高考数学二轮复习专题八系列4选讲第1讲坐标系与参数方程专题突破讲义文
第1讲 坐标系与参数方程
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
热点一 极坐标与直角坐标的互化
直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则?????
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
?
???
?
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x (x ≠0).
例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A ?
????2，π2，
点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．
解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ?
????2，π2的直角坐标为
(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.
当线段AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，
解?
??
??
x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得?
??
??
x ＝－1，
y ＝1.
所以点B 的直角坐标为(－1,1)． 所以点B 的极坐标为?
????2，34π.
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．
解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 所以|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2.因为C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝1
2.
热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为?
??
??
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
2．圆的参数方程
圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为?
??
??
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，
0≤θ≤2π)． 3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为?
??
??
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(2)抛物线y 2
＝2px (p >0)的参数方程为?
??
??
x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)．
例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为???
??
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ (θ为参
数)，直线l 的参数方程为?
??
??
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2
＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由?????
x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2
＝1，
解得???
??
x ＝3，y ＝0
或?????
x ＝－21
25，y ＝24
25，
从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，? ??
??－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17
.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8；
当a <－4时，d 的最大值为
－a ＋1
17
. 由题设得－a ＋1
17＝17，所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．
跟踪演练2 (2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，
且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是???
??
x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2t (t 为参数)，
曲线C 的极坐标方程是ρcos 2
θ＝2sin θ.
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为? ????2，π4，求|PM |
的值．
解 (1)因为直线的参数方程是???
??
x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2
t (t 为参数)，
消去参数t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 由曲线C 的极坐标方程ρcos 2
θ＝2sin θ， 得ρ2
cos 2
θ＝2ρsin θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
＝2y .
(2)由?
????
y ＝x ＋3，
x 2
＝2y ，得x 2
－2x －6＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 的中点M ?
????x 1＋x 22
，y 1＋y 22.
因为x 1＋x 2＝2，所以M (1,4)， 又点P 的直角坐标为(1,1)， 所以|PM |＝(1－1)2
＋(4－1)2
＝3. 热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2017届湖南省衡阳市联考)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的参数方程为???
?
?
x ＝1＋1
2t ，y ＝2＋3
2t (t 为参
数)．
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)设曲线C 经过伸缩变换?
??
??
x ′＝2x ，
y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x
＋23y 的最大值．
解 (1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2－3＝0， 曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1.
(2)因为???
?
?
x ′＝2x ，y ′＝y ，
所以?????
x ＝x ′2，
y ＝y ′，
代入C ，得C ′：x 2
4
＋y 2
＝1，曲线C ′为椭圆．
设椭圆的参数方程为?
??
??
x ＝2cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，
则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ? ????θ＋π6.
所以x ＋23y 的最大值为4.
思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．
(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．
跟踪演练3 (2017届湖南长沙雅礼中学月考)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ＋ρcos θ＝10，将曲线C 1：
?
??
??
x ＝cos α，
y ＝sin α(α为参数)经过伸缩变换?
??
??
x ′＝3x ，
y ′＝2y 后得到曲线C 2.
(1)求曲线C 2的参数方程；
(2)若点M 在曲线C 2上运动，试求出点M 到曲线C 的距离的最小值．
解 (1)将曲线C 1：???
??
x ＝cos α，
y ＝sin α
(α为参数)化为x 2
＋y 2
＝1，
由伸缩变换???
?
?
x ′＝3x ，y ′＝2y ，
化为????
?
x ＝13
x ′，
y ＝1
2
y ′，
代入圆的方程，得? ????13x ′2＋? ??
??12y ′2
＝1，
即(x ′)2
9＋(y ′)2
4
＝1，
可得曲线C 2的参数方程为?
??
??
x ′＝3cos α，
y ′＝2sin α(α为参数)．
(2)曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ＋ρcos θ＝10， 化为直角坐标方程为2y ＋x －10＝0，
点M 到曲线C 的距离d ＝|3cos α＋4sin α－10|
5
＝
|5sin (α＋φ)－10|5≥55
＝5，其中tan φ＝3
4.
所以点M 到曲线C 的距离的最小值为 5.
真题体验
1．(2017·北京)在极坐标系中，点A 在圆ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 答案 1
解析 由ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，
即(x －1)2
＋(y －2)2
＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，
∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.
2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为?
????2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
.
由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α. 于是△OAB 的面积
S ＝1
2
|OA |·ρB ·sin∠AOB
＝4cos α??????sin ? ????α－π3 ＝4cos α????
??1
2
sin α－32cos α
＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2???
?
??sin ? ????2α－π3－32≤2＋ 3.
当2α－π3＝－π2，即α＝－π
12时，S 取得最大值2＋3，
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 押题预测
1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是????
?
x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α
(t 是参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝13，求直线的倾斜角α的值． 押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题． 解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2
＝4ρcos θ. 因为x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ，所以x 2
＋y 2
＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4.
(2)将?
??
??
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α 代入圆的方程(x －2)2＋y 2
＝4，
得(t cos α－1)2
＋(t sin α)2
＝4， 化简得t 2
－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 由根与系数的关系，得???
?
?
t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2 ＝4cos 2
α＋12＝13，
故4cos 2
α＝1，解得cos α＝±12
.
因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π
3
.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：?
??
??
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极
点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，当α＝0时，射线l 与曲线C 2交于点Q ，|PQ |＝1；当α＝π
2时，
射线l 与曲线C 2交于点O ，|OP |＝ 3. (1)求曲线C 1的普通方程；
(2)设直线l ′：??
?
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π
3
，求△OPR 的
面积．
押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．
解 (1)因为曲线C 1的参数方程为?
??
??
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普
通方程为x 2a ＋y 2b ＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa ＋ρ2sin 2
θ
b ＝1.
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2
θ
b
2
＝1， 得ρ＝a ，即点P 的极坐标为(a,0)；
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2， 即点Q 的极坐标为(2,0)．
因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1， 所以a ＝1或a ＝3.
将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2
cos 2
θa 2＋ρ2
sin 2
θb 2
＝1，
得ρ＝b ，即点P 的极坐标为?
????b ，π2，
因为|OP |＝3，所以b ＝ 3. 又因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 2
3
＝1.
(2)因为直线l ′的参数方程为??
?
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)，
所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 而其极坐标方程为θ＝－π
3
(ρ∈R ，ρ≠0)，
所以将直线l ′的方程θ＝－π
3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.
因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2
cos 2
θ9＋ρ2
sin 2
θ
3＝1，
得ρ＝3105，即|OP |＝310
5，
所以S △OPR ＝1
2|OP ||OR |sin∠POR
＝12×3105×1×sin 2π3＝33020
.
A 组 专题通关
1．(2017届江苏如东高级中学等四校联考)已知极坐标系中的曲线ρcos 2
θ＝sin θ与曲线ρsin ? ????θ＋π4＝2交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解 曲线ρcos 2
θ＝sin θ可化为x 2
＝y ， ρsin ?
????θ＋π4＝2可化为x ＋y ＝2， 联立方程组?
??
??
y ＝x 2，
x ＋y ＝2，
解得A (1,1)，B (－2,4)，
所以|AB |＝(1＋2)2
＋(1－4)2
＝3 2.
2．已知曲线C 的参数方程为?
??
??
x ＝3cos φ，
y ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴
为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1
|PN |的值．
解 (1)依题意知，曲线C 的普通方程为
x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0，
故x 2＋y 2＝6y ，故ρ2
＝6ρsin θ， 故所求极坐标方程为ρ＝6sin θ. (2)设直线l 为???
??
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2
t (t 为参数)，
将此参数方程代入x 2
＋y 2
－6y ＝0中， 化简可得t 2
－22t －7＝0，显然Δ>0. 设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2， 故???
t 1＋t 2＝22，
t 1t 2＝－7，
1
|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |
＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2|t 1t 2|＝67
. 3．(2017届河北省衡水中学押题卷)直线l 的参数方程为???
??
x ＝－1＋3
2
t ，y ＝12t
(t 为参数)，
在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 2.
(1)求直线l 被圆C 截得的弦长；
(2)若M 的坐标为(－1,0)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|MA ||MB |的值．
解 (1)将直线l 的参数方程化为普通方程，可得x －3y ＋1＝0，而圆C 的极坐标方程可化为ρ2
＝8，化为普通方程，可得x 2
＋y 2
＝8， 圆心C 到直线l 的距离为d ＝
1
1＋3＝1
2， 故直线l 被圆C 截得的弦长为2 8－? ??
??122
＝31. (2)把???
??
x ＝－1＋3
2t ，y ＝12t
代入x 2＋y 2
＝8，
可得t 2
－3t －7＝0.(*)
设t 1，t 2是方程(*)的两个根，则t 1t 2＝－7，
故|MA ||MB |＝|t 1t 2|＝7.
4．(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为???
??
x ＝2＋t ，y ＝kt
(t 为参数)，直
线l 2的参数方程为????
?
x ＝－2＋m ，y ＝m
k
(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨
迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2)．
设P (x ，y )，由题设得????
?
y ＝k (x －2)，y ＝1
k
(x ＋2)，
消去k ，得x 2
－y 2
＝4(y ≠0)，
所以C 的普通方程为x 2－y 2
＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，
联立??
?
ρ2(cos 2θ－sin 2
θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，
得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110.
代入ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4，得ρ2
＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.
5．(2017届江西省重点中学协作体联考)已知直线l 的参数方程为???
??
x ＝1
2
t ，y ＝32t
(t 为参数)，
曲线C 的参数方程为??
?
x ＝1＋2cos θ，
y ＝23＋2sin θ
(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为? ????23，2π3. (1)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积． 解 (1)由???
??
x ＝12
t ，y ＝32
t ，消去t 得y ＝3x ，
则ρsin θ＝3ρcos θ，∴θ＝π
3，
∴直线l 的极坐标方程为θ＝π
3(ρ∈R )．
曲线C ：(x －1)2
＋(y －23)2
＝4，
则(ρcos θ－1)2
＋(ρsin θ－23)2
＝4， ∴曲线C 的极坐标方程为
ρ2
－2ρcos θ－43ρsin θ＋9＝0.
(2)由?????
ρ2
－2ρcos θ－43ρsin θ＋9＝0，θ＝π
3，
得到ρ2
－7ρ＋9＝0，设其两根为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝7，ρ1ρ2＝9，
∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝(ρ1＋ρ2)2
－4ρ1ρ2＝13. ∵点P 的极坐标为? ????23，2π3，
∴|OP |＝23，∠POB ＝π
3，
∴S △PAB ＝|S △POB －S △POA | ＝12×32×23×|AB |＝3132
. B 组 能力提高
6．(2017届广东省深圳市一模)在直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P ? ????1，233，其参数
方程为??
?
x ＝a cos α，
y ＝2sin α
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线E 的极坐标方程；
(2)若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1
|OB |
2为定值，并求出这个定值．
(1)解 将点P ?
????
1，233代入曲线E 的方程得
?????
1＝a cos α，23
3
＝2sin α，
解得a 2
＝3，
所以曲线E 的普通方程为x 23＋y 2
2＝1，
极坐标方程为ρ2? ??
??1
3cos 2θ＋12sin 2θ＝1.
(2)证明 不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ? ????ρ2，θ＋π2，ρ1>0，ρ2>0，
则?????
1
3(ρ1
cos θ)2＋12
(ρ1sin θ)2
＝1，
13?
??
???ρ2
cos ?
????θ＋π22＋12??????ρ2sin ?
????θ＋π22＝1，
即?????
1ρ21
＝13cos 2
θ＋1
2
sin 2
θ，1ρ22
＝13sin 2
θ＋1
2
cos 2
θ，
所以1ρ21＋1ρ22＝56，即1|OA |2＋1|OB |2＝56，
所以1|OA |2＋1|OB |2为定值56
.
7．(2017届广西玉林、贵港质检)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为? ????3，π4，曲线C 的参数方程为ρ＝2cos ? ????θ－π4(θ
为参数)．
(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；
(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值．
解 (1)点P 的直角坐标为? ????322
，322，
由ρ＝2cos ?
????θ－π4，
得ρ2
＝2ρcos θ＋2ρsin θ，①
将ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线C 的直角坐标方程为 ?
?
???x －222＋? ????y －222＝1.
(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的直角坐标方程为2x ＋4y －2＝0， 设点Q 的直角坐标为?
??
??
22＋cos θ，22＋sin θ，
则M ? ??
??2＋
cos θ2，2＋sin θ2，
∴M 到直线l 的距离
d ＝
????
??2? ????2＋cos θ2＋4? ????2＋sin θ2－222
＋4
2
＝
|52＋cos θ＋2sin θ|
25
＝
52＋5sin (θ＋φ)25
，其中tan φ＝1
2.
∴d ≥52－525＝10－1
2(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，
∴M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值为
10－1
2
. 8．(2017届四川省大教育联盟三诊)已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数
方程为?
??
??
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标
系中，直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin ? ????α＋π6. (1)求证：l 1⊥l 2；
(2)设点A 的极坐标为?
????2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求|OP ||AP |的最大值．
(1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos(θ－α)＝2sin ? ????α＋π6可变形为
ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin ? ????α＋π6，
即直线l 2的直角坐标方程为
x cos α＋y sin α－2sin ? ??
??α＋π6＝0.
因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知，l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2，θ＝π
3
时，
ρcos(θ－α)＝2cos ? ????π3－α＝2sin ? ????α＋π6， 所以点A ? ????2，π3在直线ρcos(θ－α)＝2sin ? ????α＋π6上．
设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知，d 的最大值为|OA |
2＝1.
于是|OP ||AP |＝d ·|OA |＝2d ≤2， 所以|OP ||AP |的最大值为2.
选修坐标系与参数方程高考复习讲义
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
高考数学压轴专题郑州备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析
数学《坐标系与参数方程》复习知识点 一、13 1．已知M 点的极坐标为(2,)6 π --，则M 点关于直线2 π θ= 的对称点坐标为（ ） A ．(2, )6 π B ．(2,)6 π - C ．(2, )6 π - D ．11(2, )6 π - 【答案】A 【解析】 M 点的极坐标为2,6π?? -- ?? ? ，即为5(2, )6π∴ M 点关于直线2π θ=的对称点坐标为(2,)6 π,选A. 点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2 π θ= 对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为 (,)ρθ-. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ θ =??=?(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系 是( ) A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交但直线不过圆 心 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系.
《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程(题型归纳)
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 （1）极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系? （2）极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为?有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数? 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示? 如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示； 同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的? 2.极坐标和直角坐标的互化 （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系 中取相同的长度单位，如图所示: ⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（ 0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角 注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足 极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为 4 4 5 (, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4 程 、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
2019-2020年高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义
2019-2020年高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程讲义 考点一极坐标方程和直角坐标方程的互化 1.(xx北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为. 答案 1 2.(xx天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为. 答案 2 3.(xx北京,11,5分)在极坐标系中,点到直线ρ(cos θ+sin θ)=6的距离为. 答案 1 4.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为. 答案(2,π) 5.(xx广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为. 答案 6.(xx天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB 是等边三角形,则a的值为. 答案 3 7.(xx重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ= . 答案 8.(xx课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分) 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1.(10分) 9.(xx江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径. 解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0, 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆C的半径为. 10.(xx课标Ⅰ,23,10分)(选修4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
2018届二轮(理)专题十八坐标系与参数方程专题卷(全国通用)
2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程 考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ） A.1 B.32．【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+ （C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 3．【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4 πρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04π ρθθθ=+≤≤ 4．【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ??=- ???的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3 πθ=对称
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-4 坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
坐标系与参数方程-知识点总结
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
选修4-4坐标系与参数方程-高考文科数学通用讲义
重点增分专题十三选修4－4坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ 2018极坐标与直角坐标的互 化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程 的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互 化、参数方程的应用 2017参数方程与普通方程的互 化、点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互 化、动点轨迹方程的求法、 三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标 方程、动点轨迹方程的求 法 2016参数方程与普通方程的互 化、极坐标方程与直角坐 标方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方 程的互化及应用、直线与 圆的位置关系 参数方程、极坐标方程及 点到直线的距离、三角函 数的最值 (1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是 简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用． (2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时 应注意转化思想的应用． 考点一极坐标保分考点·练后讲评 1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋ 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2， 所以|－k＋2| k2＋1 ＝2，故k＝－ 4 3 或k＝0. 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点； 当k＝－4 3 时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
坐标系与参数方程专题
坐标系与参数方程专题 1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程 2x t y =??? =+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos x y θ θ =???=??（θ为参数），点P 是曲线C 上的任意一点.求点P 到直线l 的距离的最大值. 2、（南京市2019届高三第三次模拟）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1，以 极点O 为坐标原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为 ???x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α－1 (其中α为参数，r ＞0)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB ＝3，求r 的 值． 3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的 参数方程为(x a t y t ?=+?? =??为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围。 4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2 x t y t =??=? ， （t 为参数）．以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin()4 ρθπ- 求：（1）直线l 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的线段长． 5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+??=?， ( t 为参数)，椭圆C 的参数方程 为)(sin cos 2为参数， θθθ?? ?? ?==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<
坐标系与参数方程专题复习
坐标系与参数方程专题复习 学号： 班级： 姓名： 1（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程； （Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为 1cos 1sin x a y a θ θ=-+?? =-+? （θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值. 2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos , 2sin x y θθ =+?? =?（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．
3、已知圆的极坐标方程为06)4 cos(242 =+--π θρρ （Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程； （Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值． 4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ? ??=??=?为参数），曲线C 2的参数方程为 cos (0,sin x a a b y b ? ??=?>>? =? 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2 π α=时，这两个交点重合. (Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4 π α= 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4 π α=- 时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2， B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.
专题复习之坐标系与参数方程
专题复习之极坐标系与参数方程 一、知识精讲 （一）、极坐标 知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>? 的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 知识点二、极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 知识点三、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 :
极坐标与参数方程专题复习
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1.坐标系 （1）理解坐标系的作用； （2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2.参数方程 （1）了解参数方程和参数方程的意义； （2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程；（3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 二、题型分布： 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。
三、知识点回顾 坐标系 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变 换? ??>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点 O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化：
坐标系与参数方程_知识点
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλ?μμ'=?>?? '=?>?的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程 一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。 二、考纲解读 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。 三、知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：
全国卷高考选做题——坐标系与参数方程专题
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14） 命题：靳建芳 1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已 知曲线1C :452x t y t =+??=+?（t 为参数），曲线2C :2 6cos 10sin 90ρρθρθ--+=． （Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程； （Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数αα α ???+==y x ，M 是曲线1C 上的动点， 且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()4 π ρθ+=直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点。 （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程； （Ⅱ）求线段AB 的长。 3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1 cos 2 x y α αα=+???=??为参数），在极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为sin()4 π ρθ-= （1）求曲线2C 的普通方程； （2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长． 4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知
曲线C 1的极坐标方程为θ ρ2 2sin 12 += ，直线l 的极坐标方程为θ θρcos sin 24+=。 （Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。 5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32 x t t y t ?=+?? ??=??为参数） ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程； （Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 6．在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=,以坐标原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ= ∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求 2C MN ?的面积. 7．已知直线l ：352132 x y t ?=+????=??（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；
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