《幂函数》的教学设计、教学实录和教学反思
《幂函数》教学设计
一、设计构思
1、教材分析
幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性理解。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。所以，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。
2、设计理念
注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
注重提升学生数学思维水平。课堂教学是促动学生数学思维水平发展的主阵地。问题解决是培养学生思维水平的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地实行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的表现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法实行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。
注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习水平是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。
注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，增强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生使用计算机、计算器等实行探索和发现。
另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。
3、教学目标
①．知识目标
（1）了解幂函数的概念；
（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；
（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
②．水平目标
在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳水平，培养学生数形结合的意识和思想。
③．情感目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时
让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
4、教学方法和教具的选择
基于对课程理念的理解和对教材的分析，使用问题情境能够使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，实行数学建构，并能使用数学知识解决问题，让学生有使用数学成功的体验。本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，体现以学生为主体，教师主导作用的教学思想。
教具：多媒体。制作多媒体课件以提升教学效率。
5、教学重点和难点
重点是从具体幂函数归纳理解幂函数的一些性质并作简单应用。
难点是引导学生概括出幂函数性质。
6、教学过程与操作设计：
情景一
我们来看看由8、2、3、1
3
这四个数；
问题1：使用数学符号可组成哪些式？
我们知道：N=a
b
如果a一定，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y=a x；
如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y=log a x。
问题2：如果为定值，随的变化而变化，是不是我们也应该能够建立一个函数呢？函数形式是什么？
设计意图：通过情景一达到复习旧知指数函数和对数函数，分析三种运算间的紧密联系。继而引入新课-----幂函数。
情景二
写出下列关于实际问题的函数解析式：
①正方形边长为a，面积S；
②正方体棱长为a，体积V；
③正方形面积为S，边长a；
④某人骑车t秒内匀速前进了1m,骑车速度为v；
⑤一物体位移为S与位移时间为t，速度1m/s.
问题3：以上问题中的函数有什么共同特征？
设计意图：情景二是学过的几个特殊函数，通过度析其共同点，得出幂函数的定义，并从中理解到幂函数与前面学过的正比例、反比例、二次函数间的关系。
1.定义：（板书）一般地，形如y xα
=的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数。
活动一：尝试练习
练习1.下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）
1
2
y x
=（2）2
2
y x
=（3）32
y x
=+（4）2
y x
=-（5）2
y x-
=
答案：（1）、（5）
练习2.（1）已知幂函数的图像过点（3,27），试求这个函数的解析式；
（2）已知
()()2
21
2m
m f x m m x ++=+?是幂函数，求实数m 的
值.
答案：（1）3
y x =，（2）12m =-±。
小结与反思：
设计意图：练习1、2是为了加深对幂函数概念的理解。 活动二：利用描点法作出下列函数的图象，并观察图象，分组讨论，探究幂函数的图象的变化规律和性质，并展示各自的结论实行交流评析，并填表。
（1）y=x ；（2）2x y =；（3）3
x y =；（4）2
1
x y =；（5）1
-=x y ．
y=x
2
x y =
3
x y =
2
1x y =
1-=x y
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点
问题3.由具体幂函数的性质，你能够归纳出一般的幂函数的性质吗？
设计意图：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。在观察中提炼特征，在总结中发现规律。
活动三：巩固练习
练习3. 作出下列函数的图象
43233
3
5
3
2
,
,
,
,
.y x y x y x y x y x -
-=====
小结与反思： 设计意图：练习3是为了加深学生对图像中指数变化规律的掌握，教会学生用特殊值法求解。
练习4.用不等号填空：
（1）1.30.5 1.50.3；（2）5.1-2 5.09-2；（3）－1.791/4 －1.811/4
；（4）
233.8- 25
3.9；（5） 1.43 1.55；（6）若3a ＞2a ，则a 0；（7）324
3
2334????
?
???
??
。
小结与反思： 设计意图：练习4是为了巩固函数的单调性的应用。函数单调性是判别大小的重要依据。 活动四：例题讲解
例1．若幂函数()()
22
23
1m m f x m m x
--=--在区间（0，+∞）上是增函数，求实数m
的集合。
例2、已知幂函数()223
m m f x x
-++= (m ∈Z )为偶函数且在区间（0，+∞）上是单调增
函数．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()1g x qx q =+-，若()0g x >对任意x ∈[-1，1]恒成立，求实数q 的取值范围．
设计意图：例1是为了增强幂函数的单调性的应用，例2是较综合的问题，把函数的单调性和奇偶性综合在一起，并且还和二次函数的恒成立问题结合，培养学生的综合问题分析、理解水平。
活动五：探究提升
若332
2
(21)(1)a a -
->+，求实数a 的取值范围。
变式：若113
3
(2)
(12)a a --+<-，求实数a 的取值范围。
设计意图：本题主要是为了培养学生思维的发散性和周密性。 课堂小结：
1、课本第87页第
2、3题。
设计意图：数形结合是学习函数的基本方法，本节课的核心内容都能够借助此图掌握。 2、在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）；
（2）如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数。 （3）如果α＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地趋近y 轴；当x 趋向于＋∞时，图像在x 轴上方无限地趋近x 轴。
设计意图：培养学生用图像研究函数的意识。 课外活动
利用计算机探索一般幂函数的图象随的变化规律。
设计意图：培养学生探究的意识和精神，体会人机对话的感受。
《幂函数》的教学实录
师：数学的内在美常常让我深深感动让我们来欣赏运算的完美性。 我们来看看由8、2、3、
1
3
这四个数使用数学符号可组成哪些式？
生：3
28=，2log 83=，1
3
82=。
师：（投影） 师：（投影）函数的完美追求。 如果为定值，随的变化而变化，是不是我们也应该能够建立一个函数呢？函数形式是什么？
生：能够呀！形如的函数.
师：阅读幻灯片中的具体实例（1）~（5），写出关于的函数解析式. 生：（回答）
（1）S=a 2
；（2）V=a 3
； （3）a =
（4）1
v t
=； （5）S=t ．
师：以上问题中的函数有什么共同特征？ 生：底数是未知数，指数是常数. 师：(1) 底数为自变量x ，系数为1； (2) 指数为常数；
(3) 均是以自变量为底的幂.
顾名思义：我们就把这样的函数叫做幂函数。 （板书课题：§2.3 幂函数）
师：请用幂函数的定义完成下面两个练习. （学生自己完成，并核对答案）
并请同学们完成后实行反思，找到此类题目的结构特点和解法. 师：（学生解完后）练习2中的第一题没已知解析式，用什么方法解决？第二题应抓住幂函数的什么性质切入？
生：第一题用待定系数法设，第二题抓住幂函数的系数为1这个性质能够很快解决. 师：函数研究研究函数一般主要从函数“三要素“去研究，刚才研究了解析式，现在来探究幂函数图像并归纳幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、定点等性质。
（由学生自主完成，体验作图方法，最后老师展示下图） 由具体幂函数的性质，你能够归纳出所有幂函数的性质吗？ 生：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）； （2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升； 当时，幂函数的图象类似双曲线，在第一象限逐渐下降。 （3）函数的图象关于轴对称，函数，，的图象关于原点对称，函数的图象没有对称性。 （4）当x ∈（0，1）,指数越大，图像越靠近轴；当x ∈（1，+∞）时，指数越大，图像越靠近轴。
（5）图像不过第四象限。
师：小结与反思：
一法是直接用上面归纳的结论，二法能够取代入解析式，结合图像求解。
生：快速完成练习并小结反思
师：练习4是函数的单调性比较大小，其关键是确定函数模型，第（7）小题用到了几种函数模型？
生：前两者是幂函数模型，后两者是指数函数模型。
师：（组织学生探讨）本题有两个已知条件，，我们该以哪个条件为突破口才能快速的解决问题呢？
生1：哪个都一样！
生2：第一个好解，第二个不好解，所以该先解第一个方程。
师：对！不等式和方程，方程易解，故应该从方程入手，再把所得的根代入不等式检验。
师：第二问“恒成立问题”要通过度离变量转化为“最值问题”。
师：本题最容易漏的条件是什么？
生：定义域。
师：很好，那变式题呢？
生：因为在第一象限是减函数，易解。
师：第一象限说明底数大于0，难道底数就只有大于0的情形吗？
生：（恍然大悟）还能够都是负数、一负一正，不过一负一正该怎么解呢？
师：考虑奇偶性和单调性，能够把底数变为同正吗？
师：本节课主要是通过如图的5个特殊函数来研究所有幂函数的基本性质，请大家记住这5个特殊函数的性质，以此窥全部。
师：网络是工具而不是玩具，如果把网络当成玩具，人生就变成了悲剧。请同学们用电脑完成这个问题。
《幂函数》的教学反思
通过幂函数的研究，让学生体会研究一个新函数要经历：背景——基本特征——形成过程——基本性质——应用的过程；学会用类比分析中找到规律。整个教学过程的绝绝大部分时间都给了学生，让学生动脑动手，培养学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性和批判性，同时让学生经历数学知识的形成与应用过程，培养学生自主探索、自主学习的水平。通过对同类旧知识的回忆，有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中；通过教学过程的设计，将旧知识适当展开，重新组合，使知识的传授和水平的培养有机地结合到一起。这些均提升了学生学习的积极性和自学水平，培养了他们的科学精神和创新思维习惯。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养学生勇于探索、持续创新的思维品质。
在教学过程中，我类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程，并学会处理未知问题的方法。
首先我由生活中的五个实例引入，概念过渡自然，学生易于接受。我引导学生从实例出发类比指数函数的定义自己观察、归纳、总结概括出幂函数的定义。在概念理解上，用步步设问、课堂讨论、练习来加深理解。在这个环节上，部分学生出现了两个问题：一是把幂函数和指数函数混为一谈了；二是对y=2x2及y=x3+2学生误认为幂函数了。针对这两个问题，我对学生强调了幂函数和指数函数的区别，并从另外一个角度（练习二）让学生去理解幂函数。然后，让学生亲自动手画两个图象，提升学生的动手实践水平，数形结合水平。我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出幂函数的性质，绝大部分学生数学基础较差，理解水平，运算水平，思维水平等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。并逐步学会独立提出问题、解决问题。总来说之，调动学生的非智力因素来促动智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。
为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中我引导学生积极参与教学，在对幂函数图像的画法上，我分析学生所画的图像，肯定他们的优点，指出不足。并借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提升学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提升教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。总来说之，本堂课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。
在本节课的实践中，既出现了我所意想不到的效果，但也留下一些遗憾：一是出现了口头语；二是有同学画图时出现的问题若用函数的凸凹性解释会更准确一些，但因为学生还没学函数的这个性质，所以解释的不够准确；三是在解决活动五时学生考虑问题不严谨，分类讨论漏掉自变量一正一负这种情况，在以后的学习中应增强这方面的练习；四是课堂评价更多注重与个人评价，而忽略了小组合作讲评价，评价方式也不够多样。这些不足还有待于我在以后的教学中摸索并改进。