(理数)2017年高考中档大题规范练(四)数 列

（理数）2017年高考中档大题规范练(四)数 列

1．已知函数f (x )＝7x ＋5x ＋1

，数列{a n }满足：2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0且a n ≠0.数列{b n }中，b 1＝f (0)且b n ＝f (a n －1)．

(1)求证：数列????

??1a n 是等差数列； (2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .

2．已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝19a n －1a n

(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .

3．(2015·天津)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．

(1)求q 的值和{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1

，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．

4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.

(1)求a n ，b n ；

(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．

5．(2015·广东)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－

n ＋22

n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值；

(2)求数列{a n }前n 项和T n ；

(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n

＋????1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .

答案精析

高考中档大题规范练

(四)数 列

1．(1)证明 由2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0得1a n ＋1－1a n ＝12

， 所以数列????

??1a n 是等差数列． (2)解 因为b 1＝f (0)＝5，

所以7(a 1－1)＋5a 1－1＋1

＝5， 7a 1－2＝5a 1，所以a 1＝1，

1a n ＝1＋(n －1)×12，所以a n ＝2n ＋1

. b n ＝7a n －2a n

＝7－(n ＋1)＝6－n . 当n ≤6时，T n ＝n 2(5＋6－n )＝n (11－n )2

； 当n ≥7时，T n ＝15＋n －62

(1＋n －6) ＝n 2－11n ＋602

. 所以，T n ＝???

n (11－n )2，n ≤6，n 2－11n ＋602，n ≥7.

2．解 (1)根据题意a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，

所以a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4

解得a 4＝3，a 7＝5.

设数列{a n }的公差为d ，

由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23

. 故等差数列{a n }的通项公式为

a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋(n －4)·23＝2n ＋13

. (2)当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19·2n －13·2n ＋13

＝1(2n －1)(2n ＋1)

＝12(12n －1－12n ＋1

)， 又b 1＝13＝12(1－13

)， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1

. 即数列{b n }的前n 项和S n ＝

n 2n ＋1. 3．解 (1)由已知，

有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，

即a 4－a 2＝a 5－a 3，

所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，

故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.

由递推公式得

当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1

＝2k －1＝2n －12

； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2

. 所以，{a n }的通项公式为a n ＝??? 2n －

12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.

(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2

n 1. 设{b n }的前n 项和为S n ，

则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12

n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12

n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：

12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12

－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22

n －1，n ∈N *.

所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22

n －1，n ∈N *. 4．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，

两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，

∴a n －1＝2n －1.

∴a n ＝2n ＋1，

∴3n b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，

∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13

n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13

n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13

n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13

n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53

n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43

n －1－4n －13n ＝3＋4·13(1－13n －1)1－13

－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3

n －1. T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3

n －1 ＝－(4n ＋3)3n

<0. ∴T n

又T 3＝599<7，T 4＝649

>7， ∴T n <7时，n 的最大值为3.

5．(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14

. (2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)·a n －1＝4－n ＋12

n －2， 与原式相减，得na n ＝

n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，

T n ＝1－12n 1－12

＝2－12n －1. (3)证明 n ≥2时，

b n ＝T n －1n

＋????1＋12＋13＋…＋1n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n

＋????1＋12＋13＋…＋1n a n ， 故S n ＝∑i ＝1n

b i

＝a 1＋a 12＋????1＋12a 2＋a 1＋a 23＋????1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n

＋????1＋12＋…＋1n a n ＝? ?????∑i ＝1n 1i a 1＋? ?????∑i ＝1n 1i a 2＋? ?????∑i ＝1n 1i a 3＋…＋? ??

???∑i ＝1n 1i a n ＝? ??

???∑i ＝1n 1i T n ＝????1＋12＋…＋1n ????2－12n －1<2????1＋12＋…＋1n ， 只需证明2????1＋12

＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *. 对于任意自然数k ∈N ，

令x ＝－1k ＋1∈(－1,0)时，ln ????－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1

k ＝n －1时，1n

<1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋...＋[ln n －ln(n －1)]， 即1＋12＋13＋ (1)

<1＋ln n ， ∴n ≥2时，2????1＋12＋13

＋…＋1n <2＋2ln n ， 综上n ∈N *时，S n <2＋2ln n .