北师大版八年级数学下册导学案
自主合作探究
《数学》导学案
班级：姓名：
编号：№1 班级小组姓名小组评价教师评价
收获与感悟第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
§1.1 不等关系
学习目标：
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
3.通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
4.通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历
史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
学习重点：
用不等关系解决实际问题.
学习难点：
正确理解题意列出不等式.
预习作业：
请同学们预习作业教材P2-4的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题：
1.不等式的概念：
一般地，用符号“＜”（或≤），“＞”（或≥）连接的式子叫做______________
2.长度是L的绳子围成一个面积不小于100的圆，绳长L应满足的关系式为
_________________
例1、用不等式表示
（1）a是正数；（2）a是负
数；
（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差
小于－1；
（5）x的4倍大于7；（6）y的一半
小于3.
变式训练：
1、用适当的符号表示下列关系：
(1) a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a、b都长；
（3） X与17的和比它的5倍小。
2.（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
收获与感悟（2）当x=1.5时，成立吗？
（3）当x=－1呢？
活动与探究：
a,b两个实数在数轴上的对应点如图1－2所示：
图1－2
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a__________b;（2）|a|__________|b|;
（3）a+b__________0;（4）a－b__________0;
（5）a+b__________a－b;（6）ab__________a
拓展训练：
1.某校两名教师带若干名学生去旅游,联系了两家标价相同的旅游公司,经洽谈后,甲公司优惠
条件是1名教师全额收费,其余7.5折收费; 乙公司的优惠条件是全部师生8折收费.试问当学
生人数超过多少人时,其余7.5折收费; 甲旅游公司比乙旅游公司更优惠? (只列关系式即可)
编号：№2 班级小组姓名小组评价教师评价
收获与感悟
§1.2 不等式的基本性质
学习目标：
1.探索并掌握不等式的基本性质；
2.理解不等式与等式性质的联系与区别.
3.通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能
力.
学习重点:
探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.
学习难点:
能根据不等式的基本性质进行化简.
回顾等式的基本性质:
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
预习作业：学习教材P7-P8的内容，通过学习弄清以下问题： 1.不等式的基本性质有哪些？
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向__________ 不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向＿＿＿＿ 不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向＿＿＿＿ 2.不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同？
例1、将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：
（1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9.
（4）21>-x （5）6
5<-x （6）321
≤x
说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.
2．已知y x >，下列不等式一定成立吗？
（1）66-<-y x （2）y x 33< （3）y x 22-<- （4）
1212+>+y x
议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a ＜b ，那么a +c ＜b +c ; （2）如果a ＜b ，那么a －c ＜b －c ;
收获与感悟
（3）如果a ＜b ,那么ac ＜bc ; （4）如果a ＜b ,且c ≠0,那么c a ＞c
b . 2.设a ＞b ,用“＜”或“＞”号填空.
（1）a +1 b +1; （2）a －3 b －3; （3）3a 3b ; （4）
4a 4b ; （5）－7a －7
b
; （6）－a －b . 变式训练：
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：
（1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1; （3）2
1
x ＞5; （4）－4x ＞3.
2.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.
（1）a －3 b －3; （2）
2a 2
b
; （3）－4a －4b ; （4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0; （7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.
能力提高：
1.比较a 与－a 的大小. （ 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.）
2.有一个两位数，个位上的数字是a ，十位上的数是b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大哪个小？
编号：№3 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§1.3 不等式的解集
学习目标：
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
收获与感悟
3.会在数轴上表示不等式的解集.
4.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力.
5.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.
学习重点：
1.理解不等式中的有关概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
学习难点：
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
预习作业：
请同学们预习作业教材P10-11的内容，在学习的过程中请弄清以下几个问题:
1.什么叫不等式的解?
能使__________成立的未知数的值，叫做不等式的解
2.什么叫不等式的解集？
一个含有未知数的不等式的___________，组成这个不等式的解集
收获与感悟 3.什么叫解不等式？
求________________的过程叫做解不等式
4.如何将不等式的解集在数轴上表示出来？
例1：根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;
（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
说明：不等式的解集数轴上表示注意空心圆和实心圆的用法。解集不包括这个数用空心
圆，
包括这个数用实心圆。
变式训练：
1.判断正误：
（1）不等式x －1＞0有无数个解； （2）不等式2x －3≤0的解集为x ≥3
2. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：X|k |B | 1 . c| O |m （1）x ＞4; （2）x ≤－1;
（3）x ≥－2; （4）x ≤6.
3.不等式的解集x ＜3与x ≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把 这两个解集表示出来.
4．不等式x ≥-3的负整数解是_________ 不等式x-1<2的正整数解是__________ 能力提高：
1．给出四个命题：①若a>b,c=d, 则ac>bd ;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac 2
>bc 2
;④若ac 2
>bc 2
,则a>b 。正确的有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2.在数轴上表示:
(1)大于3而不超过6的数; (2)小于5且不小于-4的数.
3.如果不等式(a-1)X>a-1的解集为X<1,你能确定a 的范围吗?不妨试试看.
4已知不等式3x-a ≤0的正整数解是1,2,3,求a 的取值范围。
编号：№4 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
收获与感悟
§1.4一元一次不等式（1）
学习目标：
3.体会一元一次不等式的形成过程；
4.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；
5.初步感知实际问题对不等式解集的影响,积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
学习重点：明确什么是一元一次不等式，
学习难点：体会建立不等式模型解决实际问题的全过程,体会学习不等式的作用。 预习作业：
1、观察下列不等式：
（1）155.22≥-x ； （2）75.8≤x （3）x ＜4 （4）x 35+＞240 这些不等式有哪些共同特点？
2、（1）.不等式的概念：
左右两边都是________，只含有__________，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式
（2）解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：
（1）____________ （2）____________ （3）____________ （4）____________ （5）____________
例1：1、下列不等式中是一元一次不等式的有____________。
(1)3x ＞-9 (2)3(x+2)-4x ＜x-3 (3)1)1(21
3≥-+x x (4) 23
52+≤-x x
例2、解下列不等式，并把解集表示在数轴上。 （1）5x ＜200 (2) 2
1
+-x ＜3
收获与感悟
(3) x-4≥2(x+2) (4)21-x ＜3
5
4-x
变式训练： 解下列不等式，并把解集表示在数轴上。 （1）
3722x x -≥- （2）2
2
35-+≥x x
（3）)1(2)3(410-≤--x x （4）6
1
2131-≥--+y y y 能力提高：
1、y 取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。
2、m 取何值时，关于x 的方程2
1
53166--=--m x m x 的解大于1。
收获与感悟
3.是否存在整数m ，使关于x 的不等式2
2931m m x m
x +>+
与132+<+-x m x 是同解不等式？如果存在，求出整数m 和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
编号：№5 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§1.4一元一次不等式（2）
学习目标：
1.进一步熟练掌握解一元一次不等式
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题 学习重点：一元一次不等式的应用
学习难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程。 预习作业：
1、解一元一次不等式应用题的步骤：
（1）________________ （2）________________ （3）________________ （4）________________ （5）________________
2、小红读一本500页的科普书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，问从第6天起平均每天至少读________________页，才能按计划完成。 例1、解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上
（1）132<-x x （2）2
235-+≥x x
2、一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？
收获与感悟
收获与感悟
3、小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？
拓展：
1、小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
2、某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商家准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，你认为该商品至多可以打几折？
3、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元。
（1）符合公司要求的购买方案有哪几种？请说明理由。
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金收入不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
收获与感悟
编号：№6 班级小组姓名小组评价教师评价
§1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一）
学习目标：
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
3.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.
4.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
学习重点：
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
学习难点：
自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
预习作业：
请同学们预习作业教材P20-21的内容，弄清以下几个问题：
1、形如_______形式，叫做一次函数；形如_______形式，叫做正比例函数；确定一次函数
图像需要_______个点。
2、一次函数y=kx+b(k 0)的图像是_______.当kx+b_______0，表示直线在x轴上方的部
分，当kx+b_______0，表示直线在x轴的交点，当kx+b_______0，表示直线在x轴下方的部
分。
例1、作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0?
收获与感悟
3?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞
变式训练：
已知一次函数124y x =-与228y x =-+。当
x 取何值时，（1）
121212;(2);(3)y y y y y y >=<
例2、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m ，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m ，哥哥每秒跑4 m ，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20 m ？谁先跑过100 m ？ （4）你是怎样求解的？与同伴交流.
能力提高:
1.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3
毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
2、2008年6月1日起，我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，某厂家生产A,B 两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本
收获与感悟
和售价如下表： 成本（元每个） 售价（元每个） A 2 2.3 B
3
3.5
设每天生产A 种购物袋x 个，每天获利y 元（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？
编号：№7 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§ 1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） 学习目标：
1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
2.通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力. 学习重点：
利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题. 学习难点：
认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题是本节的难点. 预习作业：
1、直线y=kx+b(k ≠0)与一元一次不等式的关系：
y 0 ,则__________ y 0,则________
2、直线1111222212(0)(0),,y k x b k k x b k y y =+≠=+≠ 与直线y 若则有__________ 例1、某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
收获与感悟
例2、某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000
元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.
乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关
系式.（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？（4）什
么情况下两家商场的收费相同？
变式训练：
收获与感悟1.某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校
自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光
盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.
2.红枫湖门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七五折优惠，现在有18位游客
买20人的团体票
（1）比买普通票总共便宜多少钱？
（2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
能力提高：
1、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：（1）购一个书包，赠送1支水性笔；（2）购书包和水性笔一律按9折优惠。书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需购4个书包，水性笔若干（不少于4支）。
（1）分别写出两种优惠方法购买费用（y元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需购买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济。
2、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具运输费单价
（元/吨·千
米）
冷藏费单价
（元/吨·小
时）
过桥费
（元）
装卸及管理
费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
（1）批发商批海产品为x吨，汽车和火车的费用分别是y1、y2,求y1、y2与x的关
系。
（2）海产品不少于30吨，为了节省费用，选择哪个公司承担运输业务？
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时
的冷藏费.
收获与感悟
编号：№8 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价
§1.6 .1 一元一次不等式组(一）
学习目标：
1．理解一元一次不等式组及其解的意义。 2. 总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
3.通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生全面系统的总结概括能力. 学习重点：
1. 利用数轴，正确求出一元一次不等式的解集 2．巩固解一元一次不等式组. 学习难点：
讨论求不等式解集的公共部分中出现的所有情况，并能清晰地阐述自己的观点. 预习作业： 1、
关于________________________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元
一次不等式组。 1、
一元一次不等式组里各个不等死的解集的___________________，叫做这个一
元一次不等式组的解集。
3、求不等式组解集的过程叫做_____________________。
填表：
不等式组
??
?<+<-0
20
1x x ??
?>+<-0
20
1x x ??
?<+>-0
20
1x x ??
?>+>-0
20
1x x 数轴表示 解集
4．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a ＜b ,那么
（1）不等式组???>>b x a
x 的解集是x ＞b ; 同大取大
（2）不等式组?
??<
x 的解集是x ＜a ; 同小取小
收获与感悟
（3）不等式组???<>b x a
x 的解集是a ＜x ＜b ; 大小小大中间找
（4）不等式组?
??>
x 的解集是无解. 大大小小找不到
这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到。 例1：解下列不等式组,把解集在数轴上表示出来，并求出其整数解
（1） ???-≥+-<+-114754
)1(2x x x （2） ?
?
???-<++≥+5
122
1)
1(315x x x x
例2：已知方程组??
?-=-+=+17
26
52y x m y x 的解为非负数，求m 的取值范围。
变式训练： 1.若1
213-+
-x x 有意义，求x 的取值范围
2.解下列不等式组
（1）???+<+->-93643253x x x x （2） ?????≤--+>-
13
12521x x x
收获与感悟
收获与感悟
（3）?????≤++≤+-3)3(22
311)3(22x x x x
（4）24253<-<
-x
（3）如果关于x 的方程x +2m －3=3x +7的解为不大于2的非负数，求m 的范围.
拓展训练：
1、不等式2 2、若不等式组?? ?>≤3 x m x 的解集是无解，则m 的取值范围是________________ 3、如果不等式组? ? ?>-<+n x x x 7 37的解集是7>x ，则n 的取值范围是____________________ 4、若不等式组???-≥-≥+2210 x x a x 有解，则 a 的取值范围____________________ 5、已知方程组? ??-=-+=+3421 22m y x m y x 的解是正数。 （1）求m 的取值范围 （2）化简213-+-m m 编号：№9 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 单元复习与专题训练 收获与感悟 专题一：利用一元一次不等式（组）有关概念及性质，解决不等式的变形和待定系数的范围 1．下列叙述①若b a >，则2 2bc ac >； ②若c ab >，则a c b >
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