08
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1. 06求下列极限:(1).
(1)
lim n n n α
α→∞
??+-??,其中01α ;
(2)2
24cos arcsin 0
lim
x x e
x
x --→
2.设函数f(x)=
1
sin ,00,0
m x x x x ?≠?
=?。讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性,可微性及导函数的连续性。 3.设u=f(x,y+z)二次可微。给定球变换cos sin x ρθ?=,sin sin y ρθ?=,cos z ρ?=.计算22
,u u
?θ
????。
4.设f(x)二次可导,
'()f a ='()f b =0。证明(,)a b ξ?∈,使2
''4()()()()
b a f f a f b ξ-≥
-。
5.设函数项级数
1
()n
n u x ∞
=∑在区间I 上一致收敛于s(x),如果每个()n
u x 都在I 上一致连续。证明s(x)在I 上一致连续。
6.设f(x,y)是2
上的连续函数,试交换累次积分
2
1
1
1
(,)x x x
dx f x y dy +-+?
?的积分次序。
7.设函数f(x)在[0,1]上处处可导,导函数'()()()f x F x G x =-,其中()F x ,()G x 均是单调函数,并且'()f x >0,[0,1]x ?∈。
证明
0c ?>,使'()f x c ≥,[0,1]x ?∈。
8.设三角形三边长的和为定值P 。三角形绕其中的一边旋转,问三边长如何分配时旋转体的体积最大?
05
1.(20')1)
11
(2)lim(
),()0,()()()()()
()()0,()n n n n x a
a b b
b
f a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限()而因此其中存在
解:由于存在,从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)2
22
22
2(())
2
11()()(()())
lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))
2lim(
()()()((()))
2
lim
x a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)2
22
22()(())
2()()()((()))
2
1
()
()2lim ()2[()]()(()(())
2
a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==-
-'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)
000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()lim
x x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠?==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在,上可微,且的每一个零点都是简单零点,即若则f 证明:在上只有有限个零点。
证明:设若不然在上有无穷多个零点,不妨设{x x 则存在{x 的一个子列x 使得x 且x ,从而则0
00000
()()()()
lim 0()[0,1]x x f f x f x f x x x x x f x →--==--k n x 与题设相矛盾!所以在上只有有限个零点。20
03.(20')()21()0
(2)()(),,()()(),,0,0,[0,2],[0,2],()()f x R f x dx f x f y L x y x y R
f x L
f x f y L x y x y R x x x f x f L x πππεδππδδ∈=-≤-?∈≤-≤-?∈?>?>∈?∈-<-≤-<
?
x R 000设是上的周期函数,满足:()证明:(1)f(x)在R 上可以取到最大值,最小值 (2)max 证明:(1)由知
取x 当时,有x x 取[0,2]220
,()(),
()[0,2]()[0,2]()2)()1()0[0,2]()()0
2)()f x f L
f x f x f x R f x f x dx f f x dx f πππ
ε
επππππ
∈-<==?∈=
===?
?
0M x 00M 0M 0则有x 从而在上连续,既在上可以取到最大值,最小值又是上的周期函数,所以f(x)在R 上可以取到最大值,最小值。(2)令f(x max 由知x ,使得x 以下分三种情况讨论:(a)当x x 时
f(x x [0,2]0()0)())()2)()()(2)2())())()2)()()(2)2f x L f f f L L L c f f f L L L ππππππππ∈=?=≤>-=-++-≤-++-=-=-++-≤-++-=x M 00M 0M 0M 0M 0M M 00M M 0M 00M M 0max (b)当x x 时,由f(x)的周期性,得
2f(x x f(x x f(x x x x x x 当x 2f(x x f(x x f(x x x x x x 从而由(a ()()c f x L π∈≤x R ),(b),知道max 22224.160,cos (sin )sin cos cos sin cos sin cos sin u u x y y x u u u r x r u u u r y r u u u u u u x y r r r r y x r r θθθθθθθθθ θθθθθθθθ??'? -?=??≠???=?+??-??????=?+????????????-?=???+-?+=??????()将方程变为以极坐标r,为自变量的形式,其中极坐标变换为x=rcos ,y=rsin (r 0)解: 因此2 20 u r u r θ θ ???=?所以方程为 1 1 1115.20{}112lim 1)()1lim ,0,lim 1 1 12)011n n n x n n n n n n n n n n n n n n n n n a L a x x f x L a a L L a a L a L a a a a a a A L a x a x ε- ∞ →+→∞ →∞+++∞'--==≠=-+---=≤≠-∑∑n=1n=1 n=1()设数列有极限,证明(1)f(x)=在(,)上有定义 ()(证明:()因为若则有(事实上 所以时,f(x)=的收敛区间为(,)从而f(x)=21 1 1 11 1 11 11lim 0,0,(1111lim 1)()lim lim()lim()li n n n n n n n n n n n x x x n n n n x a N n N a x x a x x f x a x a x a x a x --- -∞ →∞ ∞ ∞ ∞ +→→→∞ ∞ +++→-=?>→∈ ---=-=-=∑∑∑∑∑∑ ∑n n=1 n=1 n=1 n=0 n=1 在(,)上有定义 若L=0,则,当时,当(,))所以L=0时f(x)=在(,)上有定义 (2)((f(x)-xf(x))=1 1111 1 11111111 m() lim(())()lim()n n n n x n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a a a a a a L - - ∞ ∞ +++→∞ ∞ ++++→∞ →+-=+-=+-=+-=∑∑∑∑n=1 n=1n=1 n=1 22222226.(20')()0. 220 22()(1)202,,0202,,002{z x y z a a a z z az a a x y z a a a a a or a a a a or a a a ≥++-≤>=?-+-=++-=-<><-=====求由圆锥体所围成的立体体积,其中解:当时,即时圆锥体与球体不相交,从而所围体积为0(2)当时,即时 (a)时,球体缩为一个点,从而所围体积为0(b)时, 圆锥体与球体相切,此33 21 2200233 21 220 ,01,021111 2((1)) 2333 (3)201111 2((1)) 2333 a r a r r V dxdydz d dr a a a a a V dxdydz d dr a a a π πθθπθ θπθπ≤≤≤≤===+----<===---+????????????