赤藓糖醇对变形链球菌生长和产酸能力影响的体外实验研究

赤藓糖醇对变形链球菌生长和产酸能力影响的体外实验研究

吴玉琼姚军陈晓红肖高天黄美香魏婷婷

【摘要】目的：对比不同浓度下赤藓糖醇对变形链球菌生长和产酸能力的影响。方法：用含0%、0.5%、1%、2%、4%、8%、12%、16%赤藓糖醇的TPY培养基在厌氧条件下培养变形链球菌，分别于0、2、4、6、8、10、12、18、24小时测量液体培养基的OD值和PH值，运用SPSS描绘其生长曲线图。结果：变形链球菌在含赤藓糖醇（除0.5%外）的TPY培养基内生长和产酸能力均受到明显抑制。结论：赤藓糖醇（浓度在1%以上）可以抑制变形链球菌的生长和产酸能力，可作为一种理想的防龋甜味剂。

【关键词】赤藓糖醇变形链球菌生长产酸

In vitro study of erythritol on growth and acid production of Streptococcus mutans.WU Yu-qiong,YAO Jun,CHEN Xiao-hong,XIAO Gao-tian,HUANG Mei-xiang,WEI Ting-ting

【Abstract】:Objective To study the inhibitory effect of erythritol on growth and acid production of Streptococcus mutans.Methods Streptococcus mutans were incubated respectively in0.5%、1%、2%、4%、8%、12%、16%erythritol TPY-culture medium under anaerobic conditions.The OD and PH value of the mediums were measured at0,2,4,6,8,10,12,18,24hour,following the profile plots by SPSS.Results The growth and acid production of Streptococcus mutans were inhibited in the erythritol culture medium(except0.5%).Conclusion Erythritol can inhibit the growth and acid production of Streptococcus mutans,and can be used as a promising sweetener for preventing caries risk.

【Key words】erythritol;Streptococcus mutans;growth;acid production

龋病的发生与口腔中变链菌代谢饮食摄入的蔗糖有密切关系，使用低致龋性糖代用品代替蔗糖是一种有效防龋措施。赤藓糖醇具有与蔗糖相似的甜度，且由于其独特的代谢特性，决定了它的低能量值（仅是蔗糖能量的5%～10%）、高耐受量（80%会迅速彻底地被小肠吸收），及难以被细菌发酵利用[1]。本实验比较了不同浓度下赤藓糖醇对变形链球菌生长和产酸能力的影响，来论证赤藓糖醇在防龋方面发挥的作用，为人们进一步研究、使用赤藓糖醇提供实验依据。

1材料与方法

1.1实验菌株和培养基

1.1.1实验菌株Ingbritte变形链球菌（标准株），四川大学华西口腔医学院提供。

1.1.2培养基①TPY培养基：胰蛋白胨15g，酵母提取物4g，葡萄糖10g，磷酸二氢钾6g，氯化钠1.5g，无水碳酸钠1.5g，K2HPO4﹣3H2O1.5g，琼脂1

2.5g，加蒸馏水至1000ml;②赤藓糖醇—TPY培养基：在TPY 培养基中分别加入赤藓糖醇，使其浓度分别为0.5%、1%、2%、4%、8%、12%、16%。上述8种培养基分别配制20ml，于121℃、133MPa消毒15min，备用。

1.2实验仪器

PHS—25型酸度计（PH计）、净化工作台、YQX-Ⅱ厌氧培养箱、酶标仪、电子分析天平、TDGC2—3接触调压器、蒸汽消毒器

1.3实验方法

1.3.1变形链球菌复苏、培养和菌悬液的制备

在超净台内，接种冻干的变形链球菌标准株至TPY 培养基内，37℃，90%N 2、10%CO 2

条件下培养24h 后，取单个菌落接种于TPY 固体培养基，相同条件下培养24h，再挑取单个菌落至TPY 液体培养基中，振荡均匀后在酶标仪上测620nm 波长处的吸光度为1.0，此菌液为本实验的所需工作菌悬液。1.3.2变形链球菌在8种培养基内的生长、产酸情况的比较

各取200μl 菌悬液加入8支培养液中，振荡均匀后分装于小试管中，每支2ml，送入厌氧培养箱培养（37℃，90%N 2、10%CO 2）分别于0、2、4、6、8、10、12、18、24小时各取出相同浓度的3支小试管在酶标仪上测量液体培养基的OD 值，并用PH 计测量培养基的PH 值。1.4统计学分析

采用SPSS11.5统计程序进行多因素方差分析。

2结果

2.1赤藓糖醇对变形链球菌生长情况影响

对比不加赤藓糖醇与各浓度赤藓糖醇TPY 培养基下细菌的生长情况（见图1—7，横坐标0～9分别表示0、2、4、6、8、10、12、18、24小时）

细菌的生长情况以OD 值表示。OD 值越高，表明细菌数量越多，其生长越旺盛。

除0.5%浓度外，其余浓度赤藓糖醇培养基下细菌的OD 值均较不加赤藓糖醇培养基的OD 值低（P<0.05）。表1生长曲线的F 值与p 值

注：F 值为组间变异，F 值远大于1，则推断组间变异与处理因素有关，即处理组间差别有统计意义。P<0.05认为差别有统计学意义。

浓度F p 0与赤0.5%7.0010.0570与赤1%14.1920.0200与赤2%208.6120.0000与赤4%571.7330.0000与赤8%2213.4720.0000与赤12%8491.8420.0000与赤16%

13641.23

0.000

图1

0与0.5%赤藓糖醇

图2

0与1%

赤藓糖醇

图3

0与2%赤藓糖醇

图40与4%赤藓糖醇

图50

与8%赤藓糖醇

图60与12%赤藓糖醇

图70与16%赤藓糖醇

2.2赤藓糖醇对变形链球菌产酸能力影响

对比不加赤藓糖醇与各浓度赤藓糖醇TPY培养基下细菌的产酸情况（见图8—14，横坐标0～9分别表示0、2、4、6、8、10、12、18、24小时）

PH值越低，说明细菌产酸越多，间接表明细菌数量越多，生长也越旺盛。

除0.5%浓度外，其余浓度赤藓糖醇培养基下细菌的PH值均较不加赤藓糖醇培养基的PH值高（P<0.05）.

表2PH值变化曲线的F值与p值浓度F p 0与赤0.5%0.7150.445 0与赤1%26.1590.007 0与赤2%1160.2540.000 0与赤4%2730.9900.000 0与赤8%9296.6350.000 0与赤12%21140.700.000 0与赤16%74827.370.000

图100%与2%赤藓糖醇

图110%与4%

赤藓糖醇

图140%与16%赤藓糖醇

3讨论

牙菌斑内的细菌代谢食物中的糖，在短时间内产生大量的乳酸等有机酸，使牙釉质中的无机盐发生溶解，是龋病发生的直接原因。变形链球菌是牙菌斑中最主要的致龋菌，对龋病的发生、发展起着决定性的作用。赤藓糖醇是一种多羟基化合物，分子量小，容易通过被动扩散被小肠吸收，大部分进入血液循环，又不能被机体内的任何酶系统消化降解，只能通过肾从血液中滤去，经尿排出体外，而另有小部分直接进入大肠。研究表明进入大肠中的少量赤藓糖醇很难被细菌发酵利用，也不会使牙齿发生龋变②。本实验着重考察体外赤藓糖醇对变形链球菌生长和产酸的影响，结果显示对比不加赤藓糖醇的TPY培养基，浓度在1%以上的赤藓糖醇培养基内细菌的生长明显下降，产酸也受到抑制（p<0.05）。

酶标仪测定的原理是在特定波长下，检测被测物的吸光值，其与同一种被检测物的浓度成定量关系，用OD值表示。培养基浑浊度的改变主要是由细菌生长引起，故细菌的生长情况可以用OD值表示。OD值越高，表明细菌数量越多，细菌生长越旺盛，PH 值越低，说明细菌产酸越多，间接表明细菌数量越多，即细菌生长越旺盛。本实验通过观察细菌在0、2、4、6、8、10、12、18、24小时的OD值与PH值，描绘细菌24小时内的生长曲线图及PH变化曲线图，以获得赤藓糖醇最佳的抑菌浓度及24小时内的抑菌情况。

实验结果证明，赤藓糖醇浓度越高，OD 值越小，PH值越大，由图可见，变形链球菌生长的对数期斜率越小，PH值下降越平缓，说明其抑菌效果更明显。但其确切的抑菌及防龋机制还不十分清楚，有待进一步研究。

综上所述，变形链球菌在赤藓糖醇TPY 培养基中其生长、产酸均受到明显抑制，证明了赤藓糖醇作为糖代用品及新型防龋食品的良好应用前景。

参考文献：

[1]张安国，李克文.赤藓糖醇的生理特性.中国食品报，2004，2，16

[2]刘华秋.赤藓糖醇的代谢特性中国食品质量报，2004，6，19，第007版

代数式恒等变形及答案

代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

初中奥数恒等变形知识点归纳整理.pdf

初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6

再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

人体口腔中变形链球菌诱发龋齿的讨论

人体口腔中变形链球菌诱发龋齿的讨论摘要：近年口腔问题也成为人们越发关注的方面，龋病是危害人类口腔健康最普遍的疾病，已把龋病列为癌症和心血管疾病之后的第三大重点防治疾病[1]。国内龋病的发生率呈上升趋势，而发病的年龄在逐渐降低，发病类型多为窝沟龋[1]。研究表明，变形链球菌群（mutans streptococci，MS）是人和动物主要致龋菌，但从人类口腔内主要检测出的MS主要是变形链球菌（streptococcus mutans，简称变链菌）[2]。该文的目的，在于综述口腔中变链菌的分离和鉴定方法。从标本的取样、收集、分离、鉴定的步骤入手进行试验，并对实验结果展开讨论分析，进一步分析现状和提出自己的看法。 关键词：龋齿、变形链球菌、分离、鉴定、综述 1、简介 据报道人体的口腔内含有700多种细菌[3]，人类口腔中始终存在唾液,牙齿萌出或清洁后不久,唾液中的大量蛋白类物质可以选择性吸附于牙釉质表面[4]，唾液是一种天然的“万能培养基”，含有各种无机物，可影响离子强度、渗透压等，提供微生物生长的环境或刺激其生长。口腔内有需氧，兼性厌氧和专性厌氧（严格、温和、微厌氧、嗜二氧化碳菌，不同的人群不同的病变类型存在的细菌也不同[7]。细菌易停留在口腔内不易清洁的区域附着并生长，不同的细菌对口腔内各表面的粘附能力不同，故生长的区域也会不同。通常口腔内的微生物处于平衡状态，细菌之间相互制约、相互依存，这种关系的平衡使得人体口腔维持正常的生理状态，列如，变形链球菌（S.mtanus）能产生乳酸而韦荣氏菌（veillonella）及真杆菌又能能利用乳酸作为部分能量来源；口腔微生物之间还存在着拮抗作用，能大量分离出放线共生嗜血杆菌的龈下菌斑中，很少甚至于不能分离出菌斑固有的菌丛----血链球菌和乳房链球菌，相反，能够分离出血链球菌和乳房链球菌的部位，几乎不能分离出H.a菌。总之，在一个群体中，这些细菌独立存在，但相互之间密切相关。 口腔内的细菌平衡状态被破坏就会引发一些疾病，例如龋齿，也就是我们常说的虫牙，早期无自觉症状，逐步加深，会有冷热水敏感饮食疼痛等，龋坏达牙神经时，会有自发性疼痛产生。龋齿的发病率很高，致病的四联因素：细菌、食物、宿主、时间[7]，通俗的说就是口腔内的清洁不彻底，后牙槽较难清洁容易造成残留食物残渣的堆积，长此以往在细菌的作用下就会形成小黑点也就是虫牙。 本文根据该菌的生态学、生理生化的特点及一系列实验，分析了与变链菌耐酸、附着部位、致病性等。初步探讨了变链菌引发龋齿的原因及引起人们对龋病预防的重视[5]。 2、研究现状 研究表明，变形链球菌群（mutans streptococci，MS）是人和动物主要致龋菌，但从人类口腔内主要检测出的MS主要是变形链球菌（streptococcus mutans，简称变链菌）[6]。致病能力在于能利用蔗糖合成细胞外多糖，粘附于牙齿表面，参与菌斑的形成，同时产酸使牙齿表面脱矿而引起龋病[2]。当此菌超过一定数量即有致龋的可能，所以，临床上常以其为指

2代数式恒等变形

代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．

变形链球菌与龋齿

变形链球菌与龋齿 版主薇荷 龋齿病原菌龋齿是危害大众健康的常见口腔疾病，现已证实变形链球菌（S.mutans，简称变链）是引起引起龋齿的重要原因菌，另外，血液链球菌（S.aanguis,简称血链），轻型链球菌（S.mitis,简称轻链），唾液链球菌（S.salivarius,简称唾链），米勒链球菌（https://www.wendangku.net/doc/493380925.html,leri）也能引起龋齿。 变链根据其细胞壁多糖抗原的组成成分和立体结构不同，可分为a、b、c、d、e、f 、g 、h等8个血清型。国内学者进行的血清分型和质粒检测结果表明，引起龋齿的变链血清型主要是c型，未见a、b型，与国外有关报道相似，说明c型是主要致龋变链菌的血清型。 发病机理古贺（1986）提出关于变链的发病机理。光滑的牙釉质经唾液流过，唾液中的糖蛋白可立即粘附其上，形成1um厚的薄膜，称获得性膜。变链有血清型的多糖抗原、脂磷壁酸等成分，即使在无蔗糖时也能通过离子键、氢键和疏水基等粘附在该膜上，但粘附的变链很少，此称非蔗糖依赖性粘附。在有蔗糖时，产生非水溶性葡聚糖，对牙面有强烈的粘附作用，变链菌大量粘附，称蔗糖依赖性粘附，因而形成牙菌斑。变链在菌斑上繁殖产酸，溶解牙表面的釉质，形成牙釉龋。细菌可穿过牙釉龋进入牙本质，溶解其中的磷酸钙，形成本质龋。 分离鉴定近十年来，链球菌属的分类发生了一些变化。主要特点是属内菌种的数量减少，肠球菌、乳球菌等另立门户。变化的另一个特点在草绿色链球菌，提出了新菌群的概念。根据这一改变，变异链球菌群包括：变异链球菌、

仓鼠链球菌、糖村链球菌、野生链球菌、猕猴链球菌、鼠链球菌、表兄链球菌。 变异链球菌群的鉴别可依据下表。 附表变异链球菌群的鉴别 发酵 甘露醇+ + + + + 山梨醇+ + + d + 蜜二糖+ 未知 d d + 棉子糖+ - + d + 水解 精氨酸- - - - + 七叶苷+ + d d + VP + d + + + 2005.9.3

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

代数式的恒等变换

代数式的恒等变换方法与技巧 例：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤????≥??+-≤≥??? 222(4)8(2)44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件 24(4)44048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤ 。 这时，原方程有惟一实根x =。 一、分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立： （a =； （b 1=； （c 2=。 解： (0)m m =≥ 记方程左边为f(x)， 则()f x =

1 |1|1|1 1 2 x x ≥ == ≤≤ 由此可知， 当m=时，原方程的解集为 1 [,1] 2 ； 当m∈时，解集为?； 当) m∈+∞ m =，解得2 1 (2) 4 x m =+。 即当) m∈+∞时，原方程的解集为2 1 {(2)} 4 m+。 例2：在复数范围内解方程组222 555 3, 3, 3. x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解：考虑数列* , n n n n a x y z n =++∈N。不难证明此数列满足递推式321 ()() n n n n a x y z a xy yz zx a xyza +++ =++-+++，其中 125 3,3 a a a ===。 利用基本恒等式，得2 12 1 ()3 2 xy yz zx a a ++=-=， 3123 11 [()] 33 xyz a a a xy yz zx a =--++=， ∴{} n a的递推式化为* 3213 1 33, 3 n n n n a a a a a n +++ =-+?∈N 由此得 432313543323 11 3349,331027 33 a a a a a a a a a a a a =-+?=---+?=- 由 5 3 a=，得 3 10273 a-=，∴ 3 3 a=。∴ 3 1 1 3 xyz a ==。 综上所述知，原方程组等价于 3, 3, 1. x y z xy yz zx xyz ++= ? ? ++= ? ?= ? 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33 3310 t t t -+-=的三根， 此三次方程即3 123 (1)0,1 t t t t -=∴===， 这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根 1 2 ω=-+的性质来解。 二、利用对称性 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换 式，但不是对称式。由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x 1最大（或最小）。

代数式恒等变形

代数式的恒等变形 模块一 基本代数式变形 知识导航 若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+- ()()224x y x y xy -=+- ()24422222x y x y x y +=+- ||x y -= ()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ??+=+-+=++-?? 若已知x 2－5x +1=0，可得x ＋ 1x =5，由此可以求出一些典型代数式的值： x 2＋21x =212x x ??+- ?? ? 22114x x x x ????-=+- ? ????? 24242112x =x x x ??++- ??? 1x x -= 刻意练习 1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2 x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值． 2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x +的值．

（2016—2017六中八上月考） 若0＜x ＜1，1 3x =x +，则221 x =x -________． 练习 （2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b a a b +++的值为（ ） A ．2 B ．8 3 C ．4 D ．349 例2 （1）已知13x x +=，求2 42________1x x x =++ （2）已知2410a a ++=，且42321 33a ma a ma a ++++＝5，求m ． 练习 已知2421x x x ++＝14，则4225155 _________3x x x -+=．

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿

代数式与恒等变形

第5讲 爹代数式与恒等变形 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）． 恒等式证明的一般方法： 1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向． 2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式． 3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边 左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路， 本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍， 题1 求证 ：=-+?+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n 对同底数幂进行合并整理， 解 方法一： 左边)222()33(55221n n n n n -+-+++??=++ )22(2)13(35103121+-++?=-+n n n 11210310510-+?-?+?=n n n )235(1011-+-+=n n n =右边， 方法二： 左边)12(2)13(352222+-++?=+n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 右边11210310510-+?-?+?=n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 故 左边=右边． 方法一中受右边 ”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、 +与12-n 为主元合并，迅速便捷． 读一题，练3题，练就解题高手

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法： )(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性） （2）如果bd ac c d b a ==那么（项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么 c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么 d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么 )(等比性质b a n d b m c a =++++++

4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-= +-=-+， 又abc a c c b b a x ) )()((+++=，且0

代数式恒等变形及答案.doc

精心整理 代数式恒等变形 A 卷 2 b ，a 、b 是常数，则（） 1、若 2 x 1 M a x 5x 6 x 2 x 3 A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、 M a b 6 D 、 a b M 10 答案： C 解答： 由已知等式得： x 2 1 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b x 2 5x 6 x 2 5 x 6 ∴ x 2 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b M 1 M 1 ∴ 5M a b 0 ，解得： a 3 6M 3a 2b 1 b 8 提示： 利用待定系数法解决问题。 2、（2002 年重庆市初中竞赛题）若 x 2 19 4 1 （） 2 x 1 0 ，则 x 4 x A 、 11 B 、 121 C 、 89 D 、 27 4 16 16 4 答案： C 解答： ∵ x 0 ∴ x 1 19 ， x 2 x 2 ∴ x 4 1 x 21 x 4 x 2 1 11 2 x 4 2 89 2 16 1 1 2 提示： 本题的关键是利用 x 2 x 2 进行化简。 x 2 x 3、（2001 年全国初中数学竞赛）若 3 4 3 2 的值是（） 4x x 1 ，则 8x 12x 2 x 5 x 5 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8

精心整理 答案： D 解答：∵4 x 3x 1 ∴ 8x 412x3 2 x25x 5 2 x 4x 3x 3 4 x 3x 2 x 5 2x 3 2x 58 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。 4、（全国竞赛题）如果 a b 2 a 1 4 b 2 3 c c ，则 a b c 的值是（） 35 2 A、6 B、8 C、20 D、24 答案： C 解答：∵ a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5 2 ∴ a 1 2 a 1 1 b 2 4 b 2 4 1 c 3 6 c 3 9 2 3 5 0 2 2 2 1 c 2 ∴ a 1 1 b 2 2 2 3 3 ∴ a 1 1 0 ， b 2 2 0 ， c 3 3 0 ∴a 2 ， b 6 ， c 12 ∴a b c 20 提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。 5 、（第1 6 届“希望杯”初二年级竞赛题）已知 a 是整数， x、 y 是方程x 2 xy ax ay 1 0 的整数解，则x y __________或. 答案： 1 解答：原方程可以变形为：x x y a x y 1 即 x y x a 1 ∵a、x、y 都是整数 ∴ x y 1 或x y 1 x a 1 x a 1

恒等证明-第九讲代数式的恒等变形学生版

第九讲 代数式的恒等变形 一、化简 例1 化简 ()()() ()()()()32112121234123123412112n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++++ ++++++++???++???+ 例2 已知221mn x n =+，且m ＞0,0＜n ＜1,化简()()()()2122 1122.m n m x m x m x ++-+-- 例3 10,x -<<若化简221111 1.1111x x x x x x x x ????+-+-+ ? ? ? ?+---+-??? ? 化简问题应根据题目本身特点运用分解因式、分式、根式等基本概念和运算法则，作适当的恒等变形简化运算过程。

二、求值问题 例1 37271333 +-32求1+的值。3 。 例2设a 、b 、c 均为大于1的整数，且a b c <<，若()()()111ab bc ca ---能被abc 整除，求符合条件a 、b 、c 的值。 三、证明问题 例1 已知a 、b 、c 、d 为四边形的四条边，且4444 a 4 b c d abcd +++=。 求证 这四边形是菱形。 例2 关于χ的方程2()()()()0a b c d m χχχχ-----=中，m 是质数，a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且方程有整数解。 求证 a b c d +++可被4整除。

例3 已知312123123123.()n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ====、、、、、都是正数 求证 112233n n a b a b a b a b ＋＋＋＋＋＋＋＋ 123123(n n a a a a b b b b ＝＋＋＋＋）（＋＋＋＋） 。 四、解方程 例 解方程2 2(1013)(58)(1)1χχχ+++=. 五、练习题 1.化简 2 3 2()a a b b b a a a b b -++++33ab b a b --

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_代数式、恒等式、恒等变形(含详解)

初中数学竞赛专项训练 （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿

八年级奥林匹克竞赛讲义 第11讲：专题复习：代数式的恒等变形

第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形 【知识梳理】 1、恒等式的意义 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。 2、代数式的恒等变形 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。 3、基本思路 （1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边； （2）两边同时变形为同一代数式； （3）证明：0=-右边左边，或 1=右边左边，此时0≠右边。 4、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。 【例题精讲】 【例1】已知1=abc ，求证：11 11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。 思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且x z y y x 1z 11+=+=+ ，求证：1222=z y x 。 【拓展】若0≠++z y x ，y x z c z x y b z y x a +=+=+=，，， 求证： 11 11=+++++c c b b a a 。 【例2】证明：a a z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。 思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。

【巩固】1、求证??? ??+??? ??+??? ? ?++=??? ??++??? ??++??? ??+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。 2、求证： ()()()()()() d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。 【拓展】求证：()()()() ()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x

初中数学竞赛专题训练之代数式、恒等式、恒等变形含答案

初中数学竞赛专项训练（2） （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿

第二讲：代数式的恒等变形

第二讲：专题复习：代数式的恒等变形 【知识梳理】 1、恒等式的意义 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。 2、代数式的恒等变形 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。 3、基本思路 （1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边； （2）两边同时变形为同一代数式； （3）证明：0=-右边左边，或1=右边 左边，此时0≠右边。 4、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。 【例题精讲】 【例1】已知1=abc ，求证：11 11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。 思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。 【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且x z y y x 1z 11+=+=+ ，求证：1222=z y x 。

【拓展】若0≠++z y x ，y x z c z x y b z y x a +=+=+=，，， 求证： 11 11=+++++c c b b a a 。 【例2】证明：a a z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。 思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。 【巩固】1、求证??? ??+??? ??+??? ? ?++=??? ??++??? ??++??? ??+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。 2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。 【拓展】