高中数学圆锥曲线与方程测试题

圆锥曲线与方程

一、选择题

1．双曲线 3x 2－ y 2＝ 9 的实轴长是

(

)

A ．2 3

B ．2 2

C ．4 3

D ．4 2

x 2 y 2

2．以 4 －12＝－ 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为

( )

x 2 y 2

x 2 y 2 x 2 y 2

x 2 y 2 A. 16＋12＝ 1 B. 12＋ 16＝ 1

C.16＋ 4 ＝ 1

D. 4 ＋ 16＝1

3．对抛物线 y ＝4x 2，下列描述正确的是

(

)

A ．开口向上，焦点为

(0,1)

1

B ．开口向上，焦点为 0，16

C ．开口向右，焦点为

D ．开口向右，焦点为

4．若 k ∈ R ，则 k>3 是方程

A ．充分不必要条件

(1,0)

1 0，16

x 2

－

y 2 ＝ 1 表示双曲线的

()

k － 3 k ＋ 3

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

5．若双曲线 x 2 16y 2

2

＝ 2px (p>0)

的准线上，则 p 的值为 (

)

－ p 2 ＝ 1 的左焦点在抛物线

y 3

A ． 2 2 2

B ．3

C ． 4

D ．4 2

x 2－ y

＝ 1(a>0) 的渐近线方程为

3x ±2y ＝ 0，则 a 的值为

(

)

6．设双曲线 a

9

A ． 4

B ．3

C ． 2

D ． 1

7．已知 F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点，满足

→ →

MF 1 ·MF 2＝ 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是

( )

1 C.

2 2 ， 1

A ． (0,1)

B. 0，2

0， 2

D. 2

8．已知点 P 在抛物线 y 2＝ 4x 上，那么点 P 到点 Q(2，－ 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离

之和取得最小值时，点

P 的坐标为

(

)

1

，－ 1

B. 1

，1

C.

1

，－ 1

D. 1

，1 A. 4

4

2

2

2

两点，且 l 经过抛物线的焦点

F ，A 点的坐标为 (8,8)，

9．已知直线 l 与抛物线 y ＝ 8x 交于 A 、B 则线段 AB 的中点到准线的距离是

(

)

25 25

25 D ．25

A. 4

x

2

y

2

B. 2

C. 8

10．设双曲线

的一条渐近线与抛物线

2

只有一个公共点，则双曲线的离心

2 －

2＝1

y ＝ x ＋ 1

a

b

率为

(

)

5

5

A. 4

x 2 － y 2

B ． 5

C. 2

D. 5

＝ 1 的渐近线上的点

A 与双曲线的右焦点 F 的距离最小，抛物线

y 2

＝2px

11．若双曲线 9 4

( p>0) 通过点 A ，则 p 的值为

( )

9

2 1

3 13 A. 2

x 2 y 2

B ． 2

C.

13

D. 13

F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在

12．已知双曲线 a 2－ b 2＝ 1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为

一点 P ，使得 |PF 1|＝ 3|PF 2|，则双曲线的离心率 e 的取值范围为

()

A ．[2，＋∞ )

B ．[ 2，＋∞ )

C ． (1,2]

D ．(1， 2]

二、填空题

13．已知长方形 ABCD ， AB ＝ 4， BC ＝ 3，则以 A 、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点的椭圆的离心

率为 ______．

x 2 2

14．椭圆 4 ＋ y ＝ 1 的两个焦点 F 1， F 2，过点 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其中一个

交点为 P ，则 |PF 2|＝ ______.

15．已知抛物线 y 2＝ 4x ，过点 P(4,0) 的直线与抛物线相交于

A(x 1，y 1) ，B(x 2 ，y 2)两点， 则 y 12＋

y 22的最小值是 ________．

2

π

16．F 1， F 2 分别是椭圆 x

＋ y 2

＝1 的左，右两个焦点，过

F 2 作倾斜角为

的弦 AB ，则△ F 1AB

2

4

的面积为 ________．

三、解答题

x 2 － y 2

17．已知双曲线 ＝ 1 的左、右焦点分别为 F 1、F 2，若双曲线上一点 P 使得∠ F 1PF 2 ＝90°， 9 16

求△ F 1PF 2 的面积．

18.如图，直线 l ： y ＝x ＋ b 与抛物线 2

相切于点 A.

C ： x ＝ 4y (1) 求实数 b 的值；

(2) 求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．

19．已知双曲线的方程为 2 y 2 B(1,1)平

x － ＝ 1，试问：是否存在被点

2

分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

20．设圆 C 与两圆 (x ＋ 5)2＋ y 2＝ 4， (x － 5)2＋ y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．

(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；

(2) 已知点 M(355，455

)，F( 5，0)，且 P 为 L 上的动点，求 ||MP |－ |FP||的最大值及此时

点 P 的坐标．

21．过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于

A 、

B 两点．求证：△ AOB 不是直角三

角形．

2

2

6

，右焦点为 (2

x 2 y 2

2， 0)，斜率为 1 的直线 l

22．已知椭圆 G ：a ＋ b ＝ 1 (a>b>0)的离心率为

3

与椭圆 G 交于 A 、 B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－ 3,2)．

(1) 求椭圆 G 的方程； (2)求△ PAB 的面积．

圆锥曲线与方程测试题答案

1． A 2.D

3.B

4.A

5.C

6.C 7． C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.C

1 14.7

15.32 16.4

17.16

13.2 2 3

18． (1) － 1 (2)(x － 2)2＋ (y － 1)2＝ 4

19．解

如图所示，设被 B(1,1)平分的弦所在的直线方程为

y ＝ k(x － 1)＋ 1，

代入双曲线方程

x

2－ y 2

＝ 1，

2

得 (k 2－ 2)x 2－ 2k(k －1)x ＋k 2－2k ＋ 3＝ 0， ∴

＝ [ －2k(k － 1)] 2－ 4(k 2－ 2)(k 2－ 2k ＋ 3)>0.

解得 k<3

2，且 k ≠ ± 2，

2k k － 1

∴ x 1＋x 2＝ k 2－2 .

k k －1

∵ B(1,1)是弦的中点，∴2 －2 ＝ 1.k

3

∴ k ＝ 2>2.故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．

20． 解 (1)设圆 C 的圆心坐标为 (x ，y) ，半径为 r.

圆 (x ＋ 5)2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F 1(－ 5，0) ，半径为 2，

圆 (x － 5)2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F( 5， 0)，半径为 2.

|CF 1 |＝r ＋2， 由题意得

|CF|＝ r － 2

|CF 1|＝ r － 2， 或

|CF |＝ r ＋ 2， ∴ ||CF 1|－ |CF ||＝ 4.

∵ |F 1F|＝ 2 5>4.

∴圆 C 的圆心轨迹是以 F 1(－

5， 0)， F( 5， 0)为焦点的双曲

x 2 2

线，其方程为 4 － y ＝ 1.

(2) 由图知， ||MP|－ |FP||≤ |MF |，∴当 M ，P ，F 三点共线，且点 P 在 MF 延长线上时， |MP |－ |FP |取得最大值 |MF |，

且 |MF |＝

3 5 5－ 52＋ 4

5

5

－0 2＝2. 直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得

y ＝－ 2x ＋ 2 5，

2

x

4 － y 2 ＝1，

整理得 15x 2

－32 5x ＋ 84＝ 0.

解得 x 1＝ 14 5 6 5 2 5

15 (舍去 )， x 2＝ 5 .此时 y ＝－ 5 .

∴当 ||MP |－ |FP||取得最大值 2 时，点 P 的坐标为 (

6

5，－ 2 5

5

5 )．

21． 证明 ∵焦点 F 为 (1,0)，过点 F 且与抛物线交于点 A 、B 的直线可设为

ky ＝ x － 1，代入

抛物线 y 2＝ 4x ，

得 y 2－ 4ky － 4＝ 0，则有 y A y B ＝－ 4，

y 2A y 2B

则 x A x B ＝

· ＝1.

4 4

又 |OA| ·|OB|cos ∠ AOB ＝·＝ x A x B ＋ y A y B ＝ 1－ 4＝－ 3<0 ， 得∠ AOB 为钝角，故△ AOB 不是直角三角形．

c 6

22． 解

(1)由已知得

c ＝ 2 2， ＝ .

a

3

解得 a ＝ 2 3，又 b 2＝ a 2－ c 2＝ 4. 2 2

所以椭圆 G 的方程为 12x ＋y

4 ＝1.

(2) 设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋ m.

y ＝ x ＋ m

由

x 2

＋ y 2

＝ 1 ，

12 4

得 4x 2＋ 6mx ＋ 3m 2－12＝ 0.①

设 A 、 B 的坐标分别为 (x 1， y 1)， (x 2 ， y 2) (x 1

x 1＋ x 2 3m

m 则 x 0＝ 2 ＝－ 4 ， y 0＝ x 0＋ m ＝ 4；

因为 AB 是等腰△ PAB 的底边，所以 PE ⊥AB .

2－ m 4

所以 PE 的斜率 k ＝ ＝－ 1.

－ 3＋

3m

4

解得 m ＝ 2.

此时方程①为

4x 2＋ 12x ＝0.

解得 x 1＝－ 3，x 2 ＝0.所以 y 1＝－ 1， y 2＝ 2.

所以 |AB|＝ 3

2.此时，点 P(－ 3,2)到直线 AB ： x － y ＋ 2＝ 0 的距离 d ＝ |－3－ 2＋ 2|＝ 3

2，

2 2 1 9

所以△ PAB 的面积 S ＝2|AB | d ·＝ 2.