钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法
第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS
82
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收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03)
作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@https://www.wendangku.net/doc/422624245.html,)；
李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05
钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法
*
周凌远，李 乔
(西南交通大学土木工程学院，成都 610031)
摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。
关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：A
AN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF
REINFORCED CONCRETE BEAM
*
ZHOU Ling-yuan , LI Qiao
(School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)
Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation.
Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity
钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框
架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3
―4]
，通
过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内
工程力学 83
随内力的增加允许有塑性区发生扩展。并通过大量的数值试验结果证明这种方法较集中塑性铰法有着明显的优越性。1996年，Spacone和Filippou等提出了一种基于柔度的纤维模型单元[5―6]，并用于对钢筋混凝土结构的动力响应分析，与Izzuddin不同之处在于这种单元采用了力的插值而非位移插值的方式，这样单元力的平衡条件和位移协调条件同时得到满足，并避免了采用刚度法时，出现单元材料发生屈服时，使位移场变得复杂难以采用一般的插值函数描述的问题。
本文基于分布式塑性理论，将平面单元引入到梁单元，建立梁的非线性分析模型——网格截面模型，并将钢筋的刚度计入到梁单元中，实现不同材料的组合单元，采用力插值函数描述单元的截面力，并引入混凝土和钢筋的本构关系实现适用于基于柔度法的钢筋混凝土材料非线性梁单元。
1 网格截面梁单元
1.1 单元截面的网格化
进行非线性分析时，由于梁单元发生弯曲，截面上不同区域的应力有较大的差异，不同位置材料的本构关系无法通过统一的函数表示，截面的刚度矩阵也难以通过积分显示地表示出来，因此引入平面单元，对截面进行网格划分，通过单元积分点的应力来反映截面的应力状态。如图1所示的一网格化后的钢筋混凝土T型梁单元，截面参考坐标系选择与单元坐标系相同。为适应不同的截面形状，本文中的截面网格，采用8节点或6节点平面等参单元[7]。
(a) 单元积分点位置(b) 积分点截面网格
图1 梁单元积分点位置网格截面
Fig.1 Meshed Sections at integral point on a beam
网格模型方法与纤维模型法的区别在于，其假定在同一截面网格内，材料的应力为连续变化，这样截面的刚度矩阵和截面力可以通过对截面网格内的应力-应变关系或应力的数值积分得到[8]。1.2 梁单元截面的刚度矩阵
对Euler-Bernoulli梁，单元截面上的广义位移为：
T
{}
s x z y
dεκκζ
=(1)
式中：
x
ε表示截面形心轴的轴向应变；
z
κ和
y
κ分别表示对截面坐标系z′′轴和y′′轴的曲率；ζ为扭转的变化率[8]。与截面的广义变形相对应，截面的内力为：
T
{}
s z y x
f N M M T
=(2) 式中：N为截面的法向力；M z、M y分别表示截面绕z′′轴和y′′轴的弯矩；T x为截面的扭矩。截面力增量和截面广义变形增量的本构关系为：
s s s
f d
?=?
K(3)
式中，
s
K为截面切线刚度矩阵。
2 钢筋混凝土截面的刚度矩阵
钢筋混凝土梁单元由混凝土和钢筋两种材料组成，截面的内力增量?f s包括混凝土产生的截面内力增量?f cs和钢筋产生的截面内力增量?f ss两部分：
s cs ss
f f f
?=?+?(4) 假定钢筋与混凝土之间粘结牢固，不发生相对滑移，即钢筋的轴向应变与该点的混凝土相同。设混凝土的截面刚度矩阵K cs，混凝土应力产生的反力增量与截面变形增量的关系为：
cs cs s
f d
?=?
K(5) 设钢筋对截面刚度矩阵的贡献为K ss，则钢筋应力产生的截面内力增量为：
ss ss s
f d
?=?
K(6) 对于混凝土梁单元，根据网格截面梁单元的假定，很容易建立截面变形与截面抗力的关系，单元截面混凝土对截面刚度矩阵的贡献表示为对截面上网格的材料积分的形式[8]：
cs
=
K
111
2
111
2
111
1
d d d0
d d d0
d d d0
000d N N N
ct ct ct
i i i
N N N
ct ct ct
i i i
N N N
ct ct ct
i i i
N
i
E A E y A E z A
E y A E y A E yz A
E z A E yz A E z A
GJ ===
===
===
=
??????????????????????
????∑∑∑
∫∫∫
∑∑∑
∫∫∫
∑∑∑
∫∫∫
∑∫
(7)
84 工 程 力 学
式中：N 表示混凝土截面上网格数；A 为截面网格面积；y 、z 为截面坐标系下的坐标；E ct 为混凝土的切线模量；G 为剪切模量；J 为圣维南扭转常数，可利用等参单元后对上式进行数值积分。
引入材料在不同受力阶段的本构关系，并对 式(7)运用数值积分后，可得到混凝土单元刚度矩阵表达式。考虑钢筋的抗扭作用后，得到钢筋对截面刚度的贡献：
,,,,,,11
1
2,,,,,,1
112,,,,,,11
1
22,10
00
()s
s
s
s
s
s
s
s s N N N st i s i st i i s i
st i i s i
i i i N N N st i i s i st i i s i
st i i i s i
i i i ss N N N st i i s i
st i i i s i st i i s i
i i i N
s i i s i i E A E y A E z A E y A E y A E y z A K E z A
E y z A E z A G y z A ρρρρρ
ρρρρ==========???=+?
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑?????????
?????????
?
???
(8) 式中：E st ,i 为第i 根钢筋的切线模量；N s 为该截面的钢筋根数；E ct 为钢筋位置混凝土的切线模量；
,1/ct st i E E ρ=?；A s ,i 为第i 根钢筋的面积；y i 、z i 为钢筋在截面局部坐标系下的坐标；G s 为钢筋的剪切模量。考虑钢筋和混凝土共同作用后，单元截面刚度矩阵为：
s cs ss =+K K K (9)
3 截面和单元的柔度矩阵
与刚度法采用位移插值函数方式描述单元的位移分布不同，柔度法是通过力插值函数描述单元中的力场的分布，则截面力可以表示为：
s f n N f =?f
(10)
式中：N f 为力插值函数；n f
和s f 分别为无刚体位移模式的节点力和单元截面的内力向量[8]，假定单元轴向力和扭转为常数，弯矩为线性分布，则有：
10000001
00000010000001f x x l l x x
l l ?????????=?????
??
????N (11)
式中：x 表示梁单元轴向位置；l 为单元长度。
利用截面的柔度矩阵，截面本构关系增量形式可表示为：
s s s d f ?=?F (12)
式中：s d ?为截面的变形增量；s f ?为截面的内力；F s 为截面的柔度矩阵，对截面的刚度矩阵式(9)求 逆得：
1s s ?=F K (13)
利用虚功原理，得到无刚体位移模式的单元柔
度矩阵为：
T
d l
e
f s f x =∫F ΝF Ν (14)
4 单元的刚度矩阵及抗力
4.1 刚体位移模式变换矩阵
对式(14)的e F
求逆可得到单元无刚体位移模式的切线刚度矩阵：
1e e ?=K F
(15)
无刚体位移模式单元的本构关系的增量形 式为：
n e n f d ?=?K
(16)
式中，n d
为无刚体位移模式的节点位移。
为得到结构的总体平衡方程，需将式(16)的单元平衡方程变换为以下带刚体位移模式的形式：
n e n f d ?=?K (17) 式中：n f ?为带刚体位移模式的单元节点的力增量；
n d ?为带刚体位移模式的单元节点的位移增量；K e
为单元的刚度矩阵。由平衡条件和几何关系，分别得到带刚体位移模式力-位移与无刚体位移模式力-位移的关系式分别为：
T n r n f f =T , n r n d d =T
(18) 式中：n f
为无刚体位移模式的单元节点力；T r 为从带刚体位移模式到无刚体位移模式自由度的转换矩阵： r =T
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10
000010000011
000010000
011
00
00000
11
1
000100000
011
0000
00001
000010000010
0l l l
l l l l
l
???????????????
?????
??????????????
?
? (19) 4.2 单元刚度矩阵
由式(17)和式(18)，得到带刚体位移模式的局部坐标系下单元的切线刚度矩阵为：
T
e r e r =K T K T (20)
由式(20)得到的单元刚度矩阵，与通过刚度法得到的单元刚度矩阵是不同的，由刚度法得到的切线刚度矩阵依赖于单元位移的插值函数矩阵；而由柔度法得到的切线刚度矩阵依赖于单元力的插值函数矩阵。 4.3 截面的抗力
当材料进入非弹性阶段后，利用单元节点位移增量，可计算得到混凝土截面网格在积分点位置的变形，再由混凝土本构关系计算积分点位置的应力增量；模型中假定钢筋与混凝土间不发生相当滑移，钢筋与所在位置混凝土具有相同的应变，通过本构关系计算钢筋的应力增量，积分后得到截面 力为：
,,11,,11
,,11d d d N N
c
s i s i i i N N c i s i s i s i i N N
c i s i s i i i x A A y A y A f z A z A T σσσσσσ======??
+????????????=??????+?????
??
∑∑∫∑∑∫∑∑∫ (21) 式中：c σ为混凝土的应力；,s i σ为第i 根钢筋的
应力。
5 算例
图2所示一钢筋混凝土悬臂梁，长2.5m ，截面0.5m×0.5m ，混凝土等级为C50
，HRB335。自由端受集中荷载。模型采用基于柔度的网格截面梁单元，本构模型采用Kent-Park 模
型[9]
，钢筋材料本构分别采用Mander 模型
[10]
和双
线模型。
图2 受集中荷载的钢筋混凝土悬臂梁
Fig.2 Reinforced concrete beam under concentrated load
计算中，C50混凝土的抗压强度按标准强度取32400kPa ，HRB335钢筋的屈服强度为335000kPa 。双线模型中屈服后弹性模型取E t =0.0085E 0，采用Mander 模型时，由于缺乏HRB335钢筋屈服后的硬化段开始点应变和硬化段开始点的切线斜率以及极限强度等试验数据，参照文献[9―10]取得材料相关参数，屈服应变为0.002，硬化段开始点的应变为0.004，推算出极限强度f u =450000kPa 。混凝土本构模型Kent-Park 模型相关参数参照文献[10]，混凝土应力-应变曲线中的屈服强度为32400kPa ，相应的应变为0.002，压碎时应力为6480kPa ，极限应变为0.07，计算中未考虑混凝土的抗拉强度。
计算采用根据本文理论编制程序BRANSYS [8]，为了得到荷载-位移曲线极值点，梁端荷载P 取为50kN ，按Newton-Raphson 法分5级加载，完成后再由改进的弧长法[8]，继续加载至结构破坏，规定位移向下为正。从图3的荷载-位移曲线可以看出，钢筋采用Mander 模型和双线模型时在钢筋屈服前的行为完全一致；而当钢筋发生屈服后，悬臂梁的行为有所不同，双线模型表现为承载力缓慢上升至梁端位移超过0.2m 后出现迭代不收敛，而采用Mander 模型时表现为钢筋屈服后，承载力继续上升，当梁端位移超过0.09m 后，出现了承载力下载的情况，即结构发生软化，至梁端位移为0.43m 时出现了不收敛，这时混凝土完全压碎，结构彻底丧失承载力。
位移(m)
荷载P (k N )
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
5010015020025000.0
300
350双线模型
Mander 模型
图3 梁端荷载-挠度曲线
Fig.3 Load-deflection relation of beam end
位移/m 荷载P /k N
86 工程力学
混凝土规范将适筋梁受拉区钢筋屈服以及受压区混凝土压碎为构件破坏的标志，由BRANSYS 按双线模型和Mander模型计算得到的极限荷载分别为255.3kN和252.7kN，而采用材料强度标准值，按照规范的极限承载力方法得到的极限荷载为240.0kN，数值计算得到的承载力与规范方法相差约6.0%，这种差别应是在钢筋屈服后对截面应力分布假定不同造成的。
6 结论
基于柔度法和分布式塑形理论的网格截面钢筋混凝土非线性梁单元模型，结合梁单元和平面实体单元的优势，通过引入混凝土和钢筋的材料本构关系引入力的插值函数通过数值积分计算钢筋混凝土单元截面的刚度矩阵和单元抗力，能够有效地反映钢筋混凝土结构受力后，混凝土受拉区钢筋和受压区混凝土屈服后的应力模式，因而是分析钢筋混凝土结构在受弯时承载力状态的有效方法。算例的分析结果同承载能力极限状态的计算结果比较，证明了模型和分析方法的正确性。单元忽略钢筋与混凝土粘结滑移对开裂后受力行为的影响是今后需要进一步探讨的内容。
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非线性有限元方法及实例分析
非线性有限元方法及实例分析 梁军 河海大学水利水电工程学院，南京（210098） 摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析 1引 言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]： 1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题 3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性） 2 非线性方程组的求解 在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]： ()()()00 021212211=… …==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1） 其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记 号 []T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3） 上述方程组（1.1）可表示为 ()0=δψ （1.4） 可以将它改写为 ()()()0=?≡?≡R K R F δδδδψ （1.5） 其中()δK 是一个的矩阵，其元素 是矢量的函数，n n ×ij k R 为已知矢量。在位移有限 元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。 在线弹性有限元中，线性方程组
钢筋混凝土梁的研究
钢筋混凝土梁的研究 摘要：本文借助于数值模拟方法研究了钢筋混凝土梁在集中荷载作用下的受力状态。通过分析得到的位移、应力图，清晰的反映了梁受力的全过程，并与实践吻合较好。 关键词：钢筋混凝土梁；数值模拟；应力 随着计算机的发展，数值模拟方法在工程领域得到了越来越广泛的应用。数值模拟可以提供结构位移、应力、应变、混凝土屈服、钢筋塑性流动等信息，这些对于研究钢筋混凝土结构的性能和改进工程结构设计都有重要的意义。 1数值模拟的意义 对于钢筋混凝土构件，材料的非线性与几何非线性同时存在，试验方法存在一定的局限性，导致对钢筋混凝土构件的内部受力状态和破坏机理的研究不够深入。混凝土是由水泥、水、砂和石子及各种掺合料硬化而成，是成分复杂、性能多样的建筑材料。长期以来，人们用线弹性理论来分析钢筋混凝土结构的应力或内力，而以极限状态的设计方法确定构件的承载能力。这种方法往往是基于大量的试验数据基础上的经验公式，虽然能够反映钢筋混凝土构件的非弹性性能1]，但是在使用上存在局限性，也缺乏系统的理论性。随着计算机的发展，有限元法在工程领域得到了越来越广泛的应用。随着计算机的普及和完善，运用数值模拟方法检验和代替部分试验，具有节约成本、方便等有点。 2钢筋混凝土梁的模拟分析 2.1模型建立 以钢筋混凝土梁为例进行模拟分析：梁长6米，高取为500mm，截面宽度去为300mm，在跨中施加集中荷载20kN，梁左端施加可动铰支座约束，右端施加固定铰支座约束。 2.2位移图 受力前的图形为图2中的边框线，梁在集中力荷载作用下的位移图为图2.2中的实体。在集中荷载的作用下，以梁跨中间的位置向下弯曲最为明显，越到两端位移越小，直至为零，这与假设的边界约束条件相一致。 2.3应力图 从图中可以看出，梁受力后跨中截面部分的应力最大2]。随着荷载的逐步加大跨中部分的应力变成红色，表明此处为梁的受力薄弱环节，在结构设计和施工中此处都应该加强措施以保证梁构件的安全。 3结语 数值模拟方法以其自身强大的优势，在一定程度可以起到辅助和代替部分试验的重要作用。在今后的发展研究中，随着数值模拟理论的不断进步，它必将会为工程实践提供准确的理论依据。 参考文献： 1]江见鲸,陆新征,叶列平.混凝土结构有限元分析M].北京:清华大学出版社,2005. 2]TianhuHe,MingzhiGuan.FiniteElementMethodtoaGeneralizedTwo-dimensionalThermo-elasticPr oblemwithThermalRelaxation,ProceedingsoftheThirdInternationalConferenceonMechanicalEngin eeringandMechanics,Vol1,Beijing,P.R.China,Oct.21-23:278-283.
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的
连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法
附表25：等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）。 弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例） 一、名词解释 弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法，但在力学上属于精确法的范畴，主要适用于连续梁和刚架的计算。在弯矩分配法中不需要解联立方程，而且是直接得出杆端弯矩。由于计算简便，弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。 （一）线刚度i 杆件横截面的抗弯刚度EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ： （a ） 当远端B 为固定支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB 4=； （b ） 当远端B 为铰支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度i S AB 3=； （c ） 当远端B 为滑动支座时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度 i S AB =； （d ） 当远端B 为自由端时，对于A 点处，AB 杆的转动刚度0=AB S 。 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。 （二）转动刚度S 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。杆端的转动刚度以S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩，θ/M S =。施力端只能发生转角，不能发生线位移。AB S 中的第一个 角标A 是表示A 端，第二个角标B 是表示杆的远端是B 端。AB S 表示AB 杆在A 端的转动刚度。 （三）分配系数μ
各杆A 端所承担的弯矩与各杆A 端的转动刚度成正比。 Aj μ称为分配系数，如AB μ表示杆AB 在A 端的分配系数。它表示AB 杆的A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆AB 的转动刚度与交于A 点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点A 的外力矩，按各杆的分配系数分配于各杆的A 端。 （四）传递系数C ij C 称为传递系数。传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数C 得出远端弯矩。 当远端为固定的边支座或为非边支座2 1=C ； 当远端为滑动边支座 1-=C ； 当远端为铰支边支座 0=C 。 节点A 作用的外力矩M ，按各杆的分配系数μ分配给各杆的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 （五）杆端弯矩 弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的最后总的效果。 计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。其上作用的荷载有外荷载，每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩，两端共有二个剪力和二个弯矩。这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。 （六）近端弯矩和远端弯矩
钢筋混凝土梁的ansys分析
摘要 本文介绍ANSYS 模拟钢筋混凝土梁的过程，讨论了有限元模型的建立以及在 ANSYS 中的实现，给出了用分离式配筋方法对混凝土梁的分析的一般过程。并给出了详细的命令流过程。并在此基础上对混凝土梁进行了分析，讨论了在力的作用下混凝土梁的塑形变形和裂缝的发展过程。 关键词 Ansys 混凝土梁 分离式配筋 The analysis of mechanics of a reinforced concrete based on ANSYS Abstract This paper introduces ANSYS simulation of the reinforced concrete beam process, discusses the establishment of the finite element model and the realization, and gives the ANSYS reinforcement method with separate the analysis of concrete beams of the general process. And gives the detailed command flow process. Based on the analysis of concrete beams, and discussed the concrete beam under the action of forces of the body deformation and fracture process. Keywords Ansys concrete beams reinforced separated 1 引言 由于钢筋混凝上材料性质复杂，使其表现出明显的非线性行为[1]。长期以来采用线弹性理论的设计方法来研究钢筋混凝上结构的应力或内力，显然不太合理，尽管有此理论是基于人量试验数据上的经验公式，还是不能准确反映混凝上的力学性能，特别是受力复杂的重要结构，必须采用三维钢筋混凝上非线性有限元方法才能很好地掌握其力学性能。利用ANSYS 对钢筋混凝上结构弹塑性的仿真分析，可以对结构自开始受荷载直到破坏的全过程进行分析，获得不同阶段的受力性能。本文将以混凝土梁的弹塑性分析为例，介绍在Ansys 中分析材料非线性问题的具体实现方法。 2 问题介绍 如图所示的钢筋混凝土梁[2]，横截面尺寸为200400b h mm mm ?=?,梁的跨度为3.0L m =，支座宽度为250mm 采用C20混凝土，梁内受拉纵筋3φ20，架立筋采用2φ12， 箍筋采用φ6@150，钢筋保护层厚度为25mm 。如图一。 图一 对于梁中所采用的所有钢筋，弹性模量为5 2.110MPa ?，抗拉强度设计值210MPa ， 密度33 7.810/kg m ?，泊松比为0.3。
第6章 混凝土梁承载力计算原理
6 混凝土梁承载力计算原理 6.1 概述 本章介绍钢筋混凝土梁的受弯、受剪及受扭承载力计算方法。钢筋混凝土梁是由钢筋和混凝土两种材料所组成，且混凝土本身是非弹性、非匀质材料。抗拉强度又远小于抗压强度，因而其受力性能有很大不同。研究钢筋混凝土构件的受力性能，很大程度上要依赖于构件加载试验。建筑工程中梁常用的截面形式如图6-1所示。 6.2 正截面受弯承载力 6.2.1 材料的选择与一般构造 1)截面尺寸 为统一模板尺寸以便施工，现浇钢筋混凝土构件宜采用下列尺寸： 梁宽一般为100m m、120m m、 150m m、180m m、 200m m、220m m、250和300m m，以上按 b/，50m m模数递增。梁高200～800m m，模数为50m m，800m m以上模数为100m m。梁高与跨度只比l h/，主梁为1/8～1/12，次梁为1/15～1/20，独立梁不小于1/15（简支）和1/20（连续）；梁高与梁宽之比b 在矩形截面梁中一般为2～2.5，在T形梁中为2.5～4.0。 2)混凝土保护层厚度 为了满足对受力钢筋的有效锚固及耐火、耐久性要求，钢筋的混凝土保护层应有足够的厚度。混凝土保护层最小厚度与钢筋直径，构件种类、环境条件和混凝土强度等级有关。具体应符合下表规定。 表6-1 混凝土保护层最小厚度 注：（1）基础的保护层厚度不小于40mm；当无垫层时不小于70mm。 （2）处于一类环境且由工厂生产的预制构件，当混凝土强度不低于C20时，其保护层厚度可按表中规定减少5mm，但预制构件中的预应力钢筋的保护层厚度不应小于15mm；处于二类环境且由工厂生产的预制构件，当表面另做水泥砂浆抹面层且有质量保证措施时，保护层厚度可按表中一类环境数值取用。 （3）预制钢筋混凝土受弯构件钢筋端头的保护层厚度不应小于10mm，预制肋形板主肋钢筋的保护层厚度应按梁的数值采用。 （4）板、墙、壳中分布钢筋的保护层厚度不应小于10mm，梁、柱中箍筋和构造钢筋的保护层厚度不应小于15mm。 （5）处于二类环境中的悬臂板，其上表面应另作水泥砂浆保护层或采取其它保护措施。
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章 几何非线性问题的有限元法 引言 前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。 实际上，上述假设有时是不成立的。即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。 几何非线性问题可以分为以下几种类型： （1）大位移小应变问题。一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。 （2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。 （3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。 结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。 本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。在讨论中我们采用总体的拉格朗日列式法，但对杆系结构，为应用方便我们给出了两种列式法的公式。 & 一般性讨论 理论基础 无论是对于何种几何非线性问题，虚功原理总是成立的。由虚功原理，单元的虚功方程可以写成如下的形式 {}{}{}{}0=-???**v e eT e eT F dv δσε （） 其中{}F 为单元节点力向量，{}e *ε为单元的虚应变，{}e *δ为节点虚位移向量。 增量形式的应变一位移关系可表示为 {}[] {}e e d B d δε= （）
钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法
第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS 82 ——————————————— 收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03) 作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@https://www.wendangku.net/doc/422624245.html,)； 李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05 钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法 * 周凌远，李 乔 (西南交通大学土木工程学院，成都 610031) 摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。 关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：A AN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAM * ZHOU Ling-yuan , LI Qiao (School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China) Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation. Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity 钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框 架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3 ―4] ，通 过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内
钢筋混凝土梁的ansys分析
基于ANSYS的钢筋混凝土力学分析摘要本文介绍ANSYS模拟钢筋混凝土梁的过程，讨论了有限元模型的建立以及在 ANSYS中的实现，给出了用分离式配筋方法对混凝土梁的分析的一般过程。并给出了详细的命令流过程。并在此基础上对混凝土梁进行了分析，讨论了在力的作用下混凝土梁的塑形变 形和裂缝的发展过程。 关键词Ansys 混凝土梁分离式配筋 The analysis of mechanics of a reinforced concrete based on ANSYS Abstract This paper introduces ANSYS simulation of the reinforced concrete beam process, discusses the establishment of the finite element model and the realization, and gives the ANSYS reinforcement method with separate the analysis of concrete beams of the general process. And gives the detailed command flow process. Based on the analysis of concrete beams, and discussed the concrete beam under the action of forces of the body deformation and fracture process. Keywords Ansys concrete beams reinforced separated 1 引言 由于钢筋混凝上材料性质复杂，使其表现出明显的非线性行为[1]。长期以来采用线弹 性理论的设计方法来研究钢筋混凝上结构的应力或内力，显然不太合理，尽管有此理论是基 于人量试验数据上的经验公式，还是不能准确反映混凝上的力学性能，特别是受力复杂的重 要结构，必须采用三维钢筋混凝上非线性有限元方法才能很好地掌握其力学性能。利用 ANSYS对钢筋混凝上结构弹塑性的仿真分析，可以对结构自开始受荷载直到破坏的全过程进 行分析，获得不同阶段的受力性能。本文将以混凝土梁的弹塑性分析为例，介绍在Ansys中分析材料非线性问题的具体实现方法。 2 问题介绍 如图所示的钢筋混凝土梁[2]，横截面尺寸为 b h 200 mm 400 m m ,梁的跨度为 L 3.0 m ，支座宽度为250 m m 采用C20 混凝土，梁内受拉纵筋3φ20，架立筋采用2φ12，箍筋采用φ6@150，钢筋保护层厚度为25mm。如图一。 图一 对于梁中所采用的所有钢筋，弹性模量为 5 2.1 10 MPa ，抗拉强度设计值210 M P a ，
非线性有限元分析
非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用范围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学，传热学等连续介质力学领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展
有限单元法作业非线性分析+程序
几何非线性大作业荷载增量法 和弧长法程序设计 系（所）：建筑工程系 学号：1432055 姓名：焦联洪 培养层次：专业硕士 指导老师：吴明儿 2015年6月19日
一、几何非线性大作业（ Newton-Raphson法） 用荷载增量法（Newton-Raphson法）编写几何非线性程序： （1）用平面梁单元，可分析平面杆系 （2）算例：悬臂端作用弯矩。悬臂梁最终变形形成周长为悬臂梁长度的圆。 1.1 Newton-Raphson算法基本思想 图1.1 Newton-Raphson算法基本思想 1.2 悬臂梁参数 基本参数：L=2m, D=0.03m, A=7.069E-4m2, I=3.976E-08m4 ,E=2.0E11N/m2
图1.2 悬臂梁单元信息 将悬臂梁分成10个单元，如图1.2所示 2.1 MATLAB输入信息 材料信息单元信息 约束信息（0为约束，1为放松）荷载信息（FX,FY,M）
节点信息 2.2 求解过程 梁弯成圆形：理论弯矩M=EIY"=24981.944N.m ,直径为0.642m 运用ABAQUS和MATLAB进行求解对比： 图1.3 加载图 图1.4 ABAQUS变形图
图1.5 MATLAB变形曲线 ABAQUS和MATLAB变形对比，最终在理论荷载作用下都弯成了一个圆，其直径为0.64716m，与理论值相对比值为：（0.64716-0.642）/0.642=0.00804.非常接近。 2.3 加载点荷载位移曲线 图1.5 加载点Y方向的荷载位移曲线
加载点的最大竖向位移分别为1.4525m和1.45246m，相对比值（1.4525-1.45246）/1.45246=2.75395E-05。完全相同，说明MATLAB的计算结果很好。
6梁的内力分析(二)
教案首页
教学内容： 课题6 梁的内力分析（二） 一、弯矩、剪力和载荷集度间的关系及其应用 如图所示，梁上各段（不含控制截面）的荷载分两种情况： ① 存在分布荷载，q (x )≠0，如简支梁上的CD 段。 ② 无荷载作用，q (x )=0，如梁上的AC 、DE 、EB 段。q (x )=0为q (x )≠0的特殊情况，所以只讨论q (x )≠0的情况。 1.弯矩、剪力和载荷集度间的微分关系 2()() ()()()()()2Q Q Q dF x dF x dM x dM x q x F x =q x dx dx dx dx ===，， 2.某段直梁在几种荷载作用下剪力图和弯矩图特征 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 利用上述规律，可以较方便地画出剪力图和弯矩图，而不需列出剪力方程和弯矩方程。具体做法是：先求出支座反力（如果需要的话），再由左至右求出几个控制截面的剪力和弯矩，如支座处、集中荷载作用处、集中力偶作用处以及分布荷载变化处的截面。注意在集中力作用处，左右两侧截面上的剪力有突变；在集中力偶作用处，左右两侧截面上的弯矩有突弯。在控制截面之间，利用以上关系式，可以确定剪力图和弯矩图的线型，最后得到剪力图和弯矩图。如果梁上某段内有分布荷载作用，则需求出该段内剪力F Q =0截面上弯矩的极值。最后标出具有代表性的剪力值和弯矩值。 3.简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
绘制剪力图、弯矩图的步骤： （1）建立F Q-x、M-x 坐标系； （2）确定控制面及其上之F Q、M 值，并标在F Q-x、M-x 坐标中； （3）确定控制面之间的F Q、M图形。 控制面的概念：外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。 [例1] 画如图（a）所示外伸梁的剪力图和弯矩 图。 解：（1）求支座反力。由平衡方程 ΣM A=0 得F B=148 kN ΣM B=0 得F A=72 kN （2）计算控制截面的剪力和弯矩 截面1和2：F Q1= F Q2=72 kN M1= M A=0 M2=72×2=144 kN·m 截面3和4：F Q3=72kN F Q4=72-20×8=-88 kN M3=72×2-160=-16 kN·m M4= M B =-20×2-20×2×172×2=-80 kN·m （由截面右侧外力计算） 在CB段内有一截面上的剪力F Q =0，在此截面上 的弯矩有极值。 由F Q (x)=72－20x=0 得x=3.6m 此即F Q=0的截面距C点的距离。计算该截面的 弯矩可根据截面一侧的外力计算，得 M max=72×(2+3.6)-160-20×3.6×3.6/2=113.6 kN·m 截面5和6：F Q5=20+20×2=60kN F Q6=20 kN M5= M B-80 kN·m M6= M D=0 （3）绘制全梁的剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图如图（b）（c）所示。由图可见，全梁的最大剪力产生在截面4，最大弯矩产生在截面2上，其值分别为 |F Q|max=88kN |M|max=144kNm 二、用叠加法绘制弯矩图 1.叠加原理 一般而言，只要所求的量（如内力、位移等）是荷载的线性函数，则可先求该量在每一荷载单独作用下的值，然后叠加，即为几个荷载联合作用下该量的总值，此即叠加原理。 2.叠加法绘内力图 在多个荷载作用下，梁的横截面上的弯矩，等于各个荷载单独作用所引起的弯矩的叠加，这种求弯矩的方法称为叠加法。 3.叠加法绘内力图步骤： （1）荷载分组。把梁上作用的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况。 （2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。各简单荷载作用下单跨静定梁的内力图可查表。 （3）叠加各内力图上对应截面的纵坐标代数值，得原梁的内力图
浅析梁式桥及其内力计算方法
浅析梁式桥及其内力计算方法 梁式桥是一种在竖向移动荷载作用下无水平反力的结构体系，与建筑工程中的梁相似。它结构简单，但跨越能力有限。其上部结构在铅垂荷载作用下，支点只产生竖向反力。梁式桥为桥梁的基本体系之一。制造和架设均比较方便，使用广泛，在桥梁建筑中占有很大比例。目前应用最广的钢筋混凝土简支梁跨度为5至25米，预应力混凝土简支梁跨度为10至50米。由于连续刚构跨径加大，自重随着加大，恒载比例已高达90％以上，故片面增大跨径，已无实际意义。本文主要对梁式桥的内力计算理论进行了探讨。 标签：梁式桥内力计算设计 1 梁式桥的分类 1.1 按上部结构的材料分 有木梁桥、石梁桥、钢梁桥、钢筋混凝土梁桥、预应力混凝土梁桥以及用钢筋混凝土桥面板和钢梁构成的结合梁桥等。木梁桥和石梁桥只用于小桥；钢筋混凝土梁桥用于中、小桥；钢梁桥和预应力混凝土梁桥可用于大、中桥。 1.2 按主要承重结构的形式分 有实腹梁桥和桁架梁桥两大类。实腹梁桥的截面积主要由弯矩决定，而弯矩大致与跨度的平方成正比（均布荷载条件下），当跨度大时，梁的腹板上的平均法向应力颇小，不能使材料充分利用，所以跨度不宜做得太大；桁架梁桥的杆件承受轴向力，材料能充分利用，自重较轻，跨越能力大，多用于建造大跨度桥。但实腹梁桥构造简单，制造与架设均较方便。由于这两种梁式桥的受力性质不同，实腹梁桥以用于预应力混凝土桥为主，而桁架梁桥则多用于钢桥。 1.3 按上部结构的静力体系分 主要有简支梁桥，连续梁桥和悬臂梁桥。 ①简支梁桥。简支梁桥的支座，一端为固定支座，用以固定主梁位置，使桥端在平面内不得发生移动，但可竖向转动；另一端为活动支座，用以保证主梁在荷载、温度、混凝土收缩和徐变作用下能自由伸缩和转动，以免梁内产生额外附加内力（见桥梁支座）。简支梁桥的缺点是邻孔两跨之间有异向转角，影响行车平顺。为此，现代公路桥多采用桥面连续的简支梁桥来改善。此外，简支梁桥的桥墩上需设置两跨桥端的支座，体积增大，较连续梁桥和悬臂梁桥要多耗费一些材料，阻水面积也大一些。 ②连续梁桥。主梁若干孔为一联，在中间支点上连续通过，是超静定结构，最大正弯矩发生在跨中附近，而最大负弯矩（绝对值）发生在支点截面上。由于
非线性有限元分析(学习总结报告)
非线性有限元 博士研究生专业课课程报告
目录 第一章绪言 (1) 1.1 非固体力学非线性问题的分类[1] (1) 1.2 非线性问题的分析过程[1] (2) 1.3 非线性有限元分析的基本原理 (2) 1.4 钢筋混凝土非线性分析的特点、现状及趋势 (3) 第二章非线性方程组的数值解法 (4) 2.1逐步增量法[3,4,5] (4) 2.2迭代法[3,4,5] (6) 2.3收敛标准 (8) 2.3.1.位移收敛准则 (8) 2.3.2.不平衡力收敛准则 (8) 2.3.3.能量收敛准则 (9) 2.4结构负刚度的处理[4,5] (9) 第三章材料的本构关系 (13) 3.1 钢筋的本构关系 (13) 3.1.1 单向加载下的应力应变关系 (13) 3.1.2 反复加载下的应力应变关系 (14) 3.2 混凝土的本构关系 (14) 3.2.1 单向加载下的应力应变关系 (14) 3.2.2 重复加载下的应力应变关系 (14) 3.2.3 反复加载下的应力应变关系 (14) 3.3 恢复力模型的分类 (14) 3.4 恢复力的获得方法 (15) 第四章非线性有限元在结构倒塌反应中的应用 (17) 4.1 钢筋混凝土结构倒塌反应研究现状 (17) 4.2 钢筋混凝土的有限元模型 (17) 4.2.1分离式模型 (18) 4.2.2组合式模型 (19) 4.2.3整体式模型 (20) 4.3 倒塌反应中RC结构有限元分析方法的选择 (20) 4.3.1隐式有限单元法 (21) 4.3.2显式有限单元法 (22) 4.4 钢筋混凝土框架结构的倒塌反应分析 (22) 4.4.1基于隐式有限单元法的倒塌分析 (22) 4.4.2 基于显式有限单元法的倒塌分析 (23) 4.5显式有限法在倒塌反应分析中的问题 (24)
梁的内力图作法
平面刚架内力图作法专题 一、准备知识 1、杆件N图“走向法”介绍——“拉上压下” ①对于有约束端的杆件，从无约束端开始画，在集中力作用点处，N图发生突变，遵循“拉上压下”的规则，即拉力作用下N图走向为“↑”，压力作用下N图走向为“↓”。 例：已知F1=16kN，F2=10kN，F3=20kN， ②对于无约束端杆件，可假想任一端固定，从另一端开始画，方法同①。 2、杆件Q图“走向法”介绍——“从左至右，上上下下” ①集中力作用处，Q图发生突变，遵循“从左至右，上上下下”的原则，即P“↑”，则Q图走向为“↑”，P“↓”，则Q图走向为“↓”，变化量为集中力大小。没有力作用，Q图走向为“→”。 ②均布力q作用段，Q图走向为斜线，仍然遵循“从左至右，上上下下”的原则，但这里的第二个“上”和“下”分别指“斜上”和“斜下”，即q“↑”，则Q图走向为“↗”，q“↓”，则Q图走向为“↘”，起终点的变化量为ql。 ③集中力偶作用处，Q不变。 例：
3、悬臂梁的弯矩图作法 ①集中力P 作用下，悬臂梁固定端弯矩大小为PL ，画在受拉一侧，M 图为斜直线。 例： ②均布力q 作用下，悬臂梁固定端弯矩大小为2 2ql ，画在受拉一侧，M 图为抛物线，凹向与q 的方向一致。 例： ③仅集中力偶Me 作用下，悬臂梁M 图为一水平线，画在受拉一侧。 4、叠加法（教材P34） ①集中力作用下梁的叠加法②均布力作用下梁的叠加法 ③仅力偶作用下梁的叠加法④悬臂梁的叠加法 作业： 1、画剪力图
2、画悬臂梁弯矩图： 3
二、平面刚架的M图作法 1、两杆刚节点处，两杆的弯矩图在同一侧，且大小相等。据此，若已知一杆该节点端的M图位置和大小，可确定另一杆该节点端的M图位置和大小。 例： 2、两杆以上刚节点，对刚节点进行分析时，弯矩方向与各杆弯矩图位置相反，弯矩M的弯曲方向为绕该节点的圆弧线，节点总弯矩为0。若除一杆该节点端的M图位置和大小未知，则可根据其他杆件该节点端的M图位置和大小来确定。 例： 3、铰节点处弯矩为0，无外力作用时，M图可直接延伸至有外力作用处。 例： 4、在刚架的任一刚节点处可假想一截面把刚架截开，由于存在内力M、N、Q，可用以固定端约束代替，把原有支座反力作为外力作用在杆上，形成悬臂梁，再按悬臂梁内力图画法作各杆的M图，最后叠加成刚架的M图。 5、画M图时要灵活运用叠加法以减少计算。 例：见教材例题 三、平面刚架N图作法 把各杆件从刚架中一一取出，由于在N图中没有弯矩的影响，力可以任意的平移。把各杆件两侧平行于杆轴线方向的力全部移到该杆对应端，可得各杆件的受力图，根据“一、1”介绍易画各杆的N图。最后叠加各杆的N图得刚架的N图。 例：见教材例题 四、平面刚架的Q图作法 把各杆件从刚架中一一取出，由于在Q图中没有弯矩的影响，力可以任意的平移。把各杆件两侧垂直于杆轴线的力全部移到该杆对应端，可得各杆件的受力图，根据“一、2”介绍易画各杆的Q图。最后叠加各杆的Q图得刚架的Q图。 例：见教材例题
材料非线性有限元法
第四章材料非线性有限元法 以上三章分别研究了线性弹性有限元法，材料非线性本构方程和非线性方程组解法，本章就可以研究材料非线性有限元法了。 在材料非线性基本方程中，除第二章所述的本构方程外，与线性弹性一样，而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题。因此，只要在第一章中改用第二章的本构方程，就可建立材料非线性有限元法的基本内容。 §4-1 非线性弹性有限元法 第二章提到，非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同，所以与第二章一样，这里也按塑性力学形变理论，研究非线性弹性有限元法，以便把二者统一起来。 1．非线性弹性基本方程为了便于以后直接引用，这里列出全量形式的非线性弹性（或形变理论弹塑性）基本方程，并用矩阵表示。 几何方程： (1.14) 本构方程： =[D ] (2.13)
平衡方程： (在 内) (1.20) 边界条件： （在A 上）（1.22） （在A 上） (1.23) 虚功方程： (1.28) 位能变分方程： =0 ( 1.31) 其中 (1.32)
(4.1) 2．非线性方程组的建立由于虚功方程本身不涉及材料性质，所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程（1.48）式和总体平衡方程（1.109）式完全适用于非线性弹性（或形变理论弹塑性）问题。可见，只要把非线性弹性（或形变理论弹塑性）本构方程代入单元或总体的平衡方程，就可以建立非线性方程组。 （1）割线刚度方程仿照线性弹性有限元法，把（1.36）式代入（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式便得单元割线刚度方程，即 (4.2) 其中单元割线刚度矩阵 (4.3) 而割线本构矩阵[ ] ，如（2.14）式所示。 仿照（1.113）式的推导，同样可得总体割线刚度方程 即