2014届高三理科数学测试题
2014届高三理科数学测试题
2014届高三测试题 数学（理科）
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、i 为虚数单位，若11a i
i i
+=-，则a 的值为（ ） A. i B. i - C. 2i - D. 2i
2、已知集合{}|-22A x a x a =<<+，{}| 2 4 B x x x =≤-≥或，则A B ?=?的充要条件是
A. 02a ≤≤
B. 22a -<<
C. 02a <≤
D. 02a <<
3、已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是
( )
A ．2
a a
b ab >> B ．
2ab ab a
>> C.
2
ab a ab >>
D ．2
ab ab
a
>>
4、设向量(cos55,sin 55),(cos 25,sin 25)a b =??=??，若t 是实数，则||a tb -的最小值为( )
A.
2
2 B. 2
1 C. 1 D. 2
5、曲线
3
3
1x y =
在x=1处切线的倾斜角为 ( )
（A ）1 （B ）4
π- （C ）
4π （D ）54π
6、已知4cos sin 365παα??-+= ??
?
，则7sin 6
πα??+ ???
的值是（ ） A ．
23 B ．
23 C ．4
5-
D ． 4
5
7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的
坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，
2)时，
2|x-1.5|
-,[0,1)
()=-(0.5)
,[1,2)x x x f x x ?∈?∈?若[-4,-2]x ∈时，1
()-42t f x t
≥恒成立，则实数t 的取值范围是( )
A ．[-2，0)(0，l)
B ．[-2，0)[l ，+∞)
C ．[-2，l]
D ．(-∞，-2](0，l]
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
（一）必做题（9～13题） 9、数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且21
n
n S
a =-，则{}n
a 的通
项公式n
a =_____．
10、由曲线2
,x y x y ==
所围成图形的面积是
和DC 相交于点P ，若11,23PB PC PA PD ==，则BC
AD
= ．
三、解答题：本大题共4小题，满分52分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. （本小题满分12分）已知向量
.
4cos ,4cos ,2,4sin 322??? ?
?
=??? ??=x x n x m
（I ）若??
?
?
?+=?3
cos ,2πx n m 求的值； （II ）记n m x f ?=)(，在ABC ?中，角A 、B 、C 的
对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。
17．（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案
,中将可以获得2分;方案乙甲的中奖率为2
3
的中奖率为2
,中将可以得3分;未中奖则不
5
得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案
乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y,求3
X≤的概率;
(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案
乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
18．(本小题满分14分)如图，长方体ABCD－
A
1B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=2，AB=1，AD=m，E为BC
中点，且∠AEA
1恰为二面角A
1
－ED－A的平
面角.
（1）求证：平面A
1DE⊥平面A
1
AE；
（2）求异面直线A
1
E、CD所成的角；
（3）设△A
1
DE的重心为G，问是否存在实数λ，
使得=λ，且MG⊥平面A
1
ED同时成立？若存在，求出λ的值；D
1
A
B
C D
A
1
B
1C1
E
若不存在，说明理由.
19．（本小题满分14分）在周长为定值的?DEC 中,已知||8
DE=,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动
点C运动时,cos C有最小值7
-.
25
(1)以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G的方程;
(2)直线l分别切椭圆G与圆222
+=(其中35
M x y R
:
<<)
R
于A、B两点,求|AB|的范围.
参考答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C
A
D
B
C
C
A
D
二、填空题（每题5分，共30分）
9、1
2n n
a
-= 10、13
11、13
12、5 13、
109
14、5 15、6
6
16. （本小题满分12分）已知向量
.
4cos ,4cos ,2,4sin 322??? ?
?
=??? ??=x x n x m
（I ）若??
?
?
?+=?3
cos ,2πx n m 求的值； （II ）记n m x f ?=)(，在ABC ?中，角A 、B 、C 的
对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。
解
：
（
1
）
m
?
n=2
2
3cos 2cos 444
x x x
+3cos 1
22
x x
++=2sin()126
x π
++． ∵m ?n=2,∴
1
sin()262
x π+=
．
……4分。
2cos()12sin ()
326x x ππ
+=-+=1
2
．
…………6分
（2）∵（2a-c ）cosB=bcosC,由正弦定理得
(2sin sin )cos sin cos A C B B C
-=,
∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=,∴2sin cos sin()A B B C =+．∵
A B C π
++=,
∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠,∴1cos ,23B B π
==
,
…………8分
∴203
A π
<<．
∴1,sin()16262226
A A ππππ
<+<<+<…………9分 又∵f （x ）=m ?n ＝2sin()126x π++，∴f （A ）=2sin()126
A π
++ 故f （A ）的取值范围是（2,3）…………12分 17．（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活
动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23
,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不
得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;
(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“5=X ”,
224
(5)3515
==
?=P X ,11
()1(5)15∴=-==P A P X
∴这两人的累计得分3≤X 的概率为
11
15
.
(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的
次数为1
X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为
2
X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数
学期望为1
(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2
(3)E X ，由已知:1
2
~(2,)3
X
B ,2
2~(2,)
5
X
B
124()233
∴=?
=E X ,224()255
=?
=E X
118(2)2()3
∴==
E X E X ,2212(3)3()5
==
E X
E X 。
12(2)(3)
>E X E X
∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得
分的数学期望最大.
18．(本小题满分14分) 如图，长方体ABCD －
A 1
B 1
C 1
D 1
中，AA 1
=2，AB=1，AD=m ，E 为BC
中点，且∠AEA 1
恰为二面角A 1
－ED －A 的平面角.
（1）求证：平面A 1
DE ⊥平面A 1
AE ； （2）求异面直线A 1
E 、CD 所成的角； （3）设△A 1
DE 的重心为G ，问是否存在实数
λ，
使得=λ，且MG ⊥平面A 1
ED 同时成立？若
存在，求出λ的值； 若不存在，说明理由.
解：如图建立空间直角坐标系，则
D 1
A B C
D
A 1
B 1
C 1
E
)0,0,1(),2,0,0(),0,0,0(1B A A )0,2
,
1(),0,,0(m E m D
（1）1
AEA ∠ 为二面角A 1
－ED －A 的平面角.
ED AE ED E A ⊥⊥∴,1
AE A ED E AE E A 面⊥∴=,1
ED
A ED 1面? ，AE A ED A 1
1
平面平面⊥∴ 4分
（2）)0,2
,1(),0,2,
1(),2,2
,1(1
m AE m ED m E A =-=-
=
1
AEA ∠ 为二面角A 1
－ED －A 的平面角.ED AE ⊥∴，
即0=?
2
=∴m ，取AD 中点F ，则)0,1,0(F
)
0,0,1(),2,1,1(1-=--=EA ，2
1
,cos 111
=
?>=
<∴EF
EA EA
所以0
1
60=∠EF A ，即异面直线A 1
E 、CD 所成的
角为0
60 9分
（3）依题意)0,,2,0(,),3
2
,1,31(λλM G ∴?=
假设存在λ满足题设条件，则01
=?EA 且0=? 即
???
??
?
?=?+-?+?-=?+-?-+?-0320)21(1311032
2)21()1(311λλ 3
1=∴λ 14分 19．（本小题满分14分）在周长为定值的?DEC 中,已知||8DE =,动点C 的运动轨迹为曲线G ,且当动
点C 运动时,cos C 有最小值7
25-. (1)以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程;
(2)直线l 分别切椭圆G 与圆2
2
2
:M x y R +=(其中35R <<)
于A 、B 两点,求|AB |的范围. 解：(1)设 |CD |+|CE |=2a (a >4)为定值,所以C 点的轨迹是以D 、E 为焦点的椭圆,所以焦距2c =|DE |=8. ……………………………..2分
因为2
2
2
2
2
2
2
||||8(||||)2||||828
cos 12||||2||||||||
CD CE CD CE CD CE a C CD CE CD CE CD CE +-+---===- 又
22
2||||()2
a
CD CE a ?≤=,所以
2
2
8cos 12C a
≥-,
………………
…………….4分
由题意得 22
2
87
1,25
225a
a -=-=. 所以C 点轨迹G 的方
程为
22
1.259
x y += ……..6分
(2)设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 分别为直线l 与椭圆和圆的切点, 直线AB 的方程为:y kx m =+ 因为A 既在椭圆上,又在直线AB 上, 从而有
22
1259x y y kx m ?+
=??
?=+?
, ………………..8分
消去y 得:2
2
2
(259)5025(9)0k x kmx m +++-=
由于直线与椭圆相切,故2
2
2
(50)4(259)25(9)0km k m ?=-+?-= ,从而可得:
2
2
925m k =+ ①
1
25k
x m =-
② …………….10分
由222
x y R
y kx m ?+=?=+?
消去y 得:2222
(1)20k x kmx m R +++-=.
由于直线与圆相切,得:
222(1)
m R k =+③ 2
2
kR x m
=- ④ 由②④得:
221(25)
k R x x m
--=
;由①③得:
22
2
925R k R -=
-
22222
212121||()()(1)()AB x x y y k x x ∴=-+-=+-
222222222222
(25)9(25)22525925m k R R R R R m R R R ---=?=?=+---
由3 2225 3034 R R ≤+<; 20||4 AB <≤,从而 0||2AB <≤…………….14分