优化作业演示教学
优化作业
第1章
思考题
1. 何为约束优化设计问题？什么是无约束优化设计问题？试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？
2. 一般优化问题的数学模型包括哪些部分？写出一般形式的数学模型。
3. 试简述优化算法的迭代过程。
习题
1. 画出满足下列约束的可行域。
g1(X )= 3x1+2x1-48≤0
g2(X )= x1–18+x2≤0
g3(X )=–x1≤0
g4(X )=–x2≤0
2. 试将优化问题
min F (X)=x12+x22-4x2+4
X∈D?R2
D：g1(X )= 1-x1+x22≤0
g2(X )= x1-3≤0
g3(X )= -x2≤0
的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：
(a) X=[1，1]T是不是可行点？
(b)
T
X?
?
?
??
?
=
2
1
2
5
是不是可行点？
(c) 可行域D是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。
3. 已知某约束优化问题的数学模型为
min F (X)=(x1-3)2+(x2-4)2
X∈D?R2
D：g1(X )= x1-5+x2≤0
g2(X )= 2.5 -x1+x2≤0
g3(X )= -x1≤0
g4(X )= -x2≤0
(1) 该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？
(2) 按一定比例画出目标函数F(X )的值分别等于1、2、3时的三条等值线，并在图上划出可行域。
(3) 在图上确定无约束最优解和约束最优解。
(4) 若在该问题中又加入等式约束h(x)= x1-x2=0，其约束最优解X*、F(x*)又为多少？
第2章
思考题
1. 试说明函数的方向导数与梯度之间的关系？研究函数的梯度对求函数的极值有什么意义？为什么说梯度方向是函数值上升最快的方向只是函数的一种局部性质？
2. 怎样判断多元函数有无极值？
习题
1. 试将函数F (X ) = x12-x1x2+x22写成矩阵向量式，并判断其二次型的系数矩阵是否为正定。
2. 试用矩阵形式表示函数F (X ) = x12 +x22-x1x2-4x2+60，并写出其海森矩阵。
3. 求函数121222122
123)(x x x x x X F --+=在点X (0) =[-2，4]T 处的梯度。 4. 计算二元函数F (X ) = x 13 - x 1x 22+5x 1 -6在点X (0) =[1，1]T 处沿方向L =[-1，2]T 的方向导数F L ' (X (0) )和沿梯度方向?F (X (0) )的方向导数F ?F ' (X (0) )。
5. 已知目标函数
F(X)=(x 1－2)2+x 22
X =[x 1，x 2]T ∈＆?R 2
在不等式约束
g 1(X)=x 12+x 2－1≤0
g 2(X)= －x 2≤0
g 3(X)= －x 1≤0
条件下求得最优点为X *=[1，0]T ，用库恩-塔克条件检验该点是否为条件极值 。
第3章
思考题
1. 为什么说一维优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法？
2. 何为初始单峰区间，它在一维优化方法中有何意义？
3. 利用0.618法和二次插值法求解一维优化问题的基本思想各是什么？
4. 0.618法和二次插值法各有什么优缺点？
5. 对二次函数用二次插值法求优时，为什么从理论上说只需进行一次迭代就可求得最优点？
习题
1. 试用进退法确定函数F (x )=3x 3-8x +92的初始单峰区间，给定初始点x 0=0，初始步长h =0.1。
2. 试用黄金分割法求函数F (x )=(x -3)2的最优解(最小值)。已知初始单峰区间为
[1，7]，迭代精度为ε=0.4。