浙江省嘉兴市高三数学一模试卷 Word版含解析

2017年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．设复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+z等于（）

A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i

2．已知α∈R，则“cosα=﹣”是“α=2kπ+，k∈Z”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知a为实数，设函数f（x）=，则f（2a+2）的值为（）A．2a B．a C．2 D．a或2

4．已知实数x，y满足，若ax+y的最大值为10，则实数a=（）A．4 B．3 C．2 D．1

5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）

A．B．C．D．

6．已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=5，则AB中点的横坐标为（）

A．B．2 C．D．1

7．函数f（x）=（）x﹣x2的大致图象是（）

A．B． C． D．

8．已知平面向量、满足||=||=1，?=，若向量满足|﹣+|≤1，

则||的最大值为（）

A．1 B．C．D．2

9．已知函数f（x）=3sin（3x+φ），x∈[0，π]，则y=f（x）的图象与直线y=2的交点个数最多有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

10．如图，点F1、F2是椭圆C1的左右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1、e2，则（）

A．e22=B．e22=

C．e22= D．e22=

二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}，则A∪B=，A∩（?R B）=．

12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．

13．已知随机变量ξ的分布列如下：

﹣

则E（ξ）的最小值为，此时b=．

14．已知f（x）=x﹣2，g（x）=2x﹣5，则不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集为；|f（2x）|+|g（x）|的最小值为．

15．动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为（用数字作答）．

16．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为．

17．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足=3，点P在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A满足2cos2A+cos

（2A+）=﹣．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若c=3，△ABC的面积为3，求a的值．

19．如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面

ABCD，AB=1，AC=，BC=BB1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．

20．已知函数f（x）=x﹣alnx+b，a，b为实数．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；

（Ⅱ）若|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

21．如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）；

（Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．

22．已知数列{a n}满足：a1=，a n=a n

﹣12+a

n﹣1

（n≥2且n∈N）．

（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤?3；

（Ⅱ）设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：

=a n

+1

．

2017年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．设复数z=1﹣i（i是虚数单位），则+z等于（）

A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i

【考点】复数代数形式的加减运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解： +z=+1﹣i=+1﹣i=1+i+1﹣i=2．

故选：A．

2．已知α∈R，则“cosα=﹣”是“α=2kπ+，k∈Z”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】cosα=﹣，解得α=2kπ±，k∈Z，即可判断出结论．

【解答】解：cosα=﹣，解得α=2kπ±，k∈Z，

∴“cosα=﹣”是“α=2kπ+，k∈Z”的必要但充分条件．

故选：B．

3．已知a为实数，设函数f（x）=，则f（2a+2）的值为（）

A．2a B．a C．2 D．a或2

【考点】函数的值．

【分析】根据函数的解析式求出函数值即可．

【解答】解：∵函数f（x）=，

∴f（2a+2）=log2（2a+2﹣2）=a，

故选：B．

4．已知实数x，y满足，若ax+y的最大值为10，则实数a=（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【考点】简单线性规划．

【分析】画出满足条件的平面区域，判断最优解的位置，将点的坐标代入求出a 的值即可．

【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由，解得A（3，4），

令z=ax+y，因为z的最大值为10，

所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过（0，10），

所以z=ax+y与可行域有交点，

当a＞0时，

直线经过A时z取得最大值．

即ax+y=10，将A（3，4）代入得：

3a+4=10，解得：a=2，

当a≤0时，

直线经过A时z取得最大值．

即ax+y=10，将A（3，4）代入得：

3a+4=10，解得：a=2，与a≤0矛盾，

综上：a=2．

5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）

A．B．C．D．

【考点】等差数列的性质．

【分析】利用=，可得d=a1，即可求出．

【解答】解：设公差为d，则=，d=a1，

∴==，

故选A．

6．已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=5，则AB中点的横坐标为（）

A．B．2 C．D．1

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．

【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴P=2，

设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，

其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，

AB中点横坐标为x0=（x1+x2）=（|AB|﹣P）=（5﹣2）=．

故选：C．

7．函数f（x）=（）x﹣x2的大致图象是（）

A．B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】利用排除法，即可得出结论．

【解答】解：由题意，x=0，f（0）=1，排除B，

x=﹣2，f（﹣2）=0，排除A，

x→﹣∞，f（x）→+∞，排除C，

故选D．

8．已知平面向量、满足||=||=1，?=，若向量满足|﹣+|≤1，

则||的最大值为（）

A．1 B．C．D．2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】通过向量的数量积的定义，设出向量的坐标，利用向量的坐标运算和向量的模的公式及几何意义，结合圆的方程即可得出最大值为圆的直径．

【解答】解：由平面向量、满足||=||=1，?=，

可得||?||?cos＜，＞=1?1?cos＜，＞=，

由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，

设=（1，0），=（，），=（x，y），

则|﹣+|≤1，即有|（+x，y﹣）|≤1，

即为（x+）2+（y﹣）2≤1，

故|﹣+|≤1的几何意义是在以（﹣，）为圆心，半径等于1的圆上

和圆内部分，

||的几何意义是表示向量的终点与原点的距离，而原点在圆上， 则最大值为圆的直径，即为2． 故选：D ．

9．已知函数f （x ）=3sin （3x +φ），x ∈[0，π]，则y=f （x ）的图象与直线y=2的交点个数最多有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【考点】三角函数的最值．

【分析】令f （x ）=2，得sin （3x +φ）=，根据x ∈[0，π]，求出3x +φ的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，可得出函数y=f （x ）的图象与直线y=2的交点最多有4个．

【解答】解：令f （x ）=3sin （3x +φ）=2，

得sin （3x +φ）=∈（﹣1，1）， 又x ∈[0，π]，∴3x ∈[0，3π]， ∴3x +φ∈[φ，3π+φ]；

根据正弦函数的图象与性质，可得

该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解， 即函数y=f （x ）的图象与直线y=2的交点最多有4个． 故选：C ．

10．如图，点F 1、F 2是椭圆C 1的左右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2的渐近线交于点P ，PF 1⊥PF 2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1、e 2，则（ ）

A ．e 22=

B ．e 22=

C ．e 22=

D ．e 22=

【考点】圆锥曲线的综合．

【分析】设椭圆及双曲线方程，由曲线共焦点，则a 12+b 12=c 2，a 22+b 22=c 2，求得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得P 点坐标，由直角三角形的性质，即可求得丨OP 丨=c ，利用勾股定理及椭圆及双曲线的性质即可求得答案． 【解答】解：设椭圆的方程为：，双曲线的方程为：

，P （x ，

y ），

由题意可知：a 12+b 12=c 2，a 22+b 22=c 2，

双曲线的渐近线方程：y=±

x ，

将渐近线方程代入椭圆方程：解得：x 2=，y 2=

，

由PF 1⊥PF 2，

∴丨OP 丨=丨F 1F 2丨=c ， ∴x 2+y 2=c 2，

代入整理得：a 14+a 22c 2=2a 12c 2，

两边同除以c 4，由椭圆及双曲线的离心率公式可知：e 1=，e 2=，

整理得：e 22=，

故选D ．

二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分） 11．已知集合A={x |﹣1≤x ≤2}，B={x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∪B= {x |﹣1≤x ≤4} ，A ∩（?R B ）= {x |﹣1≤x ＜0} ． 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】先求出集合A，B，再求出?R B，由此能求出A∪B和A∩（?R B）．

【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，

∴?R B={x|x＜0或x＞4}，

∴A∪B={x|﹣1≤x≤4}，A∩（?R B）={x|﹣1≤x＜0}．

故答案为：{x|﹣1≤x≤4}，{x|﹣1≤x＜0}．

12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是76cm2，体积是40cm3．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积．

【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为4cm，高为4cm，

由侧视图知四棱柱的高为4cm，

所以该几何体的体积V==40（cm3），

由正视图可知直角梯形斜腰是5，

1+4+4+5）×4=76（cm2），

则该几何体的表面积S

表面积=2×+（

故答案为：76，40．

13．已知随机变量ξ的分布列如下：

﹣

则E（ξ）的最小值为，此时b=．

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．E

（ξ）=0+a2+2（）=a2﹣a+1=+，利用二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：由题意可得：b+a2+=1，即b+a2﹣=，b∈[0，1]，a∈[﹣1，1]．

E（ξ）=0+a2+2（）=a2﹣a+1=+，当且仅当a=时取等号，此

时b=．

故答案为：，．

14．已知f（x）=x﹣2，g（x）=2x﹣5，则不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集

为[，3] ；|f（2x）|+|g（x）|的最小值为1．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】通过讨论x的范围，求出不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集即可；根据绝对值的性质求出|f（2x）|+|g（x）|的最小值即可．

【解答】解：∵f（x）=x﹣2，g（x）=2x﹣5，

∴|f（x）|+|g（x）|≤2，

即|x﹣2|+|2x﹣5|≤2，

x≥时，x﹣2+2x﹣5≤2，解得：≤x≤3，

2＜x＜时，x﹣2+5﹣2x≤2，解得：x≥1，

x≤2时，2﹣x+5﹣2x≤2，解得：x≥，

综上，不等式的解集是[，3]；

|f（2x）|+|g（x）|=|2x﹣4|+|2x﹣5|≥|2x﹣4﹣2x+5|=1，

故|f（2x）|+|g（x）|的最小值是1，

故答案为：[，3]，1．

15．动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为18（用数字作答）．

【考点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征．

【分析】根据分步计数和分类计数原理即可求出答案

【解答】解：从A点出发有3种方法，（A1，B，D），假如选择了A1，则有2种选法（B1，D1）到C1，再从C1出发，若选择了（B1，或D1），则只有一种方法到A，若选择了C，则有2种方法到A，

故“最佳路线”的条数为C31C21（1+2）=18种，

故答案为：18

16．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为3+2．【考点】基本不等式．

【分析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=＞0，解得1＜a＜3．则

2a+b=2a+=a﹣1++3，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＞0，解得1＜a ＜3．

则2a+b=2a+=a﹣1++3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．

故答案为：3+2．

17．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足=3，点P在棱

AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为．

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=．求出P到平面BCD 的距离，即可求出结论．

【解答】解：设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=．

设P到平面BCD的距离为h，则=，∴h=x，

∴sinθ==，

∴x=2a时，sinθ的最大值为．

故答案为．

三、解答题（共5小题，满分74分）

18．在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A满足2cos2A+cos

（2A+）=﹣．

（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若c=3，△ABC的面积为3，求a的值．

【考点】余弦定理．

【分析】（Ⅰ）由三角恒等变换化简2cos 2A +cos （2A +）=﹣，

结合A 的取值范围，即可求出A 的值；

（Ⅱ）根据△ABC 的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求出a 的值．

【解答】解：（Ⅰ）△ABC 中，2cos 2A +cos （2A +）=﹣，

∴2?

+cos （2A +

）=﹣，

即1+cos2A +cos2Acos ﹣sin2Asin

=﹣，

∴

sin2A ﹣cos2A=，

∴sin2A ﹣cos2A=，

即sin （2A ﹣

）=

；

又△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜，

∴﹣＜2A ﹣＜

，

∴2A ﹣=，

解得A=

；

（Ⅱ）c=3，且△ABC 的面积为S △ABC =bcsinA==3，

解得b=4； 由余弦定理得

a 2=

b 2+

c 2﹣2bccosA=42+32﹣2×4×3×=13，

解得a=．

19．如图，棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，侧棱AA 1⊥底面

ABCD ，AB=1，AC=

，BC=BB 1=2．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABB 1A 1；

（Ⅱ）求二面角A ﹣C 1D ﹣C 的平面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥AC，AA1⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，则AC⊥平面DCC1D1，从而∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=，BC=2，

∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥AC，

又∵AA1∩AB=A，AA1，AB?平面ABB1A1，

∴AC⊥平面ABB1A1．

解：（Ⅱ）过点C作CP⊥C1D于P，连接AP，

由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC1D1，

∠CPA是二面角A﹣C1D﹣C的平面角，

∵CC1=BB1=2，CD=AB=1，∴CP===，

∴tan=，∴cos，

∴二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值为．

20．已知函数f（x）=x﹣alnx+b，a，b为实数．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；

（Ⅱ）若|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（I）根据导数的几何意义可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程组解出a，b即可；

（II）分离参数得出x﹣＜a＜x+，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围．

【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，

∴f′（1）=2，f（1）=5，

∴，解得a=﹣1，b=4．

（II）∵|f′（x）|＜对x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜对x∈[2，3]恒成立，

∴|x﹣a|＜对x∈[2，3]恒成立，

∴x﹣＜a＜x+对x∈[2，3]恒成立，

设g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]，

则g′（x）=1+＞0，h′（x）=1﹣＞0，

∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数，

∴g max（x）=g（3）=2，h min（x）=h（2）=．

∴a的取值范围是[2，]．

21．如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）；

（Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）

x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，联立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2

﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距．

（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出△AOB面积取最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： +=1交于A、B两点，且OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，∴，

∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）

联立，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，

则，x1x2=，且△＞0，代入（*）

从而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，

∴，∴t=±，

∴直线l在y轴上的截距为或﹣．

（Ⅱ）设△AOB的面积为S，O到直线l的距离为d，则S=|AB|?d，

而由（1）知d=，且|AB|=

===，

∴≤，

当时，，解得k=，∴t=，

∴所求直线方程为y=或y=．

22．已知数列{a n}满足：a1=，a n=a n

﹣12+a

n﹣1

（n≥2且n∈N）．

（Ⅰ）求a2，a3；并证明：2﹣≤a n≤?3；

（Ⅱ）设数列{a n2}的前n项和为A n，数列{}的前n项和为B n，证明：

=a n

+1

．

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】（I）分别令n=2，3即可计算a2，a3，配方得a n+＞（a n

﹣1

+）2，利用

{a n+}的增减性得出不等式2﹣≤a n，利用{a n}增减性得出a n≤?3；

（II ）分别使用因式分解和裂项法计算A n ，B n ，即可得出结论．

【解答】解：（I ）a 2=a 12+a 1==

，

a 3=a 22+a 2=

=

．

证明：∵a n =a n ﹣12+a n ﹣1，

∴a n +=a n ﹣12+a n ﹣1+=（a n ﹣1+）2+＞（a n ﹣1+）2，

∴a n +＞（a n ﹣1+）2＞（a n ﹣2+）4＞＞（a n ﹣3+）8＞…＞（a 1+）=2

，

∴a n ＞2

﹣，

又∵a n ﹣a n ﹣1=a n ﹣12＞0，∴a n ＞a n ﹣1＞a n ﹣2＞…＞a 1＞1， ∴a n 2＞a n ，

∴a n =a n ﹣12+a n ﹣1＜2a ，

∴a n ＜2a ＜2?22＜2?22?24＜…＜2?22?24?…?2

a 1

=2?（）

=?3

．

综上，2

﹣≤a n ≤?3

．

（II ）证明：∵a n =a n ﹣12+a n ﹣1，∴a n ﹣12=a n ﹣a n ﹣1，

∴A n =a 12+a 22+a 32+…a n 2=（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n +1﹣a n ）=a n +1﹣， ∵a n =a n ﹣12+a n ﹣1=a n ﹣1（a n ﹣1+1），

∴=

=，

∴=

，

∴B n =…+

=（

）+（

）+（

﹣

）+…+（

）

=﹣

．

∴==．