文科一轮学案9.5 椭圆
学案9.5 椭圆
自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做．这两个定点
叫做椭圆的，两焦点的距离叫做椭圆的．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若，则集合P为椭圆；
(2)若，则集合P为线段；
(3)若，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?x20
a2＋y20
b2<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?x20
a2＋y20
b2＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?x20
a2＋y20
b2>1.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
(5)y2
a2＋x2
b2＝1 (a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()
(6)x2
a2＋y2
b2＝1 (a>b>0)与
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()
考点探究案典例剖析考点突破
考点一椭圆的定义及标准方程
命题点1椭圆定义的应用
例1如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，
把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
命题点2利用待定系数法求椭圆方程
例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________．
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则椭圆的方程为_________________________________．
变式训练：(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2
9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．
(3)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0
B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________．
考点二 椭圆的几何性质
例3 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→
|的最小值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2 2
(2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b
c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆
的离心率是________．
变式训练：
(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m
的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )
(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝
c
sin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．
考点三：直线与椭圆的综合问题
命题点1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质
例4 (2015·重庆)如图，椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，
过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜4
3，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质
例5 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，点(2，2)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
变式训练：
(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；
(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
当堂达标：
1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2
m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．12
2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C 于A 、B
两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2
2＝1 B.x 23＋y 2
＝1 C.x 212＋y 2
8
＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________．
5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形
的面积等于1，则点P 的坐标为__________________．
巩固提高案 日积月累 提高自我
1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2
16＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P
点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5
2．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |
成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.14 B.55 C.1
2
D.5－2 3．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，
且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x
2
＋y 2＝1 B.x 23＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
3
＝1 D.x 25＋y 2
4
＝1 4．已知椭圆x 24＋y 2
2＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的
点P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
5．已知圆M ：x 2
＋y 2
＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
3
＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直
于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.3
4
B ．1
C ．2
D ．4 6．已知P 为椭圆x 225＋y 2
16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |
＋|PN |的最小值为________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1
3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意
一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B
sin C
的值等于________．
8．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，
且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________________． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其中左焦点为F (－2,0)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．
10．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的
坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .
学案9.5 椭圆
自主预习案自主复习夯实基础【双基梳理】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a 2．椭圆的标准方程和几何性质 【知识拓展】 点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内?x20 a2＋y20 b2<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上?x20 a2＋y20 b2＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外?x20 a2＋y20 b2>1. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(√) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√) (5)y2 a2＋x2 b2＝1 (a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×) (6)x2 a2＋y2 b2＝1 (a>b>0)与 y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)的焦距相等．(√) 考点探究案 典例剖析 考点突破 考点一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 椭圆定义的应用 例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点， 把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ， 则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 答案 A 解析 由条件知|PM |＝|PF |. ∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程 例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_________________________________． 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2 9＝1 (2)x 29＋y 2 3 ＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02 b 2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2 ＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32 b 2＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 2 9＝1. ∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2 9＝1. (2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2， ∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程． 则? ???? 6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得??? m ＝1 9，n ＝1 3. ∴所求椭圆方程为x 29＋y 2 3＝1. 变式训练：(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2 9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________． (3)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2 ＋y 2 b 2＝1(0 B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 答案 (1)B (2)y 220＋x 24＝1 (3)x 2＋3 2y 2＝1 解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |， 又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (2)方法一 椭圆y 225＋x 2 9＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)， 即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2 4 ＝1. 方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 2 9＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． ∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1， 即5a 2＋3 b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 2 4＝1. (3)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2 ＋y 2 b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B → ， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2 ，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为????－53 1－b 2，－b 2 3. 将B ????－531－b 2，－b 2 3代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝2 3. ∴椭圆E 的方程为x 2＋3 2y 2＝1. 考点二 椭圆的几何性质 例3 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→ |的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2 (2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆 的离心率是________． 答案 (1)C (2) 22 解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→ ＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→ ＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2. ∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. (2) 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b c x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ， ∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ， 故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2 a . 由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2 a ＝2a ， 整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝2 2 . 方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标????x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝ y 0 x 0－c ，依题意??? y 02＝b c ·x 0＋c 2 ，y 0x 0 －c · b c ＝－1， 解得??? x 0＝c (2c 2－a 2)a 2 ， y 0 ＝2bc 2 a 2 ， 又因为(x 0，y 0)在椭圆上， 所以c 2(2c 2－a 2)2a 6 ＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1， 变式训练： (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2 n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A. 33 B.22 C.14 D.12 (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝ c sin ∠PF 2F 1 ，则椭圆的离心率的取值范围为______． 答案 (1)D (2)(2－1,1) 解析 (1)在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c 2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝1 2. (2)依题意及正弦定理， 得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1，F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c ， ∴ 2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c ， 即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0 考点三：直线与椭圆的综合问题 命题点1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 例4 (2015·重庆)如图，椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2， 过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜4 3 ，试确定椭圆离心率e 的取值范围． 解 (1)由椭圆的定义， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|，得 |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2 ＝1＋λ2|PF 1|. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝ 4a 1＋λ＋1＋λ2 ， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1) 1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 从而? ????4a 1＋λ＋1＋λ22 ＋? ????2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2 2＝4c 2. 两边除以4a 2，得 4 (1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2 ＝4＋(t －2)2t 2＝8????1t －142＋12 . 由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤1 3. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53 . 命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 例5 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程； (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． (1)解 由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2 b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 2 4 ＝1. (2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 2 4＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1 2k ， 即k OM ·k ＝－1 2 . 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 变式训练： (2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率； (2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； (3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由． 解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2 ＝1， 所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝6 3. (2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴， 所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3,2－y 1)， 所以直线BM 的斜率k BM ＝ 2－y 1＋y 1 3－1 ＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝ 1－0 2－1 ＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线AE 的方程为y －1＝ y 1－1 x 1－2 (x －2)． 令x ＝3，得点M ? ?? ??3，y 1＋x 1－3x 1－2， 由? ???? x 2＋3y 2 ＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3 x 1－2 －y 2 3－x 2， 因为k BM －1 ＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2) (3－x 2)(x 1－2) ＝ (k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3] (3－x 2)(x 1－2) ＝ (k －1)? ?? ??－3k 2＋31＋3k 2＋12k 2 1＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2) ＝0 所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行． 当堂达标： 1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2 m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ． 8 C ．4或8 D ．12 答案 C 解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4. 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0， m －2－(10－m )＝4， ∴m ＝8. 2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2 m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 答案 B 解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3. 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3 3，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2 2＝1 B.x 23＋y 2 ＝1 C.x 212＋y 2 8＝1 D.x 212＋y 2 4 ＝1 答案 A 解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为 3 3 ，∴c ＝1， ∴b ＝a 2 －c 2 ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2 2＝1. 故选A. 4．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k ＝1，因为焦点在y 轴上，则2 k >2，即k <1，又k >0，所以0 5．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ????152，1或??? ?152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 2 5 ＋ 巩固提高案 日积月累 提高自我 1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2 16＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5 答案 A 解析 由题意知，在△PF 1F 2中 ，|OM |＝1 2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4. 2．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B | 成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.14 B.55 C.1 2 D.5－2 答案 B 解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55 . 3．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 2 ＋y 2＝1 B.x 23＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 3＝1 D.x 25＋y 2 4 ＝1 答案 C 解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，则 c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2 ＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1， 故选C. 4．已知椭圆x 24＋y 2 2＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的 点P 有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 答案 C 解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个． 5．已知圆M ：x 2 ＋y 2 ＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 3 ＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直 于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.3 4 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C 解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 6．已知P 为椭圆x 225＋y 2 16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM | ＋|PN |的最小值为________． 答案 7 解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于1 3，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意 一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C 的值等于________． 答案 3 解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA | |AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA | ＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1 e ＝3. 8．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点， 且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________________． 答案 ????33 ，22 解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→ ＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2 ＝b 2 －b 2a 2x 2 代入①式解得 x 2 ＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2 ， 又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈??? ?33，22. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2 2，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值． 解 (1)由题意，得????? c a ＝2 2 ，c ＝2， a 2 ＝b 2 ＋c 2 ， 解得??? a ＝22， b ＝2. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2 4 ＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)， 由????? x 2 8＋y 2 4＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23 ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±35 5 . 10．(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的 坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为5 10 . (1)求E 的离心率e ； (2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . (1)解 由题设条件知，点M 的坐标为???? 23a ，13b ， 又k OM ＝ 510，从而b 2a ＝5 10 . 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝25 5. (2)证明 由N 是AC 的中点知， 点N 的坐标为????a 2，－b 2，可得NM → ＝????a 6，5b 6， 又AB → ＝(－a ，b )，