_学年高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用课时作业新人教A版必修1

第2课时 奇偶性的应用 课时目标 1.巩固函数奇偶性概念.2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题．

1．定义在R 上的奇函数，必有f (0)＝____.

2．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是____函数，且有__________．

3．若偶函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，则有f (x )在(0，＋∞)上是______________．

一、选择题

1．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )

A ．f (π)>f (－3)>f (－2)

B ．f (π)>f (－2)>f (－3)

C ．f (π)

D ．f (π)

2．已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，f (x )在[0,5]上是单调函数，且f (－3)

A ．f (－1)

B ．f (2)

C ．f (－3)

D ．f (0)>f (1)

3．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )

A ．f (－x 1)>f (－x 2)

B ．f (－x 1)＝f (－x 2)

C ．f (－x 1)

D ．f (－x 1)与f (－x 2)大小不确定

4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x

<0的解集为( )

A ．(－1,0)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－1)∪(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(－1,0)∪(0,1)

5．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于( )

A ．0.5

B ．－0.5

C ．1.5

D ．－1.5

6．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则{x |x ·f (x )<0}等于( )

A ．{x |x >3，或－3

B ．{x |0

C ．{x |x >3，或x <－3}

D ．{x |0

答 案

二、填空题

7．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )

＝____________.

8．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递增区间是____________．

9．已知f (x )＝ax 7－bx ＋2且f (－5)＝17，则f (5)＝____________.

三、解答题

10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)

能力提升

12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )

A．f(x)为奇函数

B．f(x)为偶函数

C．f(x)＋1为奇函数

D．f(x)＋1为偶函数

13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；

(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；

(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．

1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．

2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．

(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分

类讨论．

3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：

(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．

(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

第2课时奇偶性的应用

知识梳理

1．0 2.增最小值－M 3.增函数

作业设计

1．A [∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，

又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

∴f(2)

专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx

专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任

五年级数学下册《奇偶性》教案

第2单元因数与倍数 第6课时奇偶性 【教学内容】 数的奇偶性(教材第15页例2，以及第16～17页练习四第4～7题)。 【教学目标】 1.经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中的数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。 2.使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。 【教学重难点】 重点：探索并理解数的奇偶性。 难点：能应用数的奇偶性分析和解释生活中一些简单问题。 【教学过程】 一、复习导入 同学们喜欢做游戏吗？今天老师就和你们一起来做抽奖游戏。其实在抽奖游戏中蕴含着许多数学规律，今天老师就看谁细心观察，在抽奖游戏中获得数学规律。同学们想要奖品吗？那就要看你们的运气了。 二、新课讲授 1.探索规律 游戏一：出示盒子，里面装的都是偶数。

游戏规则如下：从盒子中任意取出两张卡片，如果两个数的和是奇数就可以领到精美礼品一份。 （1）如果继续玩下去有中奖的可能吗？什么原因拿不到礼物呢？ （2）总结规律：偶数+偶数=偶数 （3）你能说说为什么吗？（偶数除以２余０，两个偶数相加的和除以２还是余０。所以：偶数+偶数=偶数） 游戏二：出示盒子，里面装的都是奇数 游戏规则如下：从盒子中任意取出两张卡片，如果两个数的和是奇数就可以领到精美礼品一份。 （1）如果继续玩下去有中奖的可能吗？什么原因拿不到礼物呢？ （2）总结规律：奇数+奇数=偶数 （3）你能说说为什么吗？（奇数除以２余１，两个奇数相加的和除以２正好余２，也就是没有余数了。所以：奇数+奇数=偶数）游戏三：怎样修改游戏规则能得到奖品呢? （1）两个盒子里各抽出一张卡片，就会中奖。 （2）总结规律：偶数+奇数=奇数 （3）你能说说为什么吗？（奇数除以２余１，偶数除以２余０，一个奇数加一个偶数的和除以2还余1．所以：偶数+奇数=奇数）2.验证规律 这些卡片都是老师设计好的，仅仅靠卡片上的数，我们就下定论

函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等， 判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论.

函数奇偶性与单调性的综合应用--专题.

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；

3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】

高中数学函数奇偶性专题复习

【函数的奇偶性】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ； （7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+； （9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集） ： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。

专题34 数列中的奇偶性问题(解析版)

专题34 数列中的奇偶性问题 一、题型选讲 题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题 含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论. 例1、(2015扬州期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1 2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________． 答案：[2,3] 思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n －4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有??? ?－1 2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1 2n 1－??? ?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－ ????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又 1S n －4n ≤p ≤3 S n －4n ,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的

是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2 3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∈????23，1＝????12，1内的所有值． 例2、(2019苏州三市、苏北四市二调)已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n } 的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N *. (1) 求a 1,a 2的值； (2) 证明：数列{a n }是等比数列； (3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值． 思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值． (2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－1 2a n ,证得数列{a n }是等比数列． (3)先求出a n ＝????－1 2n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立． 规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N * . 令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1.

奇偶性奥数专题

奇偶性奥数专题 关于奇偶性奥数专题 1、已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：（a-1）（b-2）（c-3）的积是奇数还是偶数？ 2、在黑板上记上数1，2，3，4，……,1994。允许擦去任意的2个数，且写上他们的和或者差，重复下去，直到黑板上仅留下1个 数为止。这个数可能为0吗？ 3、有7只正立的茶杯，要求全部口翻过来。规定每次翻动其中 6只。试问此事能否办成？若茶杯是10只，每次只翻动7只，又能 否把正立的茶杯全部翻过来？ 4、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的 最大数都等于组内其余各数的和？ 6、在一次同学聚会中，大家见面彼此握手问候，那么握手次数 是奇数的同学人数是奇数还是偶数？ 7、50盏红灯拍成一排，按顺序分别编上号码，1，2，3，4，，，，49，50。每盏灯按一下就会变成绿灯，再按一下，就会变 成红灯。有50个人，第一个人走过来把凡是号码为1的倍数的按钮 按一下，第二个人走过来把凡是号码为2的倍数的按钮按一下，第 三个人走过来把凡是号码为3的倍数的按钮按一下，这样继续下去，当第50个人走过来把号码为50的倍数的按钮按一下，问最后哪几 盏灯是绿灯？ 8.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？ 9.有6张扑克牌，画面都向上，小明每次翻转其中的5张。那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？ 10.博物馆有并列的5间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……，走到第五间后往回走，走到第四

间，再走到第三间……，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？

132函数的奇偶性

§1.3.2函数的奇偶性 1、已知奇函数)(x f 在[)+∞,0上是减函数，若)()(b f a f <，则一定有（ ） A ab C |a|<|b| D |a|>|b| 2、奇函数R x x f y ∈=),(的图象必过点（ ） A ())(,a f a - B ())(,a f a - C ())(,a f a -- D 以上都不对 3、已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调增加，则满足)()(3112f x f <-的x 取值范围是（ ） A ??????3231, B ??? ??3231, C ??? ??3221, D ?? ????3221, 4、奇函数)(x f 在区间[]73,上为增函数，且最小值是1，则)(x f 在区间[]37--,上是（ ） A 增函数且最小值是-1 B 增函数且最大值是-1 C 减函数且最小值是-1 D 减函数且最大值是-1 5、已知当x>0时，函数322--=x x x f )(，若)(x f 是R 上的奇函数，则)(x f =___________; 6、已知224+-+=x bx ax x f )(，102=-)(f ，则___________)(=2f ； 7、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，在()+∞,0上是增函数，且01=)(f ，则0>)(x f 的解集是_________; 8、下列函数是偶函数的是___________; ①||)(x x x f =②||||)(11-++=x x x f ③?? ???<-+≥--=010122x x x x x x x f ,,)(④)(x f 的图象关于y 轴对称。 9、定义在（-2，2）上的减函数)(x f 是奇函数，解不等式0213>++-)()(x f x f 10、若对一切实数x,y 都有)()()(y f x f y x f +=+， （1）求)(0f ； （2）用定义法判断)(x f 的奇偶性； （3）若当x>0时，0>)(x f ，用定义法判断)(x f 的单调性。

人教版-高中数学必修132奇偶性备课资料

备课资料 奇、偶函数的性质 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. (2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立. (3)f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数. (4)f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0. (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数. 奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f ［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f ［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”. (6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性. (7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=2 )()(2)()(x f x f x f x f -++--. (8)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0； 若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|). 若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0. (设计者：韩双影) 本章复习 整体设计 教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标 通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.

§1.5置换的奇偶性

§1.5 置换的奇偶性 引理5.1 若k,l ≥0，且字母a,b,ci,dj 是互不相同的，则（ab ）（ac1…ckbd1…dl ）=（ac1…ck ）（bd1…dl ），（ab ）（ac1…ck ）（bd1… dl ）=（ac1…ckbd1…dl ）。 定义5.2 设α∈Sn,且α=β1β2…βt 是完全分解，定义α的符号函数为sgn(α)=(-1)n-t 。 注：1、对1-轮换，α=（1）（2）…（n ）对t=n ，从而sgn(α)=1； 2、α是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1 ∴sgn （α）=-1 例5.3：（1）设α=??? ? ??987654321123456789，求sgn （α） （2）设τ（12）,α=（135）（24）,β=（132）（45），求sgn （τα）,sgn （τβ），且找出sgn （α）与sgn （τα）关 系，sgn （β）与sgn （τβ）关系 解：（1）sgn （α）=（-1）9-5=1 （2）τα=（13524） τβ=（13）（2）（45） sgn （τα）=（-1）5-1=1 sgn （τβ）=（-1）5-3=1 sgn （α）=-1 sgn （β）=-1 引理5.4 若α,τ∈Sn ，其中τ是一个对换，则 sgn(τα)=-sgn(α) 证：设α=β1β2…βt 是完全分解，设τ=（ab ） 若a,b 出现在同一个β里，不妨设出现在β1中，则β=(ac1… ckbd1…dl)，其中k,l ≥0

由引理5.1 τβ=（ac1…ck）（bd1…dl） ∴sgn（τα）=-sgn（α） 类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。 定理5.5对?α,β∈Sn,则sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β) 证：假设给定α∈Sn,α可以分解成m个对换的合成，α=τ1…τm下面用归纳法证明 m=1时，α是一个对换由定理5.4知结论成立 假设对m-1情形，结论成立 sgn(αβ)=sgn(τ1τ2…τmβ) =-sgn(τ2τ3…τmβ)=-sgn(τ2…τm)sgn(β) =sgn(τ1τ3…τm)sgn(β)=sgn(α)sgn(β) ∴结论成立 推论5.6 ?α1α2…αk∈Sn,sgn(α1α2…αk)sgn(α1 )…sgn(αk) 定理5.7称置换α∈Sn为偶置换，若sgn(α)=1，称置换α∈Sn 为奇置换，若sgn(α)=-1,α和β同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。 ★恒等变换为偶置换 例5.8：判断下列置换的奇偶性 ⑴α,β∈S7 α =(13)(24) β=(12)(23)(34) ⑵γ∈S8 γ=(367)(48) 解：⑴α=(13)(24)(5)(6)(7) sgn(α)=(-1)7-5=1——偶

质数与合数、数的奇偶性

一、质数与合数 1、质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。（最小的质数是2） 2、合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫合数。（最小的合数是4） 注：1既不是质数，也不是合数。 二、数的奇偶性 1、根据奇偶性判断事件发生的情况 2、奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数 练习： 一、填空。 1、两个质数的和是22，积是85，这两个质数是（）和（）。 2、24的因数中，质数有（），合数有（）。 3、一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三位数是（），它同时是质数（）和（）的倍数。 4、如果两个不同的质数相加还得到质数，其中一个质数必定是（）。 5、一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既不是质数也不是合数，个位上既是奇数又是合数，这个数是（）。 6、两个都是质数的连续自然数是（）和（）。 7、判断下列算式的结果是偶数还是质数 132+246 （） 525+647（） 504+5103（） 7+8+9+10（） 二、判断对错： 1、一个自然数不是奇数就是偶数。（） 2、能被2和5整除的数，一定能被10整除。（） 3、所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。（）

4、一个质数的最大因数和最小倍数都是质数。（） 5、质数的倍数都是合数。（） 6、一个自然数不是质数就是合数。（） 三、选择题。 1、一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫（） A. 奇数 B. 质数 C. 质因数 D、合数 2、一个合数至少有（）个因数。 A. 1 B. 2 C. 3 D 、4 3、10以内所有质数的和是（） A. 18 B. 17 C. 26 D、19 4、在100以内，能同时3和5的倍数的最大奇数是（）。 A、95 B 85 C、 75 D、99 5、从323中至少减去（）才能是3的倍数。 A、减去3 B、减去2 C、减去1 D、减去23 6、20的质因数有（）个。 A、 1 B、2 C、3 D、4 7、下面的式子，（）是分解质因数。 A、54＝2×3×9 B、42＝2×3×7 C、15＝3×5×1 D、20=4×5 8、任意非零两个自然数的积是( )。 A、质数 B、合数 C、质数或合数 四、解决问题 1、小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？ 单元练习 一、我会填。 1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），

高一数学奇偶性练习题

函数奇偶性练习 一、选择题 1．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） 3．已知f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 4．设f(x)为定义在R 上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 5．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)f(1)

6．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负 当x ∈[－3，－2]时，f(x)＝4x ，则f(107.5)＝( ) 8． 已知定义域为R 的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f ? ?? ???12＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为( ) A.? ?? ???0，22∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C.? ?????0，12∪(2，＋∞) D.? ?? ???0，12 9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 10．已知f （x ）＝x 5＋ax 3 ＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10

函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等， 判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论. 结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

[高中数学必修一]132函数的奇偶性测试

函数的奇偶性 一、知识回顾： 1、函数的奇偶性： （1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．． ： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数. （2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称. （3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 . 2、函数的周期性 对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个 值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期. 二、基本训练： 1、以下五个函数：（1）)0(1≠=x x y ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________ 变题：已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 的奇偶性如何？ 2、函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________ 3、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则 =)7(f _______ 4、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）以上均不对 5、函数)0)(()1 221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）不是奇函数也不是偶函数 三、例题分析： 例1、（1）如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ （2）若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____ （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______ （4）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( )

专题：函数的奇偶性与单调性题型汇总

专题：函数的奇偶性与单调性题型汇总 题型1：证明函数的奇偶性与单调性班级姓名 例1、证明函数 y =在定义域上是奇函数．例2、证明函数3 1y x =--在定义域上是减函数．题型2：函数奇偶性的判断 例3、判断函数955 y x =--奇偶性．题型3：研究函数的单调性并确定函数的单调区间 例4、研究函数1 x y x =+的单调性并确定它的单调区间．题型4：函数的奇偶性的简单应用 例5、已知53()8f x x ax bx =++-，且f(-2)=10，则f(2)=． 例6、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2 ()21f x x x =-+，求()f x 在R 上的表达式．

例7、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[1,2]a a -则a=b=．例8、函数1()1a f x x x a =+-+是奇函数，求实数a．题型5：二次函数单调性的应用 例9、已知函数2 ()(1)28f x x a x a =+-+-在(,3]-∞上是减函数，求a 的取值范围．例10、已知函数2 ()(31)1f x ax a x =--+在[1,2]-上是增函数，求a 的取值范围．题型6：复合函数的单调区间的确定 例11、函数()f x =的递增区间是————————————————————————．例12、函数227()2 x x f x x ++=-的递减区间是————————————————————————．例13、已知2()28f x x x =-++，求函数2 (2)f x -的单调区间．

题型7：函数的奇偶性与单调性的综合应用 1、求值 2、例14、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2 (3)(2)f x f x -=的所有x 的值．例15、若函数()f x 在R 上的奇函数，(1)2,(3)()f f x f x =+=-，求(2003)f 的值． 2、解不等式 例16、若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2 (2)(4)0f x f x ---<．例17、函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ?=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->． 例18、若函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且(()()x f f x f y y =-，若(3)1f =，解不等式：1()()28 f x f x -≥-．

函数奇偶性与单调性综合应用--专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么如何证明一个函数的单调性 2.@ 3. 函数奇偶性的概念是什么如何证明一个函数的奇偶性 4.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点偶函数呢 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.-

6. 根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的 取值范围）； 7.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.@ 5. 函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 6.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . [ 【典型例题】

高一数学奇偶性训练题_题型归纳

高一数学奇偶性训练题_题型归纳 1．下列命题中，真命题是() A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数 C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数 D．函数y＝ax2＋c(ac0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数 解析：选C.选项A中，y＝1x在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为() A．10B．－10 C．－15 D．15 解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－28＋1＝－15. 3．f(x)＝x3＋1x的图象关于() A．原点对称B．y轴对称 C．y＝x对称D．y＝－x对称 解析：选A.x0，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称． 4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________. 解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数， 区间[3－a,5]关于原点对称， 3－a＝－5，a＝8. 答案：8

1．函数f(x)＝x的奇偶性为() A．奇函数B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x|x0}，不关于原点对称．2．下列函数为偶函数的是() A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋1x C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝|x|x2 解析：选D.只有D符合偶函数定义． 3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是() A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x) 则F(－x)＝F(x)为偶函数． 设G(x)＝f(x)|f(－x)|， 则G(－x)＝f(－x)|f(x)|. G(x)与G(－x)关系不定． 设M(x)＝f(x)－f(－x)， M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)为奇函数．

函数的奇偶性专题

《函数的奇偶性》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名 逃避只会带来更大的阴影。 注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y 轴对称或者关于原点对称。 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- （2）32 ()1 x x f x x -= - （3）x x x f +=3 )( （4）1 1 )1()(-+-=x x x x f （5）f(x) =x+x 1； （6）()f x = （7）()f x = （8）0,)(≠=a a x f 偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数，且

【类型一】分段函数奇偶性的判断 例1.判断函数的奇偶性：2 211(0)2 ()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--+-=) 0(320) 0(32)(22x x x x x x x f ，是奇函数. 例2.)(x f 为R 上的偶函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(+∞∈x 时， =)(x f x(x+1) 若f(x)是奇函数呢？ 【类型二】已知函数的奇偶性求参数值： 例3、已知函数2 ()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．

练习：1.如果二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是偶函数，则b = 0． 2．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a=1 3 b= 0 【类型三】构造奇偶函数求值 例4、已知函数53()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f 的值。 练习 1.已知f (x )＝x 7＋ax 5 ＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( -15 ) 2.若)(x ?，g （x ）都是奇函数，()()()2f x a x bg x ?=++在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1 常用结论： (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.