抛物线.板块一.抛物线的方程.学生版
【例1】 抛物线24y x =的准线方程是（ ）
A ．2x =-
B ．1x =-
C ．2y =-
D ．1y =-
【例2】 抛物线21
4
y x =的焦点坐标是（ ）．
A ． (0,1)
B ．(0,1)-
C ． (1,0)-
D ．(1,0)
【例3】 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标是4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2
【例5】 若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
【例6】 若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p
的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
【例7】 若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
【例8】 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线
的方程是（ ） A ．23y x =或23y x =- B ．23y x =
C ．29y x =-或23y x =
D ．23y x =-或29y x =
典例分析
板块一.抛物线的方程
【例9】已知点(10)
M，，直线:1
l x=-，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【例10】若点P到直线1
x=-的距离比它到点(20)
，的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【例11】如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线
11
C D的距离相等，
则动点P的轨迹所在的曲线是（）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
1
A
A
【例12】⑴抛物线240
x y
+=的焦点坐标为_______，准线方程为_______；
⑵抛物线2
40
x y
+=的焦点坐标为________，准线方程为_____．
⑶抛物线2(0)
x ay a
=≠的焦点坐标为_______，准线方程为_______．
【例13】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点(3)
P m-
，到焦点的距离为5，则抛物线方程为__________．
【例14】⑴以双曲线
22
1
169
x y
-=的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为_______．
⑵双曲线
22
1
x y
m n
-=的离心率为2，有一个焦点与抛物线24
x y
=的焦点重合，则mn的值为．
【例15】经过点(24)
P--
，的抛物线的标准方程为________．
【例16】⑴焦点是(20)
F，的抛物线的标准方程是_________．
⑵准线方程为1
y=-的抛物线的标准方程为__________．
⑶焦点在直线10
x y
--=上的抛物线的标准方程为______．
【例17】已知圆22670
x y x
+--=与抛物线22(0)
y px p
=>的准线相切，则p=__．
【例18】 动圆C 经过定点(02)F ，
且与直线20y +=相切，则动圆的圆心C 的轨迹方程是________．
【例19】 在直角坐标系xOy 中有一点(2,1)A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线
22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是______．
【例20】 在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________．
【例21】 已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹
方程为________．
【例22】 在抛物线22(0)y px p =>上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值
为 ．
【例23】 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =_________．
【例24】 若动点P 到点()20F ，的距离与它到直线20x +=的距离相等，
则点P 的轨迹方程为______．
【例25】 抛物线2x ay =的准线方程为2x =，则a 的值为_________．
【例26】 一动点到y 轴的距离比到点(20)，的距离小2，这动点的轨迹方程
是 ．
【例27】 若抛物线2x my =的焦点是20m ??
? ???
，，则m 的值为_________．
【例28】 ⑴抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；
⑵已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上一点(3)P a -，
到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程 ．
【例29】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在A 上，且1
3
AM AB =，点P 在
平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是 ．
A
【例30】 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛
物线上一点，且3AM AF ==，，求此抛物线的标准方程．
【例31】 抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线3y =-与抛物线相交于点A ，5AF =，
求抛物线的标准方程．
【例32】 已知抛物线22(0)y px p =>有一内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，一直
角边所在的直线方程为2y x =，斜边长为，求抛物线的方程．
【例33】 已知点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 在抛物线22y px =上，ABC ?的重心与此
抛物线的焦点F 重合（如图）
⑴写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； ⑵求线段BC 中点M 的坐标． ⑶求BC 所在直线的方程．
【例34】 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，以原点为圆心、椭圆短半轴长为
半径的圆与直线2y x =+相切． ⑴求a 与b ；
⑵设该椭圆的左、右焦点分别为1F 和2F ，直线1l 过2F 且与x 轴垂直，动直线2l 与y 轴垂直，2l 交1l 于点P ．求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
【例35】 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>:2l y x =+与以原点为圆
心、椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切．
⑴求椭圆1C 的方程；
⑵设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；
⑶设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0QR RS ?= ，求||QS
的取值范围．
【例36】 在直角坐标系中，已知点0(0)2p F p ??
> ???
，，设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切． ⑴点A 的轨迹C 的方程；
⑵PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 和QB 与曲线C 的位置关系．
⑶12M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线1FM 与2BM 的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．
一元二次方程和抛物线教学内容
精品文档 精品文档 1、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ≠0） （1）当2 4b ac =-V >0时，x 有两个不相等的实数根，即 x= 2b a -± （2）当24b ac =-V =0时，x 只有一个实数根，即x= 2b a - （3）当24b ac =-V <0时，x 没有实数根。 推导过程如下： 2222222222212120 4440 4440 (2)40 (2)422,ax bx c a x abx ac a x abx b b ac ax b b ac ax b b ac ax b b x a b c x x x x a a ++=++=++-+=+-+=+=-+=-=+=-= 备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc 中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x 轴的位置关系，详见第2大点。 2、20y ax bx c =++=（a ≠0）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由2y ax =（a ≠0）通过平移得到的，2 y ax =（a ≠0）是顶点为坐标系原点的抛物线。a ≠0是因为当0 a =时，y 就不是抛物线了，而是一条直线。 20y ax bx c =++=（a ≠0）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解： （1）抛物线顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- ，因此，对称轴2b x a =- ①0a >时，抛物线开口向上，y 有最小值，无最大值，y 先是随着x 的增大逐渐减小，当x 增大至2b a -时，y 取最小值244ac b a -，而后又随着x 的增大y 逐渐增大。（以对称轴为界先减后增） ②0a <时，抛物线开口向下，y 有最大值，无最小值，y 先是随着x 的增大逐渐增大，当x
一元二次方程和抛物线教学提纲
1、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ≠0） （1）当2 4b ac =-V >0时，x 有两个不相等的实数根，即 x= 2b a -± （2）当24b ac =-V =0时，x 只有一个实数根，即x= 2b a - （3）当24b ac =-V <0时，x 没有实数根。 推导过程如下： 2222222222212120 4440 4440 (2)40 (2)422,ax bx c a x abx ac a x abx b b ac ax b b ac ax b b ac ax b b x a b c x x x x a a ++=++=++-+=+-+=+=-+=-=+=-= 备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc 中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x 轴的位置关系，详见第2大点。 2、20y ax bx c =++=（a ≠0）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由2y ax =（a ≠0）通过平移得到的，2 y ax =（a ≠0）是顶点为坐标系原点的抛物线。a ≠0是因为当0 a =时，y 就不是抛物线了，而是一条直线。 20y ax bx c =++=（a ≠0）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解： （1）抛物线顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- ，因此，对称轴2b x a =- ①0a >时，抛物线开口向上，y 有最小值，无最大值，y 先是随着x 的增大逐渐减小，当x 增大至2b a -时，y 取最小值244ac b a -，而后又随着x 的增大y 逐渐增大。（以对称轴为界先减后增） ②0a <时，抛物线开口向下，y 有最大值，无最小值，y 先是随着x 的增大逐渐增大，当x
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
抛物线与一元二次方程的判别式
抛物线与一元二次方程的判别式 问题引入 一道中考题：如图，抛物线y=a x 2+b x+3经过A （－3，0），B （－1，0）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x+9与y 轴交于点C ，与直线O M 交于点 D.现将抛物线平移，保持顶点在直线O D 上.若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围。 复习回顾 1、判断下列抛物线与x 轴的交点 （1）322--=x x y （2）122+-=x x y （3）222+-=x x y 2、设抛物线解析式为)0(2 ≠++=a c bx ax y 当c b a ,,满足________________时，抛物线与x 轴有两个不同的交点； 当c b a ,,满足________________时，抛物线与x 轴只有一个交点； 当c b a ,,满足________________时，抛物线与x 轴没有交点； 知识应用 1、 求直线1+=x y 与抛物线22 --=x x y 的交点坐标。 O M B A C D x y
2、 直线1+=x y 与抛物线k x x y +-=2只有一个公共点，求k 值。 能力提高 3、 直线1+=x y 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，将抛物线2)2(+=x y 沿对称轴向下平移 k （k>0）个单位； （1）当直线与抛物线只有一个公共点时，求k 的值； （2）当射线BA 与抛物线只有一个公共点时，求k 的值或取值范围。 4、 处理引入中的问题。 知识巩固 5、如图，抛物线141 2 +-=x x y 的顶点A 在x 轴上，与y 轴交于B ，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，将抛物线向左平移n 个单位，使抛物线与线段AC 总有两个交点，求n 的取值范围。 O C B A y x
一元二次方程和抛物线教程文件
学习资料 各种学习资料，仅供学习与交流 1、一元二次方程2 0ax bx c ++=（a ≠0） （1）当2 4b ac =-V >0时，x 有两个不相等的实数根，即 x= 2b a -± （2）当24b ac =-V =0时，x 只有一个实数根，即x= 2b a - （3）当24b ac =-V <0时，x 没有实数根。 推导过程如下： 2222222222212120 4440 4440 (2)40 (2)422,ax bx c a x abx ac a x abx b b ac ax b b ac ax b b ac ax b b x a b c x x x x a a ++=++=++-+=+-+=+=-+=-=+=-= 备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc 中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x 轴的位置关系，详见第2大点。 2、20y ax bx c =++=（a ≠0）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由2y ax =（a ≠0）通过平移得到的，2 y ax =（a ≠0）是顶点为坐标系原点的抛物线。a ≠0是因为当0 a =时，y 就不是抛物线了，而是一条直线。 20y ax bx c =++=（a ≠0）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解： （1）抛物线顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- ，因此，对称轴2b x a =- ①0a >时，抛物线开口向上，y 有最小值，无最大值，y 先是随着x 的增大逐渐减小，当x 增大至2b a -时，y 取最小值244ac b a -，而后又随着x 的增大y 逐渐增大。（以对称轴为界先减后增） ②0a <时，抛物线开口向下，y 有最大值，无最小值，y 先是随着x 的增大逐渐增大，当x
二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别 一、二次函数 1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向） ①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下 ③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大 ④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。 ⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ） ⑥抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = 2a b -,。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0） ⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4a c 42- ]。当2a b -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。 2、二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] ③交点式：y=a(x- x 1 )(x- x 2) [仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线] (6)抛物线与x 轴交点个数 Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。 Δ= b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 二、一元二次方程 y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2 +bx+c=0 三、两者之间的联系 ①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时
二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程 一、选择题 1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( ) A ．2个 B ．1个 C ．0个 D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( ) A ．3＜x ＜3.23 B ．3．23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数c bx ax y ++=2 的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程 a x 2 +b+c-3=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个异号实数根 C ．有两个相等实数根 D ．无实数根 5．二次函数 c bx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞0
6．函数 c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0 B ．b 2－4ac ＞0 C 、20ax bx c ++=的两根之和为负 D 、20ax bx c ++=的两根之积为正 7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题 8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ． 9．若抛物线y=kx 2 －2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 . 11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题 13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积. 14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路 线的最高处B 点的坐标为B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米). B(6,5) A(0,2)14 121086420 2 46x C y
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于
0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值
二次函数与一元二次方程知识点及经典例题
二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系 1、 一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交 点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根； 2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0） 与x 轴交点个数情况：①判别式?②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2 ＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2 ＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2 ＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个 x 3-≥a 例 2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2 -x ＋4 1与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717 ) 83(2 -=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个； 例4：二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax 2 ＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集； （3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值； （4） 若方程ax 2 ＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。 3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（ a c a b x x x x =-=+2121，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x +-= 22 与X 轴的一个交点是 （－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212 421) (-=+ 例6：若抛物线32 -+= ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a ③ 利用韦达定理求面积：
初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析
初中数学_二次函数和一元二次方程_习 题及解析 一、选择题（共15小题） 1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3 C、2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A、ac＜0 B、a﹣b+c＞0 C、b=﹣4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5 3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（） A、abc＜0 B、c＞0 C、4a＞c D、a+b+c＞0 4、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（） A、a＜0，b2﹣4ac＜0 B、a＜0，b2﹣4ac＞0 C、a＞0，b2﹣4ac＜0 D、a＞0，b2﹣4ac＞0 5、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣2b+c＜0； ③2a﹣b＜0； ④b2+8a＞4ac． 其中正确的有（）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（） A、B、 C、D、 7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（） A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同 B、因为y1，y2的对称轴相同 C、如果y2的最值为m，则y1的最值为km D、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d 8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（） A、9 B、10 C、11 D、12 9、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26 10、根据下列表格的对应值： 判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（） A、8＜x＜9 B、9＜x＜10 C、10＜x＜11 D、11＜x＜12
抛物线与图形及一元二次方程
抛物线与图形及一元二次方程 1．如图，直角坐标系中抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，P 为x 轴下方抛物线上一点（不与点C 重合）． （1）求抛物线的解析式． （2）以y 轴为对称轴，折叠△OCP ，设点P 的对应点为Q ，当以O 、Q 、C 、P 为顶点的 四边形是菱形时，求点P 的坐标． （3）求四边形OCPB 面积的最大值． 解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入，得 10,930.b c b c -+=??++=?解得2, 3. b c =-?? =-? ∴223y x x =--． （2）由题意，得2 3232x x --=- ．解得1210 11.x x =+=- ∴点P 的坐标为33(1),(1).22 -- （3）233(23)22s x x x =-+++，2399222s x x =-++，当32x =，63 8 s =最大值． O A B C y P ·
2．有一座抛物线形拱桥，桥的跨度AB=24米，桥面的最大高度OC =4米．将它的图形 放入如图所示的平面直角坐标系中． （1）求抛物线的解析式． （2）现计划在桥面上铺台阶，台阶的高度均为0.16米，请计算从底部开始向上数的第 16 3.162=，结果精确到0.01米）． 解：（1）设24y ax =+，把（12，0）代入136a =- ，得2 1436 y x =- +． （2 ）当2150.16 2.44 2.4,y x x =?=+==± 1时,- 36 由于图象在第一象限，∴ 2.4 3.1627.5888x ≈?=． 当2 160.16 2.564 2.56,7.2y x x =?=+==±1时,- 36 ， 由于图象在第一象限，∴x=7.2． 则宽度为7.5888-7.2=0.3888≈0.39（米）． 24 4
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
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1.一元二次方程ａｘ2 +ｂx ＋ｃ=0(ａ≠0）的解的情况等价于抛物线y ＝ａx 2 ＋bx+c(c ≠0）与直线ｙ=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ａx 2 +b ｘ+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况:两个公共点(即有两个交点）,一个公共点，没有公共点，因此有：1( ?)抛物线y ＝ａx 2 +bx ＋ｃ与x 轴有两个公共点(ｘ1，0)（x 2，０)一元二次方程ax 2 +ｂｘ +c=0有两个不等实根 △＝b ２ -4a ｃ>０。? (2)抛物线y=a ｘ2 +bx+ｃ与ｘ轴只有一个公共点时，此公共点即为顶 点一元二次方程ax 2 +b ｘ+ｃ=0有两个相等实根， (3）抛物线y=ax 2 ＋b ｘ＋c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 ＋bx+c=０没有实数根 △=b 2 -４a ｃ<0． (4）事实上，抛物线y=ａx 2 ＋bx+ｃ与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 ＋b ｘ+ｃ=h 的根的情况。 抛物线y=ａx 2 +b ｘ＋c 与直线y ＝m ｘ+ｎ的公共点情况方程ａx ２ ＋ｂｘ+c ＝mx+n 的根的情况。?2．二次函数解 析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -=? 0，相应二次方程2 3280x x -+=的根 的情况为??. ２、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数)的图像与x 轴的交点个数为(? ) A.０个 B ．１个??C.2个??Ｄ．1个或2个 ３、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的 图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0 b =时,函数的图像关于y 轴对称. 其中正确命题的个数是( ) Ａ.1个 B ．2个? C.3个 Ｄ.4个 4、已知函数2 2y x mx m =-+-． 知识梳理 新课讲解
一元二次方程与二次函数综合题
第四讲 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴、求证：m 取任何实数时,方程总有实数根; ⑵、若二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式; ②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立; ⑶、在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-， ，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式. 【2】关于x 的一元二次方程22 (1)2(2)10m x m x ---+=. （1)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根; (2）点()11A --， 是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下,若点B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 B 的直线,若存在,请求出直线的解析式; 若不存在，请说明理由.
【3】已知P （3,m -)和Q （１,m )是抛物线 221y x bx =++上的两点. (１)求b 的值； (2）判断关于x 的一元二次方程2 21x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有，请说明理由； （3)将抛物线 221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值. 【4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数. （1）求抛物线的顶点坐标； （2)若25 a > ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式. 【5】已知:关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数) （１）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围; （2）在(1)的条件下，求证：无论m 取何值,抛物线()()2 121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点; （3）若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线 ()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.
九年级数学：二次函数与一元二次方程的关系练习题
二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 22y x kx =-++与x 轴交点的个数为 2、已知二次函数2 77y kx x =--与x 轴有交点，则k 的取值范围 3．已知二次函数2 2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程2 20x x m -++=的解为 ． 4、二次函数2 63y kx x =-+的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A 、3k < B 、3k <且 0k ≠ C 、3k ≤ D 、3k ≤且0k ≠ 5、已知函数2 y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有两个异号实数根 D ．有两个同号不等实数根 6．根据下表中的二次函数2 y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）． x … 1- 0 1 2 … y … 1- 7 4- 2- 74 - … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 7、已知二次函数c bx ax y ++=2 的y 与x 的部分对应值如下表： x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴、 C ．当x ＝4时，y ＞0 D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 8.如图为二次函数y=ax 2 ＋b x ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0； ②方程ax 2 ＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。 正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上) 9．抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若y>0，则x 的取值范围是 A ．-4
一元二次方程 抛物线
一元二次方程 抛物线 （2011朝阳一模）19．已知关于x 的方程 (m -1) x 2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，求抛物线y =(m -1) x 2 - 2x + 1的顶点坐标． （2011延庆一模）23．已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根； （2）设0
二次函数与一元二次方程讲义
二次函数与一元二次方程 1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围． 一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 下列函数的图象与x只有一个交点的是( ) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________． 解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝
2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程． 【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围 若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋1 2 m ＋1的 图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m ( 12 m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点， 所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点． 方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当 b 2－4a c ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点． 【类型四】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解
一元二次方程知识点总结与易错题
一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于 a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式： 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。也就是 说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了
一元二次方程和抛物线
(1 )当 当V b 2 4ac >0 时， x 有两个不相等的实数根，即 x= b . b 2 4ac 2a (2 )当 当V b 2 4ac =0 时， x 只有一个头数根，即 x= b 2a (3 )当 当V b 2 4ac <0 时， x 没有实数根。 推导过程如下： ax 2 bx c 0 2 2 4a x 4abx 4ac 0 2 2 2 2 4a x 4abx b b 4ac 0 (2 ax b)2 b 2 4ac 0 (2 ax b)2 b 2 4a c 2 ax b . b 2 4ac b 4b ~4ac x 2a b c x 1 x 2 , x_j x 2 a a 备注：推导过程只需了解一下， 考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一 般考试时会告诉你 abc 中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一 个，更多地用于在抛物线中判断与 x 轴的位置关系，详见第 2大点。 2、y ax 2 bx c 0 ( a^0)在直角坐标系中抛物线的一般表达方式， 是由y ax 2 (a 丰0)通过平移得到的，y ax 2 ( a^ 0)是顶点为坐标系原点的抛物线。 a^ 0是因为当a 0 时，y 就不是抛物线了，而是一条直线。 2 y ax bx c 0( a^0 )有以下几个特点是考试中常考到的, 复习时需结合图形理解: K (1)抛物线顶点坐标：( 一 a 4ac b )，因此，对称轴x 4a b 2a ①a 0时，抛物线开口向上, y 有最小值，无最大值， y 先是随着 x 的增大逐渐减小，当 x K 增大至一时，y 取最小值 a 4ac b 2 b ,而后又随着x 4a 的增大y 逐渐增大。(以对称轴为界先
- 22.2二次函数与一元二次方程
- 二次函数与一元二次方程的关系
- 一元二次方程与二次函数综合题
- 二次函数与一元二次方程的关系课件.ppt
- 一元二次方程和抛物线教学内容
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