11-12学年高中数学 3.1.1 数系的扩充与复数的概念同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 3.1 第1课时数系的扩充与复数的概念
一、选择题
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
[答案] D
[分析] 由复数的有关概念逐个判定．
[解析] 对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a －i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
[答案] A
[解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3．下列命题中假命题是( )
A.i
2
不是分数
B.3i不是无理数
C．－i2是实数
D．若a∈R，则a i是虚数
[答案] D
[解析] 当a＝0时，a i是实数，所以D是假命题，故应选D. 4．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列结论正确的是( )
A ．a ＝0?a ＋b i 为纯虚数
B ．b ＝0?a ＋b i 为实数
C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ?a ＝3，b ＝－3
D ．－1的平方等于i [答案] B
[解析] a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，A 错误，B 正确．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ?a ＝3，
b ＝3，C 错误．(－1)2＝1，D 错误．故应选B.
5．若z 的实部为lg x 2
，虚部为lg 2
x ，x 是正实数，那么( ) A ．使z 的实部、虚部都是正数的x 的集合是(1，＋∞) B ．使z 的虚部为负数的x 的集合是(0,1) C ．使z 的实部和虚部互为相反数的x 的集合是{1}
D ．使z 的实部和虚部互为倒数的x 的集合是??????
???
?342
[答案] A
[解析] 由?????
lg x 2
>0
lg 2
x >0
解得x >1，A 正确．故应选A.
6．复数z ＝a 2
－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0 [答案] D
[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，而|a |＝－a ，∴a ≤0，故应选D. 7．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A ．2k π－π
4
B ．2k π＋π
4
C ．2k π±π
4
D.
k π
2＋π
4
(以上k ∈Z ) [答案] B
[解析] 由??
?
sin2θ－1＝0
2cos θ＋1≠0
得?????
2θ＝2k π＋π
2 θ≠2k π＋π±π
4
(k ∈Z )
∴θ＝2k π＋π
4
.选B.
8．若复数(a 2
－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2 [答案] C
[解析] 若复数(a 2
－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2
－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.
9．下列命题中哪个是真命题( ) A ．－1的平方根只有一个 B ．i 是1的四次方程 C ．i 是－1的立方根 D ．i 是方程x 6
－1＝0的根 [答案] B
[解析] ∵(±i)2
＝－1，∴－1的平方根有两个，故A 错；∵i 3
＝－i≠－1.∴i 不是－1的立方根；∴C 错；
∵i 6
＝i 2
＝－1，∴i 6
－1≠0故i 不是方程x 6
－1＝0的根，故D 错； ∵i 4＝1，∴i 是1的四次方根，故选B.
10．已知关于x 的方程x 2
＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i [答案] B
[解析] 由题意知n 2
＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0
即?
??
??
n 2
＋mn ＋2＝02n ＋2＝0，解得?
??
??
m ＝3
n ＝－1.
∴z ＝3－i ，故应选B. 二、填空题
11．方程(2x 2
－3x －2)＋(x 2
－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________. [答案] 2
[解析] 方程可化为?????
2x 2
－3x －2＝0
x 2
－5x ＋6＝0
解得x ＝2.
12．如果z ＝a 2
＋a －2＋(a 2
－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________． [答案] －2
[解析] 如果z 为纯虚数，需????
?
a 2
＋a －2＝0a 2
－3a ＋2≠0
，解之得a ＝－2.
13．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝________. [答案] 1
[解析] 复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知??
?
3x －1－x >0
x 2－4x ＋3＝0
，解得
x ＝1.
14．已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R )，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是______．
[答案] [3,5]
[解析] ∵z 1＝z 2，∴?
??
??
m ＝2cos θ
4＋m ＝λ＋3cos θ
∴λ＝4－cos θ.
又∵－1≤cos θ≤1，∴3≤4－cos θ≤5，∴λ∈[3,5]． 三、解答题
15．若log 2(m 2
－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．
[解析] ∵log 2(m 2
－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，∴???
??
log 2(m 2
－3m －3)＝0
log 2(m －2)≠0
∴m ＝4，故当m ＝4时，log 2(m 2
－3m －3)＋ilog 2(m －2)是纯虚数．
16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2
－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？
(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] (1)当z 为实数时，则有?
????
a 2
－5a －6＝0，
a 2
－1≠0，
所以?
??
?? a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.
所以当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则有?????
a 2
－5a －6≠0，a 2
－1≠0，
所以???
?
?
a ≠－1或a ≠6，a ≠±1.
即a ≠±1且a ≠6.
所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，则有?????
a 2
－5a －6≠0，a 2
－7a ＋6
a 2
－1
＝0.
所以?
??
??
a ≠－1且a ≠6，
a ＝6.
所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．
17．若x ∈R ，试确定a 是什么实数时，等式3x 2
－a
2x －1＝(10－x －2x 2
)i 成立．
[解析] 由复数相等的充要条件，得
?????
3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②
由②得x ＝2或x ＝－52，
代入①，得a ＝11或a ＝－
715
. 18．已知z 1＝? ????cos α－45＋i ? ????sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值．
[解析] 由复数相等的充要条件，知 ?????
cos α－4
5＝cos β，sin α－35
＝sin β.即?????
cos α－cos β＝4
5，①sin α－sin β＝3
5
.②
①2
＋②2
得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝1
2
.
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高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
最新高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全
高一数学常用公式及结论 必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( a b ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =??? ??（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m n a a 1=- 2、根式的性质 （1）()n n a a =. （2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0 ||,0 n n a a a a a a ≥?==? -
数系的扩充和复数的引入教学设计
《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方
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高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1．元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 3. 充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词?表示任意，?表示存在；?的否定是?，?的否定是?。 例：2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 8．若奇函数在x =0处有意义，则一定存在()00f =； 若奇函数在x =0处无意义，则利用 ()()x x f f -=-求解； 9．多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像： 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =||； （2）()()f x a f x +=-，则)(x f 的周期2T a =|| （3）1 ()() f x a f x += ，则)(x f 的周期2T a =|| （4）()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|； 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
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高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =；
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
2020高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
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高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式： ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; （当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时，设为此式） (3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设 为此式） 2 a(x x 0 ) （ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时，设为此式） 4 5 真值表： 同真且真，同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1）个 1）个 至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立 x ，不成立 x ，成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假 . ） 四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互逆 逆命题 若ｑ则ｐ 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 p p q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件； 、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数： (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是：
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
高中数学公式大全(最全面,最详细)
高中数学公式大全（最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：
高中数学必修1、3、4、5知识点归纳与公式大全
必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定：
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
(完整版)高中数学学考公式大全
高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
高中数学常用公式大全
高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式总结大全
龙正中学05级高中数学公式总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式） c bx ax x f ++=2 )(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、 同角三角函数的关系中， 平方关系是：1cos sin 2 2=+αα，αα2 2 sec 1=+tg ，αα2 2 csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是 πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?? ? ?? ?+ - 222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ? + -22 πππ πk k ，)(Z k ∈ 6、和角、差角公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos( βαβαβαsin sin cos cos = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 2．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log =
高中数学公式及知识点总结大全(精华版)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学公式及知识点总结大全(精华版) ?中?科数学公式及知识点速记?、函数、导数1、函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若数. 2、函数的奇偶性对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 3、函数在点处的导数的?何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率程是.*?次函数：（1）顶点坐标为 4、?种常?函数的导数①；②；③；（2）焦点的坐标为；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 5、导数的运算法则（1）. （2）. （3） 6、会?导数求单调区间、极值、最值 7、求函数的极值的?法是：解?程．当. 时：(1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极?值；(2) 如果在附近的左侧指数函数、对数函数分数指数幂(1)（(2)（，右侧，那么是极?值．，且）. ，且）.，则为减函，相应的切线?1 1/ 15
根式的性质（1）当为奇数时，当为偶数时，； .有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若 a＞0，p 是?个?理数，则 ap 表示?个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于?理数指数幂都适?..指数式与对数式的互化式:..对数的换底公式 :(,且 ,,且 ,).对数恒等式：推论(,且,).(,且,).常?的函数图象?、三?函数、三?变换、解三?形、平?向量 8、同?三?函数的基本关系式，=.9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）的正弦、余弦，等于的同名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号；的正弦、余弦，等于的余名函数，前?加上把看成锐?时该函数的符号。 ，，．，，．，，．2