文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 苏州大学00-09数学分析考研试卷

苏州大学00-09数学分析考研试卷

08

07

1. 06求下列极限:(1).

(1)

lim n n n α

α→∞

??+-??,其中01α ;

(2)2

24cos arcsin 0

lim

x x e

x

x --→

2.设函数f(x)=

1

sin ,00,0

m x x x x ?≠?

=?。讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性,可微性及导函数的连续性。 3.设u=f(x,y+z)二次可微。给定球变换cos sin x ρθ?=,sin sin y ρθ?=,cos z ρ?=.计算22

,u u

????。

4.设f(x)二次可导,

'()f a ='()f b =0。证明(,)a b ξ?∈,使2

''4()()()()

b a f f a f b ξ-≥

-。

5.设函数项级数

1

()n

n u x ∞

=∑在区间I 上一致收敛于s(x),如果每个()n

u x 都在I 上一致连续。证明s(x)在I 上一致连续。

6.设f(x,y)是2

上的连续函数,试交换累次积分

2

1

1

1

(,)x x x

dx f x y dy +-+?

?的积分次序。

7.设函数f(x)在[0,1]上处处可导,导函数'()()()f x F x G x =-,其中()F x ,()G x 均是单调函数,并且'()f x >0,[0,1]x ?∈。

证明

0c ?>,使'()f x c ≥,[0,1]x ?∈。

8.设三角形三边长的和为定值P 。三角形绕其中的一边旋转,问三边长如何分配时旋转体的体积最大?

05

1.(20')1)

11

(2)lim(

),()0,()()()()()

()()0,()n n n n x a

a b b

b

f a f a f x f a x a f a x a f a f a →<≤≤=='''-≠'---''''''≠求下列极限()而因此其中存在

解:由于存在,从而f(x)=f(a)+f (a)(x-a)+f (a)2

22

22

2(())

2

11()()(()())

lim()lim()()()()()(()())()()()()()((()))

2lim(

()()()((()))

2

lim

x a x a x a x o x a x a f a f x f a f x f a x a f a f x f a x a f a x a x a f a o x a x a x a f a o x a →→→+-'----=''-----''''--+-=-''''-+-=f (a)(x-a)+f (a)f (a)(x-a)+f (a)2

22

22()(())

2()()()((()))

2

1

()

()2lim ()2[()]()(()(())

2

a x a x a o x a x a x a f a o x a f a f a x a f a f a f a o x a →→-''+--''''-+-''-''==-

-'''''++--f (a)f (a)(x-a)+f (a)f (a)

000002.(18')()[01]()()0()0.()[0,1]()[0,1]}[0,1],()0,1,2}{},()()0()0()lim

x x f x f x f x x f x f x f n x k f f x f x →='≠?==→→∞=='=k k k n n n n n n 设在,上可微,且的每一个零点都是简单零点,即若则f 证明:在上只有有限个零点。

证明:设若不然在上有无穷多个零点,不妨设{x x 则存在{x 的一个子列x 使得x 且x ,从而则0

00000

()()()()

lim 0()[0,1]x x f f x f x f x x x x x f x →--==--k n x 与题设相矛盾!所以在上只有有限个零点。20

03.(20')()21()0

(2)()(),,()()(),,0,0,[0,2],[0,2],()()f x R f x dx f x f y L x y x y R

f x L

f x f y L x y x y R x x x f x f L x πππεδππδδ∈=-≤-?∈≤-≤-?∈?>?>∈?∈-<-≤-<

?

x R 000设是上的周期函数,满足:()证明:(1)f(x)在R 上可以取到最大值,最小值 (2)max 证明:(1)由知

取x 当时,有x x 取[0,2]220

,()(),

()[0,2]()[0,2]()2)()1()0[0,2]()()0

2)()f x f L

f x f x f x R f x f x dx f f x dx f πππ

ε

επππππ

∈-<==?∈=

===?

?

0M x 00M 0M 0则有x 从而在上连续,既在上可以取到最大值,最小值又是上的周期函数,所以f(x)在R 上可以取到最大值,最小值。(2)令f(x max 由知x ,使得x 以下分三种情况讨论:(a)当x x 时

f(x x [0,2]0()0)())()2)()()(2)2())())()2)()()(2)2f x L f f f L L L c f f f L L L ππππππππ∈=?=≤>-=-++-≤-++-=-=-++-≤-++-=x M 00M 0M 0M 0M 0M M 00M M 0M 00M M 0max (b)当x x 时,由f(x)的周期性,得

2f(x x f(x x f(x x x x x x 当x

2f(x x f(x x f(x x x x x x 从而由(a ()()c f x L

π∈≤x R ),(b),知道max 22224.160,cos (sin )sin cos cos sin cos sin cos sin u u

x y y x

u u u

r x r u u u r y r u u u u u u x y r r r r y x r r θθθθθθθθθ

θθθθθθθθ??'?

-?=??≠???=?+??-??????=?+????????????-?=???+-?+=??????()将方程变为以极坐标r,为自变量的形式,其中极坐标变换为x=rcos ,y=rsin (r 0)解:

因此2

20

u

r u

r θ

θ

???=?所以方程为

1

1

1115.20{}112lim 1)()1lim ,0,lim

1

1

12)011n n n x n n n n n

n n n n n n n n n n n n a L a x x f x L a a L L a a L a L a a a a a a A

L a x a x ε-

→+→∞

→∞+++∞'--==≠=-+---=≤

n=1()设数列有极限,证明(1)f(x)=在(,)上有定义

()(证明:()因为若则有(事实上

所以时,f(x)=的收敛区间为(,)从而f(x)=21

1

1

11

1

11

11lim 0,0,(1111lim 1)()lim lim()lim()li n

n n n n n n n

n n n x x x n n n n x a N n N a x x a x x f x a x a x a x a x

---

-∞

→∞

+→→→∞

+++→-=?>→∈

---=-=-=∑∑∑∑∑∑

∑n

n=1

n=1

n=1

n=0

n=1

在(,)上有定义

若L=0,则,当时,当(,))所以L=0时f(x)=在(,)上有定义

(2)((f(x)-xf(x))=1

1111

1

11111111

m()

lim(())()lim()n n n n x n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a a a a a a L

-

-

+++→∞

++++→∞

→+-=+-=+-=+-=∑∑∑∑n=1

n=1n=1

n=1

22222226.(20')()0.

220

22()(1)202,,0202,,002{z x y z a a a z z az a a x y z a a a a a or a a a a or a a a ≥++-≤>=?-+-=++-=-<><-=====求由圆锥体所围成的立体体积,其中解:当时,即时圆锥体与球体不相交,从而所围体积为0(2)当时,即时

(a)时,球体缩为一个点,从而所围体积为0(b)时,

圆锥体与球体相切,此33

21

2200233

21

220

,01,021111

2((1))

2333

(3)201111

2((1))

2333

a r a r

r V dxdydz d dr a a a a a V dxdydz d dr a a a π

πθθπθ

θπθπ≤≤≤≤===+----<===---+????????????

时z=1x=rcos 令{y=rsin 当时,即0

2

000,0

47.18(){,04

1

(21)()[]01

1

1

()sin()()sin()()sin()22

11

()sin()sin sin()42n x f x Fourier x n f x b f x nx dx f x nx dx f x nx dx

f x nx dx nxdx nx n π

π

π

π

π

π

ππ

ππ

πππππππ

ππ∞

-

-

--<<=≤<--===

+

===∑???

???n=1n (‘)将函数展成级数,

并求的和。解:显然在,上是奇函数因此a 10112

2220

1

2

11111111(1)cos()|cos()(1)2222221

1

()sin 21

1

(2)0211

sin 21

1

[()]()21(21)

n n n n n n dnx nx n n n n n n n f x nx

n n nx n a f x dx a b n πππ

ππ

+∞

=∞

=∞

-==-=-+=-+=--→→∞--=

++-∑∑∑∑? n=1所以因为sin(nx)有界,单调递减(n )

所以由Arbel 判别法知收敛

由帕塞瓦尔等式知:

即2

2

2

1

1

[()]4

8

f x dx dx π

π

πππ

πππ∞

-

-

===∑??n=1()8.(18分)设

f x →??

???

在3R 上二次连续可微(其中1

2

3

(,,)x x x x →

=),且在0x →

处的梯度0

()0

f x →→

?=,Hesse 矩阵Q=2()0i j f

x x x →??? ? ?

????

为正定矩阵.证明:⑴()f x →在

x

→处取到极小

值;⑵若

λ

是Q 的最大特征值,

α

是Q 对应于

λ

的特征向量,则

()

f x →

x

→处沿着α

方向增长

041.(20’)22

4022

2

43

02223225

002222500(arctan )1lim

(arcsin )1

22(arctan )

(arctan )

1lim

lim 41

2622(1)2(arctan )1lim lim 4(1)1220(26)(1)28lim lim (1)(1220)x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→---+=+-+-+==++++-==++()求极限解:原式=24

2

2322306(1)(1220)8682lim (1)(1220)123

x x x x x x x x →++++===++

1112(2)1[01],lim ()1(0)10,(1)10,[01]()[01]

()(1)210,[01]()[01]

[01]n n n n n n n n x x x f x x x x f f n x f x f x nx n x x x f x -→∞

---+++==+++-=-<=-≥∈'=+-++>∈n n

证明对任意自然数,方程……在区间,上总有唯一实根x 并求x 证明:令……则,因此在,上有零点又……,所以在,上单调从而f(x)在,上存在唯一的零点,111[01]11

,lim

1lim 12n n n n n n n n n n n

x x x x x x x n x --→∞→∞+++=+++=→+∞=?=

-n

n 也即方程……在区间,上总有唯一实根x 因此……两边令则有x

2.(20')

1212

121211

sin 00[,)11

111

,,lim sin 1lim sin 0222

1

sin 0111

0,,2422

111

,4441sin

n n a x

a x x n x x n x

x x n n x x N n n n x π

πππ

εδπππππππδ→∞→∞+∞>+∞=

=

=≠=+++∞=?>==

++-=<>

+-0证明函数在区间(,)上不一致连续,但是对于任意,在

上一致连续。证明:()法一:取则从而在区间(,)上不一致连续

法二:取,则取取2

1212122121212212

1sin 11

sin 0[,)0,0,111111sin

sin 11

sin

sin 1

sin [,)x x

a x x x x x x x x x x x x a

a x x a x

εεδδδεε=>+∞∈+∞?>?>-<-<-=-≤-=-<+∞0从而在区间(,)上不一致连续

(2)当x 时

当时,有

取时,有即在上一致连续。

2222242223232tan 3.,(0,)sin 2

tan sin (0,)(),()(0,)sin 2cos 2sin 2sin cos cos sin (2cos sin )cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin cos cos x x x x x x

x x x x f x f x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x π

ππ>∈∈==?--'-+-==

证明不等式

证明:在上>0,令显然在连续

下证f(x)>1

f (x)=

2232232222222sin cos sin (1cos )cos sin (cos 2sin cos )cos ()(cos 2sin cos ),(0,)

2

()cos 2cos sin 2cos 2sin 12cos sin 3sin sin (2cos 3sin )0,(0,)

2

()()x x x x x x x

x x x x x x x x h x x x x x x x h x x x x x x x x x x x x x x x x h x h x π

π

+--+=

=-+∈'=+-++=+=+>∈令所以单调递增,0

2322200lim ()0

cos 2sin cos 0sin 0,cos 0,(0,)

2()0,()(0,)2sin lim ()lim 1

cos ()1tan ,(0,)sin 2

x x x h x x x x x x x x x x f x f x x

f x x x

f x x x x x x π

π

π

→→→>=-+>>>∈'>==>>∈从而又所以即在单调递增

所以f(x)>即从而

1

1

1

1

1

1

4.(20')(1)()[1()0(1)

111

(2)ln ln ,2,32ln 23ln 3ln {}1()()()n

n n n

n n n

k n k

k f x f x dx L f a n n n n

a a f x dx

a f x dx f x dx -+=∞→∞-≤≤=

+++-==-=-=-∑?

∑?∑∑??

n

k=1

n

k=1

n

n k=1

k=1

设在,+)上非负递减,证明n +时

f(k)有极限L ,且设…………证明数列收敛。证明:()令f(k)则f(k)f(k)112

(1)()0

(1)()(1)(),()[1(1)()0

{}(1)0,,0(1)1

2ln ()n n n n n

n n n n k k k f n a a a f n f x dx f n f f x f n f a a f a n L f x x

a f k ξξξ++=≥-+-=>-=+-=+-∈∞+-≤=≥>→∞≤≤=∑∑∑?n n-1

k=1

k=1

1f(k)f(k)所以有下界又其中(n,n+1)

由于在,+)上非负递减,所以从而单调递减

因此收敛且a 两边令有().令f(x)=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1111

1

00()(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1

(1)(1)ln(1)

11

0(1)ln(1)(1)

1(1)n

n n

n k n n k n n k f x dx f k f x dx

f k f x dx f x dx

f k f x dx f x dx dx

x x x x x x x x --=--=--=-=+-+=+-+-++-++=++→++++∑∑??

∑?

?∑?

??

有()知道收敛

又令g(x)=可以知道是g(x)的瑕点,x 0时,而101(1)ln(1){}n dx dx x x a ++??10收敛,所以收敛因此收敛

22

222222225.20(2)1cos sin (2)(cos sin )cos (sin )sin cos u

x

u

x u u u

r x r u u u u u u u r r x r r r r θθθθθθ

θθθθθθθθθθ≠???????=-??????????'=-=+---?????????(’)设u(x,y)在平面上二次连续可微,x=rcos ,y=rsin ,(r 0)(1)用u 关于r,的偏导数表示

用u 关于r,的一,二阶偏导数表示解:()22222cos 2sin cos u u u r r r θθθθθθ

???=--????

2

22122

36.(15')0,(1)

(),()()()

,(),()()(),()11()()111(1)

(),()11n

n n n n n a a f x n x f x f x f x n x g x g x nx x x g x x

h x h x x x x x

h x g x x x x x x g x f x x x ∞

∞∞

-∞

>+='==='===

-'==--++'==--∑∑∑∑∑n=1n=1

n=1n=1n=1设求级数的和解:设的收敛区间为(-1,1)

令则令则则,()()从而()(3

23

311(1)1(1)(2)11()1(1)1(1)1n n a a a a f a a a a

+++++===++-+∑n=1)

22

22OF AB AD OB OF AB AD OB r

BD a r DE r a

S πππ⊥??=??====-

=7.(20 )设半径为r 的球面s 的球心在半径为常数a 的定球面上,问:

r 为何值时,s 位于定球面内部部分面积最大?

解:设s 位于定球面内部部分面积为S,S 为一球冠,则S=2rh,其中h 为球冠的高如图,ED=h,BE=r,AB=r 作OF AB,则所以因此2rh=2r(223

24433

)2234

4036|4|404

3

r a r a r r r r a a

S r r r a

a S r a r a S π

ππππ

ππ==-=-'=-=?=''=-=-<=

令所以当时,最大

1101011.lim ()()()

lim

,lim ()

(),)()

,()

()()()

)

()(()()()

x x x g x f x f x A A A g x g x x x Cauchy x x f A x x g x g x g f x g x g g x g x ξξ→→→'≠=∞

'=='<<→'=→→'-=--0

00x x x 0118(15')设函数f,g 在x 的某个领域上可导,且g (x)0,如果证明,其中是实数。

证明:取x 由中值定理,令f(x)-f(x 有

f(x)-f(x 111111*********()))

)

()()()(1)()()()()()

)()()()()

()(1)()()()()()

0,0,)()()4

x g x f x f x g x g x g x g x g x g x f x Ag x f x A A g x g x g x g x g x x x x x A A g x g x x εδδε

+=-+---=--+-→?>?><<<+<

-11101f(x f(x)-f(x 从而f(x)-f(x 所以

令,则使得当x 时,有f(x)-f(x -将固定,0111111110(),()()()1,()()2)()()()()2()()()()()42()

lim

()

x x x x A a x g x f x Ag x g x g x g x f x Ag x f x A A g x g x g x g x g x f x A g x δδδε

εε

ε→→→∞?><-<<-<<--≤≤?+=-=0

1x 令,则由 g(x)知道使有

于是

f(x)-f(x -(1+)+所以

031.⑴.2

40sin arctan lim

x x x x x →?-⑵设

()f x 在有限开区间(,)a b 上连续,12,,,(,)n x x x a b ∈ .证明存在(,)a b ξ∈使得

1

1()()n

j j f f x n ξ==∑.

2.设

()f x 是(,)-∞+∞上的无穷次可微函数.

221()1n f n n =+.求()

(0),1,2,k f

k = 3.设S 是简单的封闭曲面,分别计算曲面积分3

2

2

2

2

()

xdydz ydzdx zdxdy

I

x y z ++=++??

当原点在S 之外和在S 之内时的值,其中S 取外侧.

4.利用积分号下积分法或积分号下微分法计算积分2

cos cos ,(0)ax bx

I dx b a x

+∞-=>>?

5.设

()f x 二次连续可微,且0

()

lim

0x f x x

→=.证明: ⑴.

1

1

()n f n

=∑

绝对收敛;⑵.如果数列{}n a 满足111()n

n a f a n +=+,则lim n n a →∞存在且大于零. 6.设

A 是n n ?的实对称矩阵.证明如果0λ是A 的最小特征值,则0(1)n E A λ-+是正定矩阵.

021.(12分)计算:

()a

21

lim n n

→∞++ ,

()b 2

cos lim cos 2x n x x

→∞?? ??

?

2.(10分)设000(,,)x y z 是方程组221

z x y x y z ?=+?++=?

的解,证明:222

00099x y z -≤++≤+

3

10

222,,,(,,)(,,)

x vw y uw z uv f x y z F u v w ====,证明:

x y z u v w

xf yf zf uF vF wF ''''''++=++。 4.(12分)设

1,1,2,,n n n y px qx n +=+= 其中p q

<。证明:数列

{}n y 收敛时,数列{}n x 也收敛。

5.(14分)设函数

f

义在

()+∞,a 上有定义,并且在每一个有限区间(),a b 内有界,

()a 证明:如果

()()

()

lim 1x f x f x →+∞

+-=+∞,证明:()

lim

x f x x

→+∞=+∞。 ()b 举出反例说明当()()()

lim 1x f x f x →+∞

+-=∞时,未必成立()lim x f x x

→+∞=∞ 6.(12分)设

()f x 是以T 为周期的周期函数,且01()T f x dx C T =?,证明2()

lim n n f x n dx C x

+∞→∞=?。 7.(15分)设函数

()f x 在整个实数轴有连续的三阶导函数,证明:存在实数a ,使()()()()0f a f a f a f a ''''''???≥。

8.(15分)设半径为

r 的球面S 的球心在半径为常数a 的定球面上,试证明:当4

3

r a =时,S 位于定球面内部部分的面积最大。

1. 00设

()f x 在[),a +∞上连续,()lim x f x →∞

存在且有限,证明:()f x 在[),a +∞上一致连续.

2. 设()1

1n n n x x qx +=-,其中110x q

<<

,而01q <<.

(1).证明数列

{}n x 收敛,并求lim n n x →∞.(2).证明数列{}n nx 收敛,并证1

lim n n nx q

→∞

=. 3.证明不等式21ln 1.021x x x ??

<+> ?+??.4.设()()1,0,nx

n e S x x n

-+∞==∈+∞∑

. (1).证明()S

x 在()0,+∞上连续,可微.(2).求出()S x 的具体表达式.

5.计算三重积分:

()2

22V

x

y z dxdydz ++???,其中(){}222,,:,28V x y z x y z z =+≤≤≤

6.(1).设f

[),a +∞上单调,且()a

f x dx +∞

?收敛.证明:()lim 0x xf x →∞=()(]01

sin 0,1x F x dt t

=?

(2)设

f

[),a +∞上连续,且()a

f x dx +∞

?绝对收敛,是否有()lim 0x f x →∞

=.说明你的理由.

7.证明任意一个数列{}n a 都存在单调子列.

8.证明函数()0

1

sin x F

x dt t

=?在(]0,1上有无穷多个零点.

相关文档
相关文档 最新文档