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新疆兵团二中2012届高三第五次月考试题 文数

兵团二中2012届高三第五次月考数学(文科)试

题(5-15)

一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项....

是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1. 若34sin (cos )55z i θθ=-

+-是纯虚数,则tan()4

π

θ-的值为( ) A.-7 B.17-

C.7

D.7-或1

7

- 2.抛物线22y x =-的准线方程是( )

A.12x =

B. 18x =

C.12y = D . 1

8

y = 3. 若函数3

21(02)3

x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )

A .

4π B .6π

C .

56π D .34

π

4. “cos α =35”是“cos2α= -7

25

”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 5. 过点(0,1)且与曲线1

1

x y x +=

-在点(32),

处的切线垂直的直线的方程为 ( ) A .022=-+y x

B .012=-+y x

C .012=+-y x

D . 022=+-y x

6. 已知正项数列{}n a 中,11=a ,22=a ,222112(2)n n n a a a n +-=+≥,则6a 等于( )

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7.△ABC 外接圆的半径为1,圆心为O ,且2O A A B A C ++=0, ||||OA AB = ,则C

AC B ? 等于( )

A.

3

2

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3 D.8. 函数x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(?=a (?>0)平移后,恰好得到函数y =f '(x )的图象,则?的值可以为( )

A .

2

π

B .23π

C .π

D .43π

9. 若满足条件AB=3,C=3

π

的三角形ABC 有两个,则边长BC 的取值范围是( )

A.()1,2

B.

C.

)

D.

)

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10.现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放

回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )

A.13

B.

23

C.

12

D.

34

11.若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为( ) A. 3 :1 B . 4 :1 C . 5 :1 D. 6 :1

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为12,F F ,且两条曲线在第一象限的交点为P ,12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ?的取值范围是( )

A.(0,)+∞

B.1(,)3+∞

C. 1(,)5+∞

D. 1(,)9

+∞

二、填空题(本大题共4小题.每小题5分.共20分。把答案填写在答题卷上)

13.某长方体的三视图如右图,

在侧视图

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________________.

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14. 等差数列{}n a 的首项为a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.

15. 已知P 是双曲线

)0(1y

4x 22

2>=-b b

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上一点,F 1、F 2是左右焦点,⊿P F 1F 2的三边长成等差数列,且∠F 1 P F 2=120°,则双曲线的离心率等于

16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1

()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像

恒过同一个定点,且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆上,那么

b

a

的取值范围是_______________. 三、解答题(本大题有6个小题;共70分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)

若2

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()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->的图像与直线)0(>=m m y 相切,并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列. (1)求ω和m 的值;

(2)在⊿ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。若

0)2

A (,是函数)(x f 图象的一个对称中心,且a =4,求⊿ABC 外接圆的面积。

18.(本小题满分12分)

有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次.用茎叶图表示这两组数据如下:

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(Ⅰ) 现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛,从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位工人参加合适?请说明理由;

(Ⅱ) 若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛,求A 、B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率.

19.(本题满分12分)

如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,PA =AB =4, G 为PD 中点,E 点在AB 上,平面PEC ⊥平面PDC. (Ⅰ)求证:AG ⊥平面PCD ; (Ⅱ)求证:AG ∥平面PEC ;

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(Ⅲ)求点G 到平面PEC 的距离.

20.(本小题满分12分)

已知抛物线C :2

4x y =,过点(0,)A a (其中a 为正常数)任意作一条直线l 交抛物线C 于

,M N 两点,O 为坐标原点.

(1)求OM ON ?

的值;

(2)过,M N 分别作抛物线C 的切线12,l l ,试探求1l 与2l 的交点是否在定直线上,证明你的结论.

21.(本小题满分12分)

已知函数22

21

()1

ax a f x x +-=+,其中a ∈R . (Ⅰ)求)(x f 的单调区间;

(Ⅱ)若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值,求a 的取值范围.

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲.

自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ,切点为A ,M 为PA 的中点,过点M 引圆O 的

割线交该圆于,B C 两点,且100BMP ∠=

,40BPC ∠=

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. ⑴求证:MBP ? 与MPC ?相似; ⑵求MPB ∠的大小.

23. (本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知点P 在曲线1C :1cos sin x y α

α=+??

=?

(α为参数,[0,]απ∈)上,点Q 在曲线2C

9

)

4

ρπ

θ=

+上

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(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程;

(2)求点P 与点Q 之间距离的最小值。

24. (本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲

已知,不等式的解集为M .

(I)求M;

(II)当时,证明:.

第五次月考文数答案

答案及参考评分标准

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9C 若满足条件的三角形有两个,则应

1sin sin 2

3

<<=A C ,

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又因为2sin sin ==C AB A BC ,故A BC sin 2=2BC <. 故选C. 10C

通过将基本事件进行列举,求得概率为

2

1

. 故选C. 12.【解析】如图,由题意知110r =,22r c =,且

12r r >.112222c c e a r r

==双

-2

c c ==;212222c c e a r r ==+椭2c c ==.

52210,2

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c c c +>> 三角形两边之和大于第三边, ∴21222

1125253

1c e e c c ?==>

--,因此选B 。

二、填空题:

13、4+、0d ≥且0d a +>.

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15、2

7

16、34[,]43

13

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1212)4+?=+14由n n S S >+1,可得(1)(1)(1)

22

n n n n n a d na d +-++>+,整理得0>+a dn ,而*∈N n ,所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.

16根据指数函数的性质,可知函数

1()1(0,1)x

f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.

将点(1,2)-代入2140ax by -+=,可得7a b +=.

由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +≤.

由22

725a b a b +=??+=?

,解得34a b =??=?或43a b =??=?,这说明点(,)a b 在以

(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动,所以b a 的取值范围是34

[,]43

.

三、解答题(本大题有6个小题;共70分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤) 17.

解:(1)2

()sin cos f x x x x ωωω=-=sin(2)3x πω-- ………………3分

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由题意,函数)(x f 的周期为π,且最大值为m ,

所以,1,ω=1m = ………………………………6分

(2)∵(0)2

A

,是函数)(x f 图象的一个对称中心

∴0)3

sin(=-

π

A ,又因为A 为⊿ABC 的内角,所以3

π

=

A ………………………8分

⊿ABC 中,设外接圆半径为R , 则由正弦定理得:3383

sin

4sin a

2=

==

π

A

R ,即:3

3

4=R 则⊿ABC 的外接圆面积3

162

π

π=

=R S ………………………………12分 18. 解:(Ⅰ)派B 参加比较合适.理由如下:

B x =

()95929085838079788

1

+++++++=85, A x =

()95929085838080758

1

+++++++=85,…2分 S 2B =8

1[(78-85)2+(79-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)

2

+(92-85)2+(95-85)2]=35.5

S 2A =8

1[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)

2

+(92-85)2+(95-85)2]=41……4分

∵A x =B x ,S 2B >S 2A ,∴B 的成绩较稳定,派B 参加比较合适. ……6分 (Ⅱ)任派两个(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种情况;A 、B 两人都不参加(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )有3种.…10分

至少有一个参加的对立事件是两个都不参加,所以P=1-103=10

7

.…12分 19.(本小题满分12分)

(Ⅰ)证明:∵CD ⊥AD ,CD ⊥PA ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG ,

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又PD ⊥AG

∴AG ⊥平面PCD …………4分 (Ⅱ)证明:作EF ⊥PC 于F ,因面PEC ⊥面PCD

∴EF ⊥平面PCD ,又由(Ⅰ)知AG ⊥平面PCD ∴EF ∥AG ,又AG ?面PEC ,EF ?面PEC ,

∴AG ∥平面PEC ………………7分

(Ⅲ)由AG ∥平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等

由(Ⅱ)知A 、E 、F 、G 四点共面,又AE ∥CD ∴ AE ∥平面PCD ∴ AE ∥GF ,∴ 四边形AEFG 为平行四边形,∴ AE =GF 、

PA =AB =4, G 为PD

中点,FG 12

CD ∴FG =2 ∴ AE =FG =2 ………………………9分

∴ 1116

(24)4323

P AEC V -=???=

又EF ⊥PC ,EF =AG =

∴ 11

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22

EPC S PC EF =?=?=

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又 P AEC A PEC V V --=,∴116

33

EPC S h ?= ,即16=,∴h =

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∴ G 点到平面PEC . ………………………12分 20.解:(Ⅰ)设直线l 方程为y kx a =+,()()1122,,,M x y N x y

2

4y kx a x y

=+??=?消去y 得2

440x kx a --=,所以121244x x k x x a +==-,……………2分 ()()()2212121212y y kx a kx a k x x ak x x a =++=+++=222244ak ak a a -++=

故212124OM ON x x y y a a =+=-+ . ……………6分

(Ⅱ)12

'

y x =

1l 方程为()2111142,x y x x x -=-整理得2111

24

x y x x =-

同理得1l 方程为21

2y x x =9分

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联立方程()

()

21122

21

1241224

x y x x x y x x ?=-????=-??

()()2112x x ?-? 得 ()()

1221214

x x x x x x y --=

,12

4

x x y a =

=- 故12l l 与的交点在定直线y a =-上. ……………12分

21. 解:(Ⅰ)2()(1)

()21

x a ax f x x +-'=-+. (1)

① 当0a =时,2

2()1

x

f x x '=

+. ∥ =

所以()f x 在(0,)+∞单调递增,在(,0)-∞单调递减. ………………2分

当0a ≠,21

()()

()21x a x a f x a

x +-'=-+.

② 当0a >时,令()0f x '=,得1x a =-,21

x

=,()f x 与()f x '的情况如下:

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故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-,1(,)a +∞;单调增区间是1(,)a a

-. ………4分 ③ 当0a <时,()f x 与()f x '的情况如下:

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所以()f x 的单调增区间是1

(,)a -∞;单调减区间是1(,)a a

-,(,)a -+∞. ………………6分

(Ⅱ):由(Ⅱ)得, 0a =时不合题意. ………………7分

当0a >时,由(Ⅱ)得,)(x f 在1

(0,)a 单调递增,在1(,)a

+∞

单调递减,所以)(x f 在(0,)+∞上存在最大值2

1()0f a a

=>.

设0x 为)(x f 的零点,易知2

012a x a

-=,且01x a <.从而0x x >时,()0f x >;0

x x <时,()0f x <.

若)(x f 在[0,)+∞上存在最小值,必有(0)0f ≤,解得11a -≤≤.

所以0a >时,若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值,a 的取值范围是(0,1]. ………………9分 当0a <时,由(Ⅱ)得,)(x f 在(0,)a -单调递减,在(,)a -+∞单调递增,所以)

(x f

在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-.

若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值,必有(0)0f ≥,解得1a ≥,或1a ≤-. 所以0a <时,若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值,a 的取值范围是(,1]-∞-.

………………11分

综上,a 的取值范围是(,1](0,1]-∞- . ………………12分 22. 【解】

⑴ 因为MA 为圆的切线,所以2

MA MB MC =?.

又M 为PA 中点,所以2

MP MB MC =?.

因为BMP PMC ∠=∠,所以BMP ?与PMC ?相似. (5分)

⑵ 由⑴中BMP ?与PMC ?相似,可得MPB MCP ∠=∠.

在MCP ?中,由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=

, 得. (10分) 23. 解(1)由1cos ,

sin ,

x y αα=+??=?得曲线1C 的普通方程 (x-1)2+y 2=1(y≥0), ……………2分

又由ρ=

9

)

4

π

θ+,得ρ=

9

sin cos θθ

+, ∴ sin cos ρθρθ+=9.

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∴曲线2C 的直角坐标方程为 x+y=9. ……………5分

(1) 半圆(x-1)2+y 2=1(y≥0)的圆心(1,0)到直线x+y=9的距离为

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所以|PQ |min =41.

…………………………10分

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24.

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