第三章 一元函数的导数与微分

第三章 一元函数的导数与微分

3.1导数

3.1.1导数的定义

（1）设函数)(x f y =在0x 的某邻域有定义，若极限：

x

x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim

0000存在，则称)(x f 在0x x =处可导，并称这个极

限为)(x f 在0x x =处的导数（或微商），记作)(0x f '，)(0x y '或0

)

(x x dx x df =，0x x dx dy =. （2）设函数)(x f y =在0x 处存在如下单侧极限：

x x f x x f x y x x ?-?+=??++

→?→?)()(lim lim 0000

、 x

x f x x f x y x x ?-?+=??--→?→?)

()(lim lim 0000存在，

则分别称)(x f 在0x x =处右﹑左可导，上述极限值分别为)(x f 在0x x =的右﹑左

导数，分别记为)(0x f +'，)(0x f -'或)(0x y +

'，)(0-x y '. 3.1.2导数的几何意义

函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处切线 的斜率，切线方程为))(()(000x x x f x f y -'+=. 3.1.3函数的连续与可导

由导数)(0x f '的定义可知，如果导数)(0x f '存在，则：

当0→?x 时，必有0→?y ，因为)()(lim 000

x f x x f y x -?+=?→?，所以 )(lim )(00

0x x f x f x ?+=→?，即：函数)(x f y =在0x x =处连续.

注：)(x f y =在0x x =处可导，则)(x f y =在0x x =处一定连续；但)(x f y =在

0x x =处连续，)(x f y =在0x x =处不一定可导.

例如：分段函数??

?≤+>-=0

,

10,

1)(x x x x x f 在0=x 处连续但不可导.

3.2微分

3.2.1微分的定义

设函数)(x f y =在点0x 的一个邻域()0x U 上有定义，x x ?+0(0→?x )在此区间内,如果函数的增量()()00x f x x f y -?+=?可表示为()x x A y ?+?=?ο(其中A 是不依赖于x ?的常数，而()x ?ο（ο为希腊字母）是比x ?高阶的无穷小),那么称函数()x f 在点0x 是可微的.记自变量x 的增量dx x =?(0→?x )，相应的因变量

y 在点0x 处的增量()()

x x x x x df dy y ===?.

联合导数的定义可得:当函数)(x f y =在定义域内可导时，()dx x f dy '=. 3.2.2微分的几何意义

如图3.1，当x 从0x 变化到x x ?+0时，y ?是曲线上的纵坐标增量，dy 是过点0x 的曲线切线T 上的纵坐标增量.当0→?x ，即dx x =?时，

dy y -?是x ?的高阶无穷小.因此在点M 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.

3.1.4函数的求导 (1)基本初等函数的导数表

，，，)1,0(ln 1

)(log )( 0)(1≠>=

'='='-a a a

x x x x c a ααα ，，，x x x x a a a x x sin )(cos cos )(sin ln )(-='='='，，，22

2

11

)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x

x x x x x +=

'--

='-=

' .11

)cot (2x

x arc +-

=' (2)函数的和﹑差﹑积﹑商的求导

设)(x f 和)(x g 均在x 点可导，则它们的和﹑差﹑积﹑商也均在x 点可导，有：

（1）[])()()()(x g x f x g x f '±'='

±；

（2）[])()()()()()(x f x g x g x f x g x f '+'='

；

（3）()0)()()

()()()()()(2

≠'-'='??

????x g x g x f x g x g x f x g x f . (3)复合函数的求导

设函数)(x g u =在点x 处可导，函数)(u f y =在对应点)(x g u =处可导，则复合函

数())(x g f y =在点x 处可导，即：()[]())()(x g u f x g f ''='

或dx

du du dy dx dy ?=. 【例3.1】x

x +1sin 2

.

解：设u y sin =，x

x u +=12

，则：

()()()()x x x x x x x x x u x x u x x +++=+-+?='

???? ??

+'=+1cos 12121cos 1sin 1sin 2222

222. (4)反函数求导

设函数)(x f y =在区间1I 内可导，值域为2I ，则)(x f y =的反函数为)(1-y f x =在区间2I 上也可导且0)(1≠'-x f ，则有：

)(1

1)(1-y f dy

dx dx dy x f '=

==

'，再化简为关于)(1

y f

-函数，最后用关于x 的函数代替)(1

y f

-即可得到函数)(x f y =在点x 处的

导数.

【例3.2】()'arctanx 求. 解：设x y arctan =，则：

()()22222211tan 11cos sin cos 1cos 11tan 11arctan x y y y y y y dy dx x y +=+=+=='=='='.

(5)隐函数求导

设有二元方程()0=y x F ，，若在区间I 上存在函数()x f y =满足()()0=x f x F ，，

则称这个函数()x f y =为方程()0=y x F ，在区间I 上确定的隐函数.若它可导，则由()0=y x F ，及复合函数求导数则可求得y '（()x f '）所满足的方程，再解出

y '即可.

【例3.3】设y e y x =+确定()x f y =，求y '，y ''.

解：将方程两端对x 求导得（或两边求微）：()y y e y x '='++1，即y

y -+

-='11

1, 再对x 求导得：()31111y y

y y y y -=''???? ?

?-+-=''. (6)分段函数的求导

若分段函数()x f 在0x x =处可导，则()()00x f x f '='-+.若()0x f '+和()0x f '-不可以通过直接对函数求导得出，就利用导数的定义求出0x x =处的左右导数，即：

()()()0000lim x x x f x f x f x x --='+→+，()()()000--0lim x x x f x f x f x x --='

→.

【例3.4】设()????

???<++-≤>-+=1

214

1 arctan 1 21

4x x x x x x x f ，，

，

ππ，求()1f '和()1-'f . 解：因为()2

111arctan 214lim 11=

--???

??-+='+→+x x f x π；()()2

1

arctan 11

=

'

='=-x x f , 所以()2

11=

'f , 同理：()2

11=-'f . (7)高阶导数

一般地说，函数)(x f y =的导数()x f y '='仍然是x 的函数，它再对x 求导，即导

数的导数，称为y 或()x f 的二阶导数，记为y ''或()x f ''，或22

dx

y

d 或()2

2dx x f d .同理

把)(x f y =的1-n 阶导函数()()x f n 1-的导数称为y 或()x f 的n 阶导数，记为()n y 或

()

()x f

n ，或n n dx

y d 或()n n dx x f d ，即：()

()()()()()x x f x x f x f n n x n ?-?+=--→?010100lim .

注：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

对函数)(x f 进行)1(>n n 次求导，记为)()(x f n ，称为)(x f 的n 次高阶导数. 求函数)(x f 的n 次导数的方法有: ①归纳法

先依次求出函数)(x f 的前几阶导数，并由此观察出规律性，写出)()(x f n 的公式，再用数学归纳法证明公式的正确性.

【例3.5】设函数)(x f 有任意阶导数且)()(2x f x f ='，求)()(x f n 的值. 解：将)()(2x f x f ='两边求导得：())(!2)(2)(3)2(x f x f x f x f ='=， 再求导得())(!3)(6)(42)3(x f x f x f x f ='=， 由此可归纳证明得)(!)(1)(x f n x f n n +=.

②分解法

通过恒等变形将要求的n 阶导数的函数分解成简单初等函数之和，再分别求出几个简单函数的导数. 【例3.6】设函数x

x x f -+=

11)(，求)()(x f n 的值.

()2

12

1)1()

1(211211)(x x x

x x

x x f ---=---=

-+=

-

解：因为，

.

)1(2!)!32()1(2!)!12( )

1(121)121(211- )1(121)121()21(1-2 )1()1(2)(2

121

12

1

2

1

)

(21

)

(21)

(n n

n n n n

n n

n n n x n x n x n x n x x x f ----------?-+-?-=-??

? ??+--??--???

??+----?-??=??

????

--?

?

????-?= ）（）（所以

③用莱布尼兹法则求乘积的n 阶导数

[]

∑=-=n

k k n k k n n x v x u C x v x u 0

)()

()

()()()()(，其中 )!

(!!

k n k n C k n

-=.

④用泰勒公式求导（详见第四章例题4.7）. 3.5利用导数求近似值

利用微分性质，可以近似求某些不易计算的量

因为当x ?为较小值时，有x x f x f x x f y ?'≈-?+=?)()()(000， 即x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000，（x ?为较小值）. 【例3.7】求?31sin 的近似值. 解：对函数x y sin =，取60π=

x ，180

π=?x ，利用近似值公式有：

.

5151.01806cos 6sin

180

)(sin 6

sin

31sin 6

≈?

+=?

'

+≈=

?π

πππ

π

π

x x

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解

第三章导数与微分习题解答

P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、

0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：

03第三章-导数与微分

第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.

最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309汇总

3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309

第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理?Skip Record If...? 1．填空题 （１）?Skip Record If...?（２） 3 , ?Skip Record If...? 2．选择题 （１） B （２） C （３） B 3． 证明：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为一常数． 设?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?． 4． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,在?Skip Record If...?可导,且?Skip Record If...?，根据罗尔定理知，存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．同理存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．又?Skip Record If...?在 ?Skip Record If...?上 符合罗尔定理的条件，故有?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 5． 证明：设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，根据零点存在定理至少存在一个?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．另一方面，假设有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，根据罗尔定理，存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，这与?Skip Record If...?矛盾．故方程?Skip Record If...?只有一个实根． 6． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，从而?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?内连续，在开区间?Skip Record If...?内可导．又因为?Skip Record If...?，根据零点存在定理，必存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．同理，存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．因此?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件，故存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?成立． 7. 证明：只需令?Skip Record If...?，利用柯西中值定理即可证明.

经济数学(导数与微分习题与答案)

第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)

第三章 导数与微分 习题及答案

第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =

【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解

第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即： 22 120(21) ξ ξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得 ()0f ξ'=. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令3 3arccos arccos(34)y x x x =-- ，2y '=，化简得 0,C y y '=∴=（C 为常数） ，又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。 4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π??????上连续，在0,2π?? ??? 内可导 ()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π?? ∈ ??? ，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西 中值定理条件。 (0)121(0)22f f F F πππ??- ???=??-- ???，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ????-- ? ? '????==='-????--- ? ????? ，令()1()12 f x F x π'= '-，即tan 1422 x ππ ??-=- ???，此时 2arctan 142x ππ?? ??=-- ???????显然0,2x π??∈ ???，即 2arctan 10,4 22πππξ?????? ?=--∈ ? ?????????，

【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值

a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，

高等数学练习题第二章导数与微分

高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用 一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。 二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的 值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点 所在的范围是 ；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有 个零点，这些零点所在 的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点 ，凹区间 ，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调 区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ； （5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（ ） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

高等数学第三章导数与微分

第三章导数与微分 一、导数概念与定义 A 、导数的概念 a 、设函数y=f （x ）在点0x 处的某临域内有定义，当自变量x 在0x 处取得变量△x （△x ≠0）时，函数取得 相应增量。即△y=f （0x +△x ）-f （0x ） 若△y 与△x 之比当△x →0时极限存在，即000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在，，则称函数在点0x 处可导，0x 为()y f x =的可导点，并称此极限为函数在点0x 处的导数。 法线的斜率为1k ，切线的斜率为k b 、若0 000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=→不存在，则称()f x 在0x 处不可导或不存在导数，0x 为()f x 的不可导点。 ※特别是当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()f x 在点0x 处的导数无穷大。 导数()f x '也可记为0|x x dy dx =或0()|f x x x x d d = c 、函数的左导数与右导数 0000()()()lim x f x f x f x x x --→-'=→ 0000 ()()()lim x f x f x f x x x ++→-'=→ ※分段函数的分段点处考虑左导右导，其余正常求导时直接求()f x ' B 、导数的几何意义 曲线在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线在点00(,())x f x 处的发现方程为0001()()y y x x f x --= -' C 、函数的可导性与连续性的关系 函数()y f x =在0x 处可导，则在0x 处连续；但函数()y f x =在0x 处连续，在点0x 不一定可导。 二、求导法则 A 、 代数和的求导法则，积的导数、商的导数 ① ()u v u v '''+=+ ② ()u v u v v u '''?=+ ③ ()cu cu ''= ④ ()au bv au bv '''±=± ⑤ ()u v w s t u vwst uv wst uvw st uvws t uvwst ''''''????=++++ 即n 个因子乘积的导数一定为n 项，且每项均为n 个因子的乘积，第i 项的第i 个因子求导，其余不变 ⑥ 2()u u v v u v v ''-'= B 、 反函数的导数

第三章 导数与微分习题

一、选择题 1. 设()0f x x =在点处可导且(0)0f =，则极限0 () lim x f x x →= '.(0).0.1.A f B C D 不存在 2. 函数()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点可导的 ....A B C D 充分条件必要条件充分必要条件无关条件 3. 设()f x 在0x 处可导，且有h 000 1 lim (2)()4h f x h f x →=--，则'()f x = .4.2.2.A B C D --4 4. 设函数()f x 在1x =处可导，且极限h 0(12)(1)1 lim 2 f h f h →+-=，则'(1)f = 1111 (2244) A B C D -- 5. 函数2,0 (),0 x x f x x x ?，则()f x 在0x =处 ....A B C D 不连续连续但不可导可导无定义 8. 曲线x y x e =+在0x =处的切线方程是 .210.220 .10.20 A y x B y x C y x D y x --=--=--=--= 9. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程()y f x =应满足关系 '''''' .2.2.2(1)3.2(1)3 A y x B y x C y x f D y x f ====== 且且 10. 直线l 和x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点是 .(1,1).(1,1).(0,1).A B C D -(0,-1) 11. 与曲线3235y x x =+-相切且与直线6210x y +-=平行的直线方程是 .360.360 .360.360 A x y B x y C x y D x y ++=++=-+=-+= 12. 设()f x 在0x 点附近可导且在0x 点二阶可导，则极限''000(2)() lim x f x x f x x ?→-?-=? '''''''' 00001.().2().2().()2 A f x B f x C f x D f x - 13. 设()f u 是可微函数，则(cos 2)df x = ''' ' .2(cos 2).2(cos 2).2sin 2(cos 2).2sin 2(cos 2)A f x dx B f x dx C xf x dx D xf x dx -- 14. 设()()u x v x 与均为可微函数，则()d uv =

3第三章 微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．

第三章导数与微分习题

第三章 导数与微分 §3.1导数的概念 习题3－1 1. 一个螺丝钉从400米的高空下坠，它下落t 时刻对地面的高度 400162+-=t S 求：（1） 在前4秒内螺丝钉下落的平均速度。 （2） 在第四秒时的瞬时速度。 2. 假设一场流行性感冒突然爆发，患流感的人数 322100t t n -= 其中t 是流感爆发后的天数，求 （1） 20天后多少人会得流感？ （2） 在20天后由于流感而生病的人的发病率为多少？ 3. 自变量取哪些值时，抛物线2x y =与3x y =的切线平行？ 4. 求在抛物线2x y =上点3=x 处的切线方程。 §3.2 导数 习题3－2 1. 根据导数的定义求下列函数在指定点的导数。 （1） x y =，在4=x 处 （2） x x y 62+=,在2=x 处 （3） x y cos =，在4π =x 处 2. 根据导数的定义求下列函数的导数。 （1） 21 x y =

（2） 2ln =y 3. 已知 )(a f '存在，求下列极限。 （1）h a f h a f h )()(lim 0 -+→ （2）h a f h a f h )()(lim 0--→ （3）h h a f h a f h )()(lim 0--+→ 4. 在曲线3x y =上哪一点的切线平行于直线0112=--x y ，哪一点的法线平行于直线0112=-+x y ？ 5. 求22x y -=在点)1,1(处的切线和法线方程。 6. 函数???-+=,13,1)(2x x x f 1 10≥<≤x x ；在点1=x 处是否可导？为什么？ 7. 证明函数? ??-=,12,)(x x x f +∞<≤<≤x x 110；在点1=x 处连续，但不可导。 8. 在抛物线2x y =哪一点的切线有下列性质。 （1） 平行于OX 轴。 （2） 与OX 轴构成 45度角。 9. 求下列函数的导数。 （1） 4x y = （2） 32x y = （3） x y 1= （4） 532 2x x x y ?= （5） x x y = 10. 设0)0(=f ，)0('f 存在，求x x f x )(lim 0→。

03第三章 导数与微分

页脚内容1 第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00x f x x f y -?+=?，若极限

页脚内容2 存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为 00 0d d d d , , )(x x x f x x x y x x y x y ===' '或 ，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导. 若固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为 00 0) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→. ⑵左导数与右导数 ①函数)(x f 在点0x 处的左导数 )(0x f -'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??- - →?→?) ()(lim lim 0000 . ②函数)(x f 在点0x 处的右导数 )(0x f +'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??+ + →?→?) ()(lim lim 000 0. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．

第三章 导数和微分答案

高等数学II 练习题 第三章 导数与微分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题3.1 导数的概念 一．选择题 1．设()f x 在x a =的某邻域内有定义，()f x 在x a =可导的充分必要条件是 （ C ） （A ）0 1lim (()())h h f a f a h →+ -存在 （B ）0 (2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 （C ）0 ()() lim h f a f a h h →--存在 （D ）0 ()() lim h f a h f a h h →+--存在 2．设()f x 是可导函数，且0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线 斜率为 （ B ） （A ）1- （B ）2- （C ）6 （D ）1 3. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则0 ()() lim x f x a x f x b x x ?→+?--?=? （ B ） （A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ） ()2 a b f x +' 4. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 （ B ） （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要 5．设曲线22y x x =+-在M 点处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 （ B ） （A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1) 6.设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处 （ B ） （A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导，但不连续 （D ）可导，且导数也连续 二．填空题 1．设()f x 在0x 处可导，000 (3)() lim h f x h f x h →+-= 。 2．设()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0 ()lim x f x x →= 。 3．设0()2f x '=-，则0 00lim (2)() x x f x x f x →=-- 。 4．设()(1)(2)(2009)f x x x x x =--- ，则(0)f '= 。 5．已知物体的运动规律为2 s t t =+（米），则物体在2t =秒时的瞬时速度为 。 03()f x ' (0)f '1 42009!-5/m s