ln )cos(ln )sin(ln dx x ?∴)sin(ln =[]C x x x +-)cos(ln )sin(ln 2 1 (10) dx bx e ax ?sin =dx bx e a b bx e a ax ax ?-cos sin 1=?? ? ??+-?dx bx e a b bx e a a b bx e a ax ax ax sin cos 1sin 1 dx bx e ax ?∴sin =()C b a bx b bx a e ax ++-2 2cos sin (11) dx x a ?-22u a x udu a dx sin cos =======令du u a ?2 2cos =()du u a ?+2cos 122=C u u a +?? ? ??+2sin 2122= ()C u u u a ++cos sin 22 =C a x a a x a x a +??? ? ??-? +222arcsin 2=C x a x a x a +-?+222 2arcsin 2 (12) dx x ?2 )(arcsin =?-??-2 21arcsin 2)(arcsin x dx x x x x =)1(arcsin 2)(arcsin 22?-+x xd x x =???? ? ? ----+?22 2211arcsin 12)(arcsin x dx x x x x x =() C x x x x x +--+arcsin 12)(arcsin 22 (13) dx x x ?2sin )ln(sin =)(cot )ln(sin x d x ?-=dx x x x x x ??+-sin cos cot )ln(sin cot =() d x x x x ?-+-1csc )ln(sin cot 2 =[]C x x x x +++-cot )ln(sin cot (14) dx x x ?2cos =dx x x ?+22cos 1=?+)2(sin 41412x xd x =() dx x x x x ?-+2sin 2sin 4 1 412 =C x x x x +?? ? ??++2cos 212sin 41412 7. 求下列不定积分 (1) dx x x ?-+3)1(1u x du dx =-=====1令du u u ?+32=() d u u u ?--+3 22=C u u +----21=C x x +----2)1(111=C x x +--2)1( (2) dx x x x ?++)1(23=dx x x ??? ? ??++112=C x x +++1ln ln 2=() C x x ++1ln 2 (3) dx x ?+113=dx x x x x ???? ??+-+-++1211312=???? ? ???? ??+----+?dx x x x x 13)12(211ln 312 =()??? ??+-++--+?dx x x x x x 11231ln 211ln 3122=???????? ? ????? ??+??? ??-??? ??-++-+?2222321212311ln 31x x d x x x =C x x x x +? ????? ? ?-?++-+2321arctan 2312311ln 312=C x x x x +???? ??-++-+312arctan 311ln 312 (4) dx x x x ?++2)3)(2(=dx x x x ???? ? ??+++++-2)3(33222=C x x x ++-+++-333ln 22ln 2=C x x x ++-++3323ln 2 (5) ?++)4)(1(22x x xdx =???? ??+-+dx x x x x 413122 =[] C x x ++-+)4ln()1ln(612 2=C x x +??? ? ??++41ln 6122 (6) dx x x x ?+-+22)1)(1(22=???? ? ??+-++--dx x x x x x 222)1(21111=???++-+-++--22222 2)1()1(11)1(211ln x x d x dx x x d x =C x x x x +++-+- -11arctan )1ln(211ln 22=C x x x x +++-+-11 arctan 1 1ln 22 8. 求下列不定积分 (1) ?+x dx sin 1=dx x x ?--2sin 1sin 1=() d x x x x ?-sec tan sec 2 =C x x +-sec tan (2) ?+x e dx 1=dx e e x x ???? ? ??+-11=C e x x ++-)1ln( (3) ?+x dx tan 1=?+x x xdx sin cos cos =dx x x x x x x ?+-++sin cos sin cos sin cos 21=dx x x x x ???? ??+-+sin cos sin cos 121 =??? ??+++?x x x x d x sin cos )sin (cos 21=()C x x x +++sin cos ln 2 1 (4) dx x a x a ?-+=dx x a x a ?-+2 2=C x a a x a +--?22arcsin (5) ?-14x dx =?+-)1)(1(22x x dx =dx x x ???? ??+--11112122=C x x x +??? ? ??-+-arctan 11 ln 2121 (6) ?-1 2x x dx u x du u i dx 1 2 = - ======令?--2 1u du =C u +arccos =C x +1arccos 9. 将区间],[10T T 细分为n 个小区间，在每个小区间],[1i i t t -上任取一点i τ,),,2,1(n i =，由于小区间的长度1--=?i i i t t t 很小，可以近似地认为放射性物质在],[1i i t t -内是以速度)(i v τ均匀分解。 (1) 分解质量的近似值为： i n i i t v ?∑=1 )(τ (2) 分解质量的精确值为：i n i i t v ?∑=→1 0)(lim τλ，},,,m ax {2 1 n t t t ???= λ 10. 用定义计算 dx x ?1 2 。y =x 2 在[0,1]上连续，∴定积分存在。故可将[0,1]区间n 等份： 0=x 0 i x i = ，n i x i i ==ξ，n x i 1=?， n n i x f dx x n i n i n i i 1lim )(lim 12 101 02 ??? ? ??=?=∑∑?=∞→=→ξλ∑=∞→=n i n i n 1231lim 6)1)(12(1lim 3++?=∞→n n n n n 31111261lim =??? ??+??? ??+?=∞→n n n 11. (1)是一个底边长为1高为2的三角形，面积为1。 (2)奇函数在对称区间上，定积分为0。 (3)偶函数在对称区间上，定积分为2倍的正的区间上的定积分。 12. (1)在[0,1]区间上2 3x x ≤，由定积分性质知： dx x dx x ??≤1 2 1 03 。 (2)在[1,2]区间上x x ln )(ln 2 ≤，由定积分性质知：dx x dx x ??≤2 1 2 1 2 ln )(ln 。 13. (1) 在[1,4]区间上17122 ≤+≤x ，由定积分性质知：51)1(64 1 2 ≤+≤?dx x 。 (2) 在[0,1]区间上2 x e -是一个单调递减函数，有1 2 1--≥≥e e x ，由定积分性质知：11 1 2 ≤≤?--dx e e x 。 (3) 在?? ????45,4ππ区间上2sin 112 ≤+≤x ，由定积分性质知：πππ π2)sin 1(4542≤+≤?dx x 。 14. 由积分上限函数的定理3知x y sin ='，00='=x y ，21 4 ='=πx y 。 15. 求下列函数的导数。 (1) '?? ? ???dt e x t 05=x e 5 (2) '??? ??+?dt t x 221='?? ? ??+-?dt t x 221=21x +- (3) '?? ? ???+dt t x 10 2 2 sin =)1)(1(sin 222'++x x =)1(sin 222+x x (4) '???? ??+?dt t x x 32411='???? ??+++??dt t dt t x a a x 32 441111='???? ??+++-??dt t dt t x a x a 3 2 4 411 11 =)(11)(113 1228'++'+-x x x x =12 281312x x x x +++- 16. 求下列极限。 (1) 200arctan lim x dt t x x ?→=x x x 2arctan lim 0→=2 11 lim 20x x +→=21 (2) ? ? +→x x x dt t t t dt t 0 20)sin (lim =)sin (lim 2 0x x x x x +-→=x x x x sin lim 0+-→=x x cos 11lim 0+-→=21 -