一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的

根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

k k k

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满

足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n

f m f n >???>??

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间

()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为

2m

，由213m <<得2

2

3m <<即为所求；

方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314

m -<<-

；②由0?=即()2

164260m m -+=得出1m =-或3

2

m =

，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故32

m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110

m m +-<，从而得1

12

m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由

()()0102200m f ?>??-+?->??>??

? ()2

18010m m m m ?+->?>-?

?>? ?

330m m m ?<->+??>???

03m <<-3m >+

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1

22

m -<<即为所求的范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。 解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 1

3

m <-

即为所求范围。 （注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0?=计算检验，均不复合题意，计

算量稍大）

例1、当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程2

2

70x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；

（2）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （3）方程022=++ax x 的两根都小于0； 变题：方程022

=++ax x 的两根都小于-1．

（4）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上； （5）方程042

=+-ax x 在区间（-1，1）上有且只有一解；

例2、已知方程042

=+-mx x 在区间[-1，1]上有解，求实数m 的取值范围．

例3、已知函数f (x )1)3(2+-+=x m mx 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．

检测反馈：

1．若二次函数2

()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2

上是增函数，则(2)f 的取值范围是___________．

2．若α、β是关于x 的方程06k kx 2x 2=++-的两个实根, 则2

2)1()1(-β+-α的最小值为 ．

3．若关于x 的方程2

(2)210x m x m +-+-=只有一根在(0,1)内，则m ∈_ _． 4．对于关于x 的方程x 2+(2m -1)x+4 -2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围：

（1）有两个负根 （2） 两个根都小于-1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大

5．已知函数1)(2

-+=x mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨

设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若[]n m a b ,2∈-

，则()()()??????

???

??-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()?

????????

??-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a

b

,2?-

，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数()()2

220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =?，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。 （1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min

32f x f f x f ?=?

?

=?? ? 32522a b b ++=??+=? ? 10a b =??=?；

（2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min

23f x f f x f ?=??=?? ? 25322b a b +=??++=?? 1

3a b =-??=?

例2、求函数()[]2

21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =

（1）当1a <时，()min 122y f a ==-（2）当13a ≤≤时，()2

min 1y f a a ==-；（3）当3a >时，()min 3106y f a ==-

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；

（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

例3、求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。 解：对称轴02x =

（1）当2t <即2t >时，()2min 43y f t t t ==-+；（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2min 12y f t t t =+=- 例4、讨论函数()21f x x x a =+-+的最小值。

解：()22

21,11,x a

x x a f x x x a x a

x x a ≥?+-+=+-+=?<-++?，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线

12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1

2

a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当12a <-

时，()min 1324

f x f a ??=-=- ???； （2）当1122a -≤<时，()()2

min 1f x f a a ==+； （3）当12a ≥时，()min 1324

f x f a ??==+ ???