二次根式的概念和性质

基础知识

1、二次根式的定义：

我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的

。

算术平方根；另一个是a

我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.

由于在实数围，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数围有意义．

2、二次根式的性质

3、二次根式的积的算数平方根的性质

4、最后的计算结果，具有以下特点：

（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；

（2）被开方数不含分母.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.

②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.

③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平

方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件

【例1】

【例2】

【例3】

【例4】

【例5】

【例6】

题型二、二次根式的性质【例7】计算

【例8】

【例9】【练一练】

4、

5、

6、

7、

8、

题型三积的算数平方根的性质【例10】

【例11】

【例12】

【例13】

【例14】

题型四二次根式的化简【例题精析】

【例15】

【例16】【例17】【例18】

【练一练】

4、

5、6、6、

7、

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 ：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式 子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释：

二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆 用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利 于在实数范围内进行因式分解. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运 算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的 式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中 所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次 根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？

最新二次根式的有关概念及性质资料

二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；

3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。

二次根式的概念及性质练习题

二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1x 的取值范围是x<0 （ ） （2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4（ ） （5）2= —12 （ ）;（6—1 2 （ ） （7）2= —1 2 （ ）;（8）（2 =2×1 2=1 （ ） 二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代 数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ．

4． （7） 2 =________；（8 +（ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===

2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4

第一讲二次根式的概念和性质

第一讲、二次根式的概念和性质 第一部分、 教学目标： 1、理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。 第二部分、 教学重点和难点： 1、掌握二次根式的双重非负性性质，并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。 第三部分、 教学过程： 例题讲解： 例1、在式子)0(2 >x x ，2，y x x x x y y ++<--=+，，，1,3)0(2)2(123中，二次根式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解． 【解答】解：根据二次根式的定义，y ＝﹣2时，y +1＝﹣2+1＝﹣1， 所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个． 故选：C ． 练1.1、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x 为何值都是非负数， 故选：C ． 练1.2、下列代数式中，属于二次根式的为（ ） A ．4- B ．3x - C ．1-a （a ≥1） D ．2--

【分析】根据二次根式的定义得出形如：（a ≥0）是二次根式，进而判断即可． 【解答】解：A 、 ，﹣4＜0，故不是二次根式，故此选项错误； B 、 ，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； C 、 （a ≥1），则a ﹣1≥0，故是二次根式，故此选项正确； D 、﹣，﹣2＜0，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：C ． 例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≥3 D ．x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x ﹣3≥0． 【解答】解：依题意得：x ﹣3≥0． 解得x ≥3． 故选：C ． 练2.1、若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x 且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x 且x ≠1 D ．x 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0， 解得x ≥﹣且x ≠1． 故选：A ． 练2.2、要使1213-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1＜x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得， ， 解不等式①得，x ≤3， 解不等式②的，x ＞， 所以，＜x ≤3．

二次根式的概念及性质练习卷

二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1 x 的取值范围是x<0 （ ） （2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4 （ ） （5） 2= —12 （ ）;（6 —12 （ ） （7） ）2= —12 （ ）;（8）（ 2=2×12=1 （ ） 二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 ； （8 （ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======

9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ） A B C D 2 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4

二次根式定义及性质

二次根式定义及性质教学内容:

并利用它们进行计算和化简? 2. 重点：—「汕「?厂—，厂—5及其运用. 3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0)； (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0)； 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■； 知识点三：代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0) 这些式子，用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经 典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)?

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ??厂”；第二，被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j 1 当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义. 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数 ???当X 取任意实数时，二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1 ?当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义? 解：二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有:

人教16.1二次根式的概念性质练习题

新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（ ） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．． 的是（ ） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3

8.若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ） A ．0 B ．1 C ． -1 D ．2 9. 如果x --35 是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≤3 C ．x ＞3 D ．x ＜3 10. 使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ） A ．0>a B ．0

二次根式的概念及性质

二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相 除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．

(完整版)二次根式定义及性质

二次根式定义及性质教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab ，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 成功在励志成才要得法 1

经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x 是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)；(2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 成功在励志成才要得法 2

二次根式的概念及性质练习卷[1]

二次根式的概念及性质练习卷 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1 x 的取值范围是x<0 （ ） （2 x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4 （ ） （5） 2= —12 （ ）;（6 —12 （ ） （7） ）2= —12 （ ）;（8）（ 2=2×12=1 （ ） 二、填空题： 1 b ≥3） s ≥0） 这种形如a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时，有意义． 3 是二次根式，则x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 =________； （8 +（ ）2=________． （10 ． 5．当x=-2 时，二次根式_______． ( ( ()( ()( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. ======

6．当a 取______ 7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ） A B C D 2 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤1 2且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A B C ．（ 2 D ．13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 ） -（12） ( )( ) ( ) 123( 4

最新《二次根式的概念及性质》教案资料

第1课时二次根式的概念 教学目标 1理解二次根式的概念. 2?二次根式有意义的判定. 重点难点 重点 二次根式的概念. 难点 利用?.a(a>0)的意义解答具体题目. 教学过程 一、创设情境，导入新课请同学们完成以下两个问题： 1正方形的面积为S,则正方形的边长为_____________ . 2. 一个直角三角形的一条直角边为__________ 1,斜边为2，则另一直角边为. 出示问题，弓I导学生观察和总结式子的特点. 学生计算结果，然后观察总结式子的特点. 二、合作交流，探究新知探究1二次根式的概念 形如a(a> 0)的式子叫做二次根式. 出示问题：.3, ,s(s> 0), .a2+ 1等有什么共同特征，引导学生归纳概念，并让学生判 断逅，｛刁,茶，^ 1 —a是不是二次根式. 学生交流、讨论，最后师生共同总结. 探究2 1.—1有算术平方根吗？ 2. 0的算术平方根是多少？ 3. 当a<0时，a有意义吗？ 学生通过思考交流，最后归纳总结：只有非负数才有算术平方根. 三、运用新知，深化理解 例1下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1) 11；(2) . —5; (3) . (—7) 2； (4)释；(5)^J5A1；(6h/3—x(x< 3)； (7) . —x(x> 0); (8) (a —1) 2；

(9) —x2—5; (10) (a—b) 2(ab>0). 【分析】要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2, 二是看被开方数是不是非负数. 解：因为 "，(—7) 2, ￡—“ 30, 3—x(x w 3), (a—1) 2, (a —b) 2(ab> 0) 中的根指数都是2,且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2, —5,- x (x>0), ■ —x2—5的被开方数小于0,所以不是二次根式. 【方法总结】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带 二次根号“厂”；(2)被开方数是非负数. 例2求使下列式子有意义的x的取值范围. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0, 列不等式(组)求解. 解：⑴由题意得4—3x>0，解得x v4.当x v4时，丁^=有意义； 3 3寸4—3x 3 —X》0, 3 一x (2) 由题意得解得x< 3且X M 2.当x< 3且X M 2时，有意义； l x—2M 0, x—2 x + 5》0, 一一一―x+ 5 (3) 由题意得f 解得x》一5且X M0?当x》一5且X M 0时，------- 有意义. 如0, x 【方法总结】含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零. 例 3 (1)已知a、b 满足?.2a+ 8+ |b—. 3|= 0,解关于x 的方程(a + 2)x+ b2= a— 1 ；

《二次根式的定义和性质》教学反思

《二次根式的定义和性质》（1）教学反思 1.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的四道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。 2.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。 3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。 4.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。在今后教学中，应注意时间的掌控。 5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。

二次根式的性质（2）教学反思。 本节课大致出现了以下几种情况： 首先，预习时间不充分，大部分学生是看完了本节内容，但还没来得及思考，不了解的地方也没来得及讨论，就开始讲课，总怕预习费时过多以至于本节任务完不成。 其次，课堂活动时间也不充分，并且学生在思考问题时给予提示过多，以至于学生顺着老师的思路走，没有了自己的思考体系。 最后，课堂小结也因为时间不足，由老师代替学生来总结。这样学生一节课的知识只能零碎的不深刻的装在脑子里。 针对这些情况，我进行了以下反思： 教学任务是否完成不在于课堂上讲了多少，而在于学生学的如何。只要有利于学生积极性的调动和学生发展，固定的教学模式可以打破。也就是不按套路去引领学生走教案，这种走教案的形式看起来课堂紧凑，但却少了一种动态生成，使课堂失去了生命力。所以只要课堂上学生学的活泼、生动，重点知识掌握了，不会的问题解决了，即使设计的教学内容或书上练习没完成，如果学生对某个问题探究的欲望很强烈，教师打破教材上的时间限制，根据了学生的需要进行教学，这仍是一节好课。 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。）

二次根式的概念性质与化简测试题

二次根式的概念性质与化简测试题 姓名： 一、填空题： 1.如果1-x在实数范围内有意义，那么x应满足的条件是___________. 2.式了x(x-3)=x?x-3成立的条件是_________. 3.5-xx-2在实数范围内有意义,x的取值范围是__________. 4.计算：(-4)2=__________；(2-5)2=__________； (3.14-π)2=__________. 5.如果x2=-x,那么x的取值范围是_________. 6.当m≥时,(4-2m)2=________. 7.当m＜2时,化简1-x-x2-4x+4的结果是__________. 8.化简：750=_________.18a349b2=_________.15x3=_________. 9.如果最简二次根式2a-1与11-4a是同类二次根式,那么a=__________. 10.2x，2y,ab2,3xy5,5(a2-b2),75x3y3,x2+y2,2y2c中,是最简二次根式的有_____________________________. 二、选择题 11.以下各组中不是同类二次根式的是（）.

(A)8和2 (B)54和108 (C)8a和32a (D)63和112 12.在下列根式中最简二次根式的个数是( ). a2+b2, 12, 15, 10, 3xy2, 3ab (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 三、解答题 13.如果（27-x）2+y+13=0,求xy. 14.当m＜0时,化简：|m|+m2+(m3) +m. 15.解不等式：2x-34+3＜13+5x. 16.已知x+1x=6,求x+1x的值.

二次根式的概念及性质

卓越教育VIP 个性化教案 学生姓名 王晓佛 年级 八 学科 数学 授课时间 2014.7.31 教师姓名 钟旭 课时 3 教学课题 二次根式的概念及性质 教学目标 1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的 意义解答具体题目； 2. 了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式. 教学重、难点 二次根式a （a ≥0）的内涵；确定二次根式中字母的取值范围；a （a ≥0）是一个非负数； 2(a)=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）及其运用． 【教学过程】 一、复习引入 1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？ 3、求下列各数的平方根： （1）24； （2）0.16； （3） 9 25. 4、求下列各数的正平方根： （1）225; （2）0.0001； （3）16 81 . 5、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 2cm a cm S=2 (3)-b cm S = 32 2cm 直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；等边三角形的边长是_________。 问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 二、探索新知 1．二次根式的定义: 很明显5题中上述得数都是一些正数的算术平方根．像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。 因此，一般地，我们把形如 a (a ≥0)的代数式叫做二次根式. “ ”称为二次根号． 2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 注意：① 二次根式都含有二次根号“ ”； ② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0a ≥，当0a <时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式； ④ 二次根式a (a 0)≥ 是a 的算术平方根，所以a 0≥. 例1． 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、 1 x 、x （x>0）、0、42、-2、

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题09 二次根式的概念与性质

2 (a ≤ 0 ) 揭示了与绝对值的内在一致性． 【例 1】设 x ， y 都是有理数，且满足方程 ? 1 ? x +? + ? y - 4 - π = 0 ，那么 x - y 的值 ( a + b )= 3 b ( a + 5 b )，求 2a + 3b + 1 -y 专题 09 二次根式的概念与性质 阅读与思考 式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有： 1． a ≥ 0 ．说明了 a 与 a 、 a 2一样都是非负数． 2． ( a ) ＝ a （ a ≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化． ??a (a ≥ 0 ) 3． a 2 = a = ? ??-a 4． ab = a b （ a ≥0， b ≥0） ． 5 ． a a = b b （ a ≥0， b ＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则． 6．若 a ＞ b ＞0，则 a ＞ b ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础． 运用二次根式性质解题应注意： （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围； （2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的 右边变形到等式的左边． 例题与求解 π ? ? 1 π ? + ? 2 3 ? ? 3 2 ? 是____________． （“希望杯”邀请赛试 题） 解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题． 【例 2】 当 1≤ x ≤2，经化简， x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 ＝___________． 解题思路：从化简被开方数入手，注意 a 中 a ≥0 的隐含制约． 【例 3】若 a ＞0， b ＞0，且 a ab a - b + ab 的值． （天津市竞赛试题） 解题思路：对已知条件变形，求 a ， b 的值或探求 a ， b 的关系． 【例 4】若实数 x ， y ， m 满足关系式： 3x + 5 y - 2 - m + 2x + 3 y - m = x - 9 9 +y 1 9 9-x ，试确定 m 的值．

二次根式的概念及性质教案

5.1.1二次根式的概念及性质 （第1课时） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标： （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键： 1．重点：形如a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________． 老师点评： 由方差的概念得. 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的 a ≥0）?的式子叫做二次根式， （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，1x （x>0）、1x y +x ≥0，y?≥0）．

分析；第二，被开方 数是正数或0． （x>0）、x ≥0，y ≥0）； 、1x 、1x y +． 例2．当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1 ≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13 三、巩固练习 P157 练习1、 四、应用拓展 例3．当x 11x +在实数范围内有意义？ 分析+ 11x +中的≥0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1+11 x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知，求 x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1a ≥0）的式子叫做二次根式，

16.1 二次根式的定义及性质

第01课 二次根式定义及性质 定义： 二次根式有意义的条件： 二次根式非负性： 化简公式：)0()(2≥=a a a 和?? ?<-≥==)0()0(2a a a a a a 【例1】求下列二次根式有意义的条件： (1)1-x (2)x x -?+31 (3) 31+x (4) 12+x (5)x x -+31 (6)2)1(-x (7)962+-x x (8)1062+-x x 【例2】已知满足求的平方根. 【例3】已知a 、b 满足等式 ． （1）求出a 、b 的值分别是多少？ （2）试求 的值．

【例4】已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求△ABC的c边的长．【例5】已知，求的值.

课堂同步练习 一、选择题： 1、下列式子中：、、0、、、（a＞0）二次根式的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2、若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是( ) C. D. A. B. 3、若代数式有意义，则实数x的取值范围是（） A．B．C．D．且 4、函数中自变量x的取值范围是（） A ．B． C. D. 5、若二次根式有意义，则字母a应满足的条件是（） A．B．C．D． 6、若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 7、估算+2的值是（）． A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间 8、已知( ) A. 2或12 B. 2或-12 C. -2或12 D. -2或-12 二、填空题： 9、使得函数有意义的x的取值范围是； 10、已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简：的结果是：___________________． 11、若4= ． 12、已知，则x y的平方根为______． 13、若=2，且ab＜0，则a﹣b= ． 14、观察分析下列数据,寻找规律：0，3，2 …那么第10 个数据应是．第n个数应 是。

二次根式的概念和性质

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 1 课时 课题 二次根式的概念和性质 一、教学目标： 1．理解a 有意义的条件，理解a a =2 ； 2．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值围. 3．根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式. 4．能判定同类二次根式并合并同类二次根式. 二、教学重点和难点 重点：理解a 有意义的条件与合并同类二次根式 难点：二次根式的化简 三、概念回顾： 1. 二次根式的概念的理解 一般地，形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。 （1） 二次根式必须含有根号“”，即次数是二次； （2） ａ可以是数，也可以是代数式，但ａ必须是非负数或代数式值是非负数； （3） 形如ｂ的式子也是二次根式； 例：判定下列各式哪些为二次根式？ 2. 二次根式中的约束条件 （1）中a ≥0，即二次根号的数或代数式非负； （2）≥0，即二次根式非负（推论：－≤0）； （3）含有分母的二次根式的约束条件有两条： ①根号的分式非负；②分母不等于零。 例：如果下列各式都为二次根式，求x 的取值围 3．二次根式的性质： 性质一： ?? ???<-=>==)0()0(0)0(2 a a a a a a a

性质二：（）2＝a （a ≥0） 反之:a ＝（）2 （a ≥0） 性质三：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 0,0)a b =≥> 的平方根是 ；= 四、最简二次根式 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母。 化简二次根式的一般过程： （1） 存在带分数或绝对值大于1的小数的，将其化成假分数；存在把绝对值小 于1的小数的，将其化成分数； （2） 把被开方数化成积的形式，即因式分解； （3） 化去根号的分母，即分母有理化； （4） 将根号开的尽方的因数或因式提到外面； 最简二次根式的要求可换成： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数的因数是整数，因式是整式。 五、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同 类二次根式。 判断几个二次根式是否是同类二次根式的一般过程： （1）化成最简二次根式； （2）判断被开方数是否相同。 注意：两个二次根式的被开方数不同，仍有可能是同类二次根式。 例1 、下列二次根式，那些是同类二次根式： 12 ，24， 27 1 ，b a 4， )0(23>a b a ，)0(3>-a ab 例2 、把下列根式化为最简二次根式 （1）y x x 52421 （2） ．m m m m m m 15462-+