中考数学重难点专题讲座 第一讲 线段、角的计算与证明问题(含答案)

第一讲线段、角的计算与证明问题

【前言】

中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。

第一部分真题精讲

【例1】（2010，崇文，一模）

∥，如图，梯形ABCD中，A D B C

，°，，．求AB的长．

=∠===

BD CD BDC AD BC

9038

【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.

【解析】

作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ．

DF ∥AE ∴，

AD BC ∴∥，四边形AEFD 是矩形．

3EF AD AE DF ∴===，．

BD CD DF BC =⊥，，DF ∴是BDC △的BC 边上的中线．

1

9042

BDC DF BC BF ∠=∴=

==°，．

4431AE BE BF EF ∴==-=-=，． 在Rt ABE △中，222AB AE BE =+ 224117AB ∴=+=．

【例2】（2010，海淀，一模）

已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，

2,4DC BC ==，求AD 的长.

O

D

C

B A

【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC 向右平移,构造一个以D 为直角顶点的直角三角形.这样就将AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC 是已知的.于是问题迎刃而解.

O

E

D

C

B

A

【解析】

过点D 作//DE AC 交BC 的延长线于点E . ∴ BDE BOC ∠=∠. ∵ AC BD ⊥于点O , ∴ 90BOC ∠=?. ∴ 90BDE ∠=?. ∵ //AD BC ，

∴ 四边形ACED 为平行四边形. ∴ AD CE =.

∵ 90,90BDE DCB ∠=?∠=?， ∴ 2DC BC CE =?. ∵ 2,4DC BC ==， ∴ 1CE =. ∴ 1AD =

此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD 和 △DBC 相似，从而利用比例关系直接求出CD 。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。

【例3】（2010，东城，一模）

如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =，，E 为DC 中点，

4

tan 3

C =．求AE 的长度

．

E

D

C

B

A

【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D 做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E 是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E 做BC 的垂线,那么这条垂线与AD 延长线,BC 就构成了两

个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.

F

E

M

D

C

B

A

【解析】

过点E 作BC 的垂线交于BC 点F ，交AD 的延长线于点M . 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是DC 的中点， ∴M MFC DE CE ∠=∠=，

在MDE ?和FCE ?中， M MFC

DEM CEF DE CE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴MDE FCE ??≌ . ∴EF ME DM CF ==，

∵25AD BC ==，

，∴3

2

DM CF ==. 在Rt FCE ?中，4tan 3EF C CF

==， ∴2EF ME ==.

在Rt AME ?中，2

23652222AE ??=++= ???

【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:

过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形

平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形 延长梯形两腰交于一点构造三角形 平移对角线，转化为平行四边形+三角形

连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形

以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。

【例4】 （2010，延庆，一模）

如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长．

A

B

C

D

E

【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C 与角1，2，3以及角E 的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC 为RT 三角形。于是得解。

【解析】：

1

2

3A

B

∵ AE BD ∥

∴13∠=∠，2∠=∠E ∵12∠=∠ ∴3∠=∠E

∴32∠=∠+∠=∠ADC E E ∵ 2C E ∠=∠

∴60∠=∠=?ADC BCD ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ∴3==BC AD

∵230∠=?，60∠=?BCD ∴90∠=?DBC 在Rt DBC △中， ∵230∠=?，3=BC ∴6=CD

【例5】（2009，西城，一模）

已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；

【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB 比较容易，过A 做BP 垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB 分成两个有很多已知量的RT △。但是求PD 时候就很麻烦了。PD 所在的三角形PAD 是个钝角三角形，所以就需要我们将PD 放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD 的直角三角形，最简单的就是过P 做DA 延长线的垂线交DA 于F ，DF 交PB 于G 。这样一来，得到了△PFA △AGE 等多个RT △。于是与已求出的AB 等量产生了关系，得解。 【解析】：

如图，作AE ⊥PB 于点E ． ∵ △APE 中，∠APE=45°，2PA =， ∴ 2

sin 212

AE PA APE =?∠=?

=， 2

cos 212

PE PA APE =?∠=?

=． ∵ 4PB =，

∴ 3BE PB PE =-=．

在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ 2210AB AE BE =

+=．

如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ． 在Rt △AEG 中，可得

10

cos cos 3

AE AE AG EAG ABE =

==∠∠，

（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）

13EG =，23

PG PB BE EG =--=．

在Rt △PFG 中，可得10cos cos 5

PF PG FPG PG ABE =?∠=?∠=

，10

15FG =．

【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。

第二部分 发散思考

通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。 【思考1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =．若AC ⊥BD ， AD+BC=310， 且?=∠60ABC ， 求CD 的长． 【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT 三

G F D

C

B

P E

A B

D

A

角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT 三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。 [解法见后文]

【思考2】如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=30°，∠C=60°，E ，M ，F ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，已知BC=7，MN=3，求EF

【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF ，因为BC 已知，所以只需求出AD 即可。由题目所给角B ，角C 的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。 （解法见后）

【思考3】已知ABC ?，延长BC 到D ，使C

D B C =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点

E ．

⑴ 求AE

AC

的值；

⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长．

【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD ，又有F 中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。 （解法见后）

A

D

C

F

E

M

B

N

A B

F E C

D

【思考4】如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长．

【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D 为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。

（解法见后）

【思考5】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．

P Q

N M

E

D C B

A

【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。 （解法见后）

第三部分 思考题答案

思考1

【解析】：作DE ⊥BC 于E ，过D 作DF ∥AC 交BC 延长线于F ． 则四边形ADFC 是平行四边形，∴CF AD =，DF=AC ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ．∴BD DF =

又∵AC ⊥BD ，DF ∥AC ，∴BD ⊥DF ． ∴ΔBDF 是等腰直角三角形 ∴11

()5

22

DE BF AD BC ==+=3

在CDE Rt ?中，

∵?=∠60DCE ， DCE CD DE ∠?=sin ∴??=60sin 35CD ，∴10=CD 思考2 【解析】：

延长BA ，CD 交于点H ，连接HN ，

因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90° 所以HN=DN （直角三角形斜边中线性质） ∠NHD=∠NDH=60°

连接MH ，同理可知∠MHD=∠C=60°。

所以∠NHD=∠MHD ，即H ，N ，M 三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下） 所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5 所以AD=1 EF=（1+7）/2=4

A

D

C

F

E

E

M

B

N

H

思考3

【解析】 ⑴过点F 作FM AC ∥，交BC 于点M ． ∵F 为AB 的中点 ∴M 为BC 的中点，1

2

FM AC =

由FM AC ∥，得CED MFD ∠=∠， ECD FMD ∠=∠，∴FMD ECD ??∽

∴

2

3

DC EC DM FM == ∴2211

3323EC FM AC AC ==?=

∴1

132

AC AC

AE AC EC AC AC AC --===

⑵ ∵AB a =，∴11

22

FB AB a =

= 又FB EC =，∴1

2

EC a =

∵13EC AC =，∴3

32

AC EC a ==．

思考4 【解析】：

延长ED 至点G ，使DG=ED ，连接CG ，FG ． 则△CDG ≌△BDE ．所以CG=BE=3，∠2=∠B ． 因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG=EF ．

在Rt △FCG 中，由勾股定理得2222345FG CG CF =+=+=，所以EF=5．

A B

F E C

D

M

A G

B D

F E

1 C

2 图3

思考5 【解析】：

证明：如图，连结AC 、BD ．

∵PQ 为ABC ?的中位线， ∴12PQ AC ∥，1

2PQ AC =．

同理12MN AC ∥，1

2

MN AC =．

∴MN PQ ∥，MN PQ =，

∴四边形PQMN 为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜） 在AEC ?和DEB ?中，

AE DE =，EC EB =，60AED CEB ∠=?=∠，

即AEC DEB ∠=∠． ∴AEC DEB ??≌． ∴AC BD =． ∴11

22

PQ AC BD PN =

== ∴四边形PQMN 为菱形．

中考数学重难点突破专题二：作图问题

中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．

第一讲线段、角的计算与证明问题

第一讲 线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。 第一部分 真题精讲 【例1】（2018，崇文，一模） 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，° ，，．求AB 的长． 【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,则很轻易发现我们将AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下. 【解析】 作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． DF ∥AE ∴， AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形．

2018中考数学专题03 求阴影部分的面积(选填题重难点题型)(解析版)

1 中考指导：在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这 类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．解决这类问题的常见方法有：规则图形直接利用公式计算、不规则图形利用图形的面积的和差计算、通过分割，割补转化为规则图形计算. 典型例题解析: 【例1】（浙江省鄞州区2017届九年级下学期教学质量检测一）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. π﹣2 B. 2 13π- C. π﹣4 D. 223 π- 【答案】A 【例2】（2017年浙江省金华市金东区中考数学模拟）在矩形ABCD 中，2BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）

2 A. 22 π - B. 22 2π - C. 2π- D. 22 π- 【答案】A 点睛：本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键． 【例3】（2018年河北邢台市宁晋县换马店镇初级中学中考模拟）AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直于AB 交于点E ，∠COB=60°，CD=23，则阴影部分的面积为（ ）

实用文档 用心整理 3 A. 3π B. 23 π C. π D. 2π 【答案】B 【解析】连接OD ． ∵CD ⊥AB ， ∴CE=DE= 1 2 3， 故S △OCE =S △ODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又∵∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S 扇形OBD =2602360?=23π，即阴影部分的面积为23 π． 故选B ． 强化训练 1．（山东省青岛市2018年中考数学试卷样题二）如图，正方形ABCD 的边AB=1， BD u u u r 和AC u u u r 都是以1为半径的圆 弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）

线段、角的计算与证明

O D C B A E D C B A 线段、角的计算与证明问题 1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求 AB 的长． 2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长. 3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =， ，E 为DC 中点，4 tan 3 C = ．求AE 的长度 4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长． A B D E

5 、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； 6、已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求 AE AC 的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长． 7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长． A B F E D

P Q N M E D C B A 8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形， 并证明你的结论． 9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5 ABC ∠= ． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5 4 cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. （第9题图）

中考数学重难点专题讲座

中考数学重难点专题讲座 第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题 【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。 第一部分真题精讲 【例1】2010，海淀，一模 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B D C的面积为S， 2111 ?B D C的面积为S，…，?B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n 含n的式子表示）． B1B2B3B4B5 D1D 2 D3D4…… A C 1C2C 3 C4C5 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ?B AC,?B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332

2 3 3 = 2 3 .接下来通过总结 ,我们发现所求的 S = 1 n + 1 角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长 2 2 2 2 3 3 的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是 2 3 2 3 2 2 三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来 的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发 现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分 n 点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2 D C = n + 1 - 1 n n ? 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要 减 1?) S ?B n +1D n C n = 1 1 2n 3n D C ? 3 = 3 = 2 n n 2 n + 1 n + 1 【例 2】2010，西城，一模 在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ， 则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐 n n n n 标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的 n n n n 单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）． y 4 B A -8 O -4 D C 8 x 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔

线段与角的计算

线段与角的计算 一、选择题 1.如图，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB 与直线BA 是同一条直线 B.射线OA 与射线OB 是同一条射线 C.射线OA 与射线AB 是同一条射线 第1题图 D.线段AB 与线段BA 是同一条线段 2 . 已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 6 1 （α+β）的结果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知A 、B 两点之间的距离是10 cm ，C 是线段AB 上的任意一点，则AC 中点与BC 中点 间的距离是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 4、下列各直线的表示法中，正确的是（ ）. A 、直线A B 、直线AB C 、直线ab D 、直线Ab 5、一个钝角与一个锐角的差是（ ）. A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定 6、下列说确的是（ ）. A 、角的边越长，角越大 B 、在∠AB C 一边的延长线上取一点 D C 、∠B=∠ABC+∠DBC D 、以上都不对 7、下列说法中正确的是（ ）. A 、角是由两条射线组成的图形 B 、一条射线就是一个周角 C 、两条直线相交，只有一个交点 D 、如果线段AB=BC ，那么B 叫做线段AB 的中点 8、同一平面互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）. A 、可能是0个，1个，2个 B 、可能是0个，2个，3个 C 、可能是0个，1个，2个或3个 D 、可能是1个可3个

9、下列说法中，正确的有（）. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短； ④若AB=BC，则点B是线段AC的中点． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 10、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）. A、90° B、82.5° C、67.5° D、60° 11、按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（）. A、AB=8cm，BC=19cm，AC=27cm B、AB=10cm，BC=9cm，AC=18cm C、AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D、AB=30cm，BC=12cm，AC=18cm 12．汽车车灯发出的光线可以看成是( ) A．线段 B．射线 C．直线 D．弧线 13．下列图形中表示直线AB的是( ) A B C D 14．下列说确的是( ) A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．把线段AB向两端无限延伸可得到直线AB 15．木匠在木料上画线，先确定两个点的位置，就能把线画得很准确，其依据是( ) A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．过一点有一条直线 D．过一点有无数条直线 16．如图，若∠AOC＝∠BOD，则∠AOD与∠BOC的关系是( ) A．∠AOD>∠BOC B．∠AOD<∠BOC C．∠AOD＝∠BOC D．无法确定

中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题

中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二

的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

中考数学重难点专题十三 拓展类型

专题十三 拓展类型 1. (2019枣庄)对于实数a ，b ，定义关于“?”的一种运算：a ?b ＝2a ＋b ，例如3? 4＝2×3＋4＝10. (1)求4?(－3)的值； (2)若x ?(－y )＝2，(2y )?x ＝－1，求x ＋y 的值． 2. (2019湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)． 立方差公式：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)． 根据材料和已学知识，先化简，再求值：3x x 2－2x －x 2＋2x ＋4x 3－8 ，其中x ＝3. 3. (2019咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

(1)如图①，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D.求证：四边形ABCD 是等补四边形； 探究： (2)如图②，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由； 运用： (3)如图③，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长． 第3题图

4. (2019兰州)【模型呈现】 如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下： 【模型应用】 如图①，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)连接FC交AB于点G，连接F B. 求证：FG2＝GO·G B.

线与角的相关计算与证明(讲义及答案)

线与角的相关计算与证明（讲义） ?课前预习 1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________． 2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是 ____________________________________________________ ___________________________________________________． A C B 3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做 这个角的平分线． 4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是 ___________________________________________________ __________________________________________________． A C B ?知识点睛 几何题的处理思路： ①读题标注； ②走通思路； ③条理表达． 当角平分线出现时，为了计算方便，通常采用________的方式表达． ?精讲精练

1.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中 点，AD=10 cm，设点B的运动时间为t秒． （1）当t=2时： ①AB=__________cm； ②求线段CD的长度． （2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由． A C B D 2.已知线段AB=m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P，Q分别在线段 BC，AC上，且满足CQ=2AQ，CP=2BP．

中考数学解答题重难点专题突破：简单几何图形的证明与计算试题(有答案)

中考数学解答题重难点专题突破---解答重难点题型突破 题型一 简单几何图形的证明与计算 类型一 特殊四边形的探究 1．(开封模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC 的中点D ，并与边AC 相交于另一点F. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若BC ＝23，E 是半圆AGF ︵ 上一动点，连接AE 、AD 、DE. 填空： ①当AE ︵ 的长度是__________时，四边形ABDE 是菱形； ②当AE ︵ 的长度是__________时，△ADE 是直角三角形. 2．(商丘模拟)如图，已知⊙O 的半径为1，AC 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线BC ，E 是BC 的中点，AB 交⊙O 于D 点． (1)直接写出ED 和EC 的数量关系：； (2)DE 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)填空：当BC ＝__________时，四边形AOED 是平行四边形，同时以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是__________.

3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)． (1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍； ②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形. 4．(新乡模拟)如图，AC是?ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接AF，CE. ①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形； ②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________．

中考数学重难点和二轮专题复习讲座第1讲 线段、角的计算与证明

第一讲线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中, 难题了。大家研究今年的北京一模就会发现,第二部分,或者叫难度开始提上来的部分,基本上都是以线段,角的计算与证明开始的。城乡 18个区县的一模题中, 有 11个区第二部分第一道题都是标准的梯形, 四边形中线段角的计算证明题。剩下的 7个区县题则将线段角问题与旋转, 动态问题结合, 放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说,线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数, 更重要的是对于整个做题过程中士气, 军心的影响。在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳 , 分析研究,来探究线段,角计算证明问题的解题思路。 第一部分真题精讲 【例 1】 (2010,崇文,一模如图 , 梯形 ABCD 中 , A D B C ∥ , 9038BD CD BDC AD BC =∠===, °, , .求 AB 的长. 【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解, 并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是 AB, 已知的是

AD,BC 以及△ BDC 是等腰直角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 . 于是有解如下 . 【解析】 作 AE BC ⊥于 E DF BC ⊥, 于 F . DF ∥ AE ∴, AD BC ∴∥ , 四边形 AEFD 是矩形. 3EF AD AE DF ∴===, . BD CD DF BC =⊥, , DF ∴是 BDC △的 BC 边上的中线. 1 9042 BDC DF BC BF ∠=∴= ==°, . 4431AE BE BF EF ∴==-=-=, . 在 Rt ABE △中, 222AB AE BE =+ AB ∴= 【例 2】 (2010,海淀,一模

中考数学重难点题型专题复习

中考数学新题型专题复习 专题复习 新题型解析 探究性问题 传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因。而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质。 . 阅读理解型 这类题主要是对数学语言（也包括非数学语言）的理解和应用进行考查。要求能够读懂题目，理解数学语言，特别是非数学语言，并能进行抽象和转化及文字表达，能根据引入的新内容解题。这是数学问题解决的开始和基础。 例. （）据《北京日报》年月日报道：北京市人均水资源占有量只有立方米，仅是全国人均占有量的1 8，世界人均占有量的1 32。问：全国人均水资源占有量是多少立方米？世界人均水资源占有量是多少立方米。 （）北京市一年漏掉的水，相当于新建一个自来水厂。据不完全统计，全市至少有6105 ?个水龙头、2105 ?个抽水马桶漏水。如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉立方米水；一个漏水马桶，一个月漏掉立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含、的代数式表示）； （）水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫。针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费。假设不超标部分每立方米水费元，超标部分每立方米水费元，某住楼房的三口之家某月用水立方米，交水费元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为多少立方米。 分析：本题是结合当前社会关注的热点和难点问题——环保问题设计的题组，着重考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，以及阅读理解、检索、整理和处理信息的能力，解好本题的关键是认真阅读理解题意，剖析基本数 量关系。 解：（） 3001824003001 329600÷ =÷=， 答：全国人均水资源占有量是立方米，世界人均水资源占有量是立方米。 （）依题意，一个月造成的水流失量至少为 ()61021055 ?+?a b 立方米 所以，一年造成的水流失量至少为 (..)7210241066 ?+?a b 立方米 （）设北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为立方米 依题意，得13 291222..()x x +-= 解这个方程，得 答：北京市规定三口之家楼房每月标准用水量为立方米。 例. 阅读下列题目的解题过程： 已知、、为?ABC 的三边，且满足a c b c a b 22 22 4 4 -=-，试判断?ABC 的形状。

有关线段角的计算问题专门练习题

有关线段，角的计算问题专门练习 1. 如图，4AB cm =，3BC cm =，如果O 是线段AC 的中点，求线段OA 、OB 的长度. 2. 如图，已知C 、D 是线段AB 上的两点，36AB cm =，且D 为AB 的中点，14CD cm =，求线段BC 和AD 的长 3. 如图所示，已知线段80AB cm =，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且14NB cm =，求PA 的长. 4. 如图所示，点C 在线段A B 上，线段6AC cm =，4BC cm =，点M 和N 分别是AC 和BC 的中点，求线段MN 的长度. 5. 已知P 为线段AB 上的一点，且2 5 AP AB =，M 是AB 的中点，若2PM cm =，求AB 的长. 6. 如图，C 、D 是线段AB 上的两点，已知14BC AB =，1 3 AD AB =，12AB cm =，求CD 、BD 的长.

7. 在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知5AB cm =，点O 是线段AC 的中点，且 1.5OB cm =，求线段BC 的长.（两种情况） 8. 已知A 、B 、C 三点共线，且10AB cm =，4BC cm =，M 是A C 的中点，求AM 的长. 9．如图所示，B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4三部分，M 是AD 中点，CD =8，求MC 的长． 10.如图所示，回答问题：’ (1)在线段AB 上取一点C 时，共有几条线段？ (2)在线段AB 上取两点C 、D 时，共有几条线段？ (3)在线段AB 上取两点C 、D 、E 时，共有几条线段？ (4)你能否说出，在线段AB 上取n 个点时（不与A 、B 重合），直线A 上共有多少条 线段？你发现它们有什么规律，你能试着总结出来吗？和同学们交流一下．

线段与角的计算及解题方法归纳

线段与角的计算及解题方法 求线段长度的几种常用方法： 1．利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系 例1．如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AＢ为5:11,若CD=１0cｍ,求AB。 图1 分析:观察图形可知,ＤC=ＡC-AD,根据已知的比例关系，AＣ、AD均可用所求量AＢ表示,这样通过已知量ＤC，即可求出AB。 解:因为点Ｃ分线段AB为５:７,点D分线段ＡB为5：11 所以 又因为ＣD＝1０cm，所以AＢ=9６ｃm 2．利用线段中点性质,进行线段长度变换 例2.如图2，已知线段AB=80ｃm,Ｍ为AB的中点,Ｐ在MB上，Ｎ为PB的中点，且NB=14cm，求PA的长。 图２ 分析:从图形可以看出,线段AＰ等于线段AM与MＰ的和,也等于线段ＡB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与ＭＰ的长或者求出线段PB的长即可。 解:因为N是PB的中点，NB=14 所以ＰＢ＝2NB＝2×14＝２８ 又因为ＡP=ＡＢ－PB,AB＝８0 所以ＡP=80-２8=５2(cm） 说明:在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。 ３. 根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解

例3. 如图3，一条直线上顺次有A、Ｂ、C、D四点,且C为AＤ的中点，,求ＢC是AB的多少倍？ 图３ 分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又Ｃ为AD的中点,即，观察图形可知,,可得到BC、AB、AＤ又一个方程，从而可用ＡD分别表示AＢ、ＢC。 解：因为C为ＡD的中点，所以 因为,即 又 由<1>、<2＞可得： 即BC=3ＡB 例４. 如图４,C、Ｄ、E将线段AB分成2：3：4:５四部分，M、Ｐ、Q、N分别是AC、CD、DＥ、EB的中点，且MN=21,求PQ的长。 图4 分析：根据比例关系及中点性质，若设AＣ=2x,则AＢ上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量ＭN=MC＋CＤ+DE＋EN，可转化成x的方程，先求出ｘ,再求出PQ。 解：若设AC=2x，则 于是有 那么 即 解得:

2019-2020年中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题

2019-2020年中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 智康·刘豪 【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。 第一部分 真题精讲 【例1】（xx ，密云，一模） 如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）． C M B （1）当时，求的值； （2）试探究：为何值时，为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形． A B M C N E D ∵，． ∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ ．解得．

线段和角的计算题

期末复习：线段和角的有关计算 一、课前热身，引入课题 问题1：已知线段AB ＝5cm ，C 为线段AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题2：已知线段AB ＝5cm ，C 为直线AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题3：已知∠AOB ＝50°， OC 为∠AOB 内一射线，且∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 问题4：已知∠AOB ＝50°，∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 今天我们复习线段和角的有关计算： 二、问题探究，探寻规律 例1 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若BC ＝8cm ，求MN 的长， （4） 若C 为线段AB 上任一点，你能求MN 的长吗？请写出结论，并说明理由。 例2 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝30°，求∠MON 的度数， （2） 若∠BOC ＝50°，求∠MON 的度数， （3） 由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。 例3 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 延长线上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若C 为线段AB 延长线上任一点，你能求MN 的长吗？ 若能，请求出MN 的长，并说明理由。 例4 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝40°，求∠MON 的度数， （2） 若∠AOC ＝α，求∠MON 的度数， （3） 若∠BOC ＝β，求∠MON 的度数， （4） 由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理由。 三、拓展提高、应用规律 例5 已知∠AOB ＝α，过O 任作一射线OC ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， （1） 如图，当OC 在∠AOB 内部时，试探寻∠MON 与α的关系； （2） 当OC 在∠AOB 外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由。 B

证明角相等的方法

证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.

（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果

2012年中考数学第二轮复习重难点专题讲座第五讲多种函数交叉综合问题

中考数学重难点专题讲座 第五讲多种函数交叉综合问题 【前言】 初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。二次函数基本上 只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。这类题目本身并不会太难，很少作为压轴 题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。 【例1】2010,西城，一模 『9 ）将直线y=4x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点 A -, 0，与双曲线 y =k（x 0）交于点B ? x ⑴求直线AB的解析式； ⑵若点B的纵标为m，求k的值（用含有m的式子表示）. 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线， 然后联立即可。比较简单，看看就行? 【解析】将直线y=4x沿y轴向下平移后经过x轴上点A（9,0）, 4 设直线AB的解析式为y =4x b . 9 则4 b=0 4 ' 解得b = -9 . ???直线AB的解析式为y =4x -9 .

图3 (2)设点B的坐标为X B , m , ???直线AB经过点B , m = 4x B-9 . i'm +9 I ■■- B点的坐标为—^,m , I 4丿 k ???点B在双曲线y x 0 j上, x k m = — m 9 . 4 m2 +9m --k =. 4 【例2】2010,丰台，一模 如图，一次函数y^kx b的图象与反比例函数y^m的图象相交于A、B两点. x

中考数学重难点专题讲座-第三讲-动态几何

中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 【前言】 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， 第一部分 真题精讲 【例1】（2010，密云，一模） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出 发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，

自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得50 17 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵4 sin 5DF C CD ∠==， ∴3cos 5 C ∠= ， ∴310225 t t -=?， 解得258 t = ．