幅度和相位失真
子项目四:幅度失真和相位失真
当系统对输入信号的不同频率分量具有不同的增益幅值，同时相对相移也发生变化，就使输出波形发生失真，则输出响应的幅度和相位失真。
对于系统，输入信号为)()(t u e t x t -=,频率响应为11)H +=
ωωj j （，而其中幅度为)
1(111)(22ωωω
ω+=+-=j j H ，相位为)arctan(ω?-=。输出响应的傅里叶变换2)1)(1
)H )X )Y +=*=ωωωωj j j j （（（，所以输出信号
为)()(t u te t y t
-=。 以下为MATLAB 软件的仿真程序
function complex2()
t=-5:0.001:5;
x=exp(-(2)*t);
subplot(3,2,1),plot(t,x,'r');
xlabel('t');ylabel('x(t)');title('输入信号');
grid on ;
w=-10:0.001:10;% H(jw)=1/(1+jw) 频率响应
s=1+w.^2;
H_amplitude=1\(s.^0.5);
H_angle=atan(-w);
subplot(3,2,3),plot(w,H_amplitude,'r');
xlabel('w'); ylabel('H_amplitude');title('频率响应幅度');
grid on
subplot(3,2,4),plot(w,H_angle,'r');
xlabel('w'); ylabel('H_angle');title('频率响应相位');
grid on
y=2*exp(-2*t); %
subplot(3,2,5),plot(t,y,'b');
xlabel('t'); ylabel('y(t)');title('输出信号');
grid on
subplot(3,2,6),plot(t,x,'r');% 幅度失真对比
hold on
plot(t,y,'b');
title('幅度失真对比');
hold off
grid on
仿真图形如下：
GPS接收机天线相位中心高的推算方法
GPS接收机天线相位中心高的推算方法 无论是现在流行的卫星定位测量，还是传统的全站仪测量，都需要量取仪器高，而这个高并非就是仪器到测量基准点的实际高，而是一个斜距。GPS接收机的仪器高实际上就是天线相位中心沿铅垂线到基准点的距离，在实际工作中天线相位中心不能够直接标定出来，也无法直接量取。文章通过理论推导出实际天线高的计算公式，从理论和实践两方面对公式进行了论证，分析了量取天线高的误差对实际天线高误差精度的影响。 标签：GPS接收机天线相位中心天线高误差传播 1引言 GPS接收机天线主要用来接收卫星信号，是GPS接收机的重要组成部分，GPS接收机天线的相位中心就是GPS定位的中心，而实际工作中，采用对中整平仪器，量取天线高，来计算出GPS接收机所架设测量控制点的坐。这个过程中，由于没有办法用尺子直接量取从天线相位中心沿铅垂线到基准点的距，也就是无法直接量取实际天线高，量取的天线高实际上是控制点标识中心到GPS天线护圈中心（视仪器而定，此处以Trimble R8仪器为例）的斜距，不是真正意义上到天线相位中心的天线高，这个斜距需要经过改正计算才能得到真正意义上的天线高，那么GPS接收机的天线相位中心的高度到底是如何计算的呢？ 2 GPS实际天线高推算方法 GPS接收机天线经过对中整平后，它的天线相位中心与测量控制点的连线与过天线相位中心的铅垂线是重合的，与GPS接收机天线相位中心所在的平面是垂直的，他们刚好构成了一个直角三角形，这时天线高的值实际上就是，从天线相位中心沿着铅垂线到测量控制点标识中心的距离，而用尺子量取的天线高是斜距，根据勾股定理，只要再知道GPS接收机天线的半径就可以计算出实际的天线高。而实际工作中，仅仅根据勾股定理还不能直接得到天线高，还必须给计算出的天线高加一个常数，这也就是说天线相位中心所在的水平面与量取天线高标识面所在的水平面上并不重合，两个平面之间的距离就是应该加上的常数。 如图1所示，设量取天线高斜距为s，实际天线高为h，天线半径为r，常数为k，则实际天线高的计算公式为： 式中的r可以通过查阅仪器说明书获得，而k的值仪器说明书则没有提供，这里可以通过数学统计参数估计的方，多次精确地量取天线高s和仪器自己计算出来的实际天线高h的值，来反算出k的值，从而得出完整的计算公式，也就确定了天线相位中心的位置。 3 GPS天线高推算方法验证
积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题
积化和差和差化积记忆口诀及相关练习题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-
A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B B．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sin B C．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cos B D．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B 2．sin15°sin75°＝( )
A.18 B.14 C.12 D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 5.sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 6.cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.12 C ．－12 D ．3＋23 7.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2 ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．函数y ＝sin ? ????x －π6cos x 的最大值为( )
A.12 B.14 C ．1 D.22 9．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13 ，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 10．函数y ＝sin ? ????x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2 ])的值域是( ) A ．[－2,2] B.??????－12 ，32 C.??????12，1 D.??????12 ，32 答案 1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、 B 、 C 正确． 2解析：选B.sin15°sin75°＝－12 [cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
GPS天线相位中心消除偏差方法
GPS天线相位中心消除偏差方法 【摘要】本文介绍了GPS接收机相位中心的确定方法和如何减小相位中心偏差的方法，对提高GPS测量精度有一定的作用。该方法在实际应用中已取得了理想的效果。 【关键词】GPS；相位中心；偏差 1．引言 在GPS测量过程中，我们所得到的观测值都是以GPS接收机天线的相位中心位置为准的．而天线的相位中心与其几何中心．在理论上保持一致。可实际上接收机天线的相位中心是随着信号输入的强度和方向不同而时刻变化的，即观测时相位中心的瞬时位置与理论上的相位中心位置将有所不同，这种差别叫天线相位中心的位置偏差，它的影响可达数毫米至数厘米。因此．研究天线相位中心及其变化，找到减小这种偏差的方法，对GPS高精度测量有着重要的意义。 2．GPS天线的相位中心的确定 GPS接收机的相位中心．也就是通常所说的GPS接收机的电气中心，它是一台测量仪的基准点，研究GPS接收机的相位中心的变化规律，是提高测量精度的重要环节。 2．1机内时延 GPS接收机为了使用方便，一般都是天线与主机分开，它们之间通过一根具有一定长度的同轴电缆连接．当信号进入天线经放大、电缆传输、再放大、直到相关解调，于是便有了一个时延，这就是机内时延。
2．2GPS天线的相位中心的确定 在GPS测量过程中．我们一般都是把GPS接收机的天线放在标志点上，通常以天线上表面中心作为GPS接收机的相位中心，而实际上并不是这样。我们知道．GPS接收机在工作时需要同时接收四颗以上GPS卫星信号进行放大、传输、相关解调、运算．求出时间、位置、速度、方向等参数。相关解调点是指卫星信号到GPS接收机时延的参考点，对于每一颗卫星信号而言，相关解调点是测量的参考点(或起算点)。如此看来GPS接收机的相位中心不在天线上，具体在哪?分析如下： 总路程
天线相位中心测量
喇叭天线相位中心的测试方法 史够黎 （中国电子科技集团公司第39研究所 西安710065） 摘要 本文介绍了运用远场相位比较法[1]和近场移动参考点法，测量C / X 双频段光壁喇叭天线的相位中心，讲述了如何根据相位方向图寻找喇叭天线的相位中心并对对误差来源进行了分析，将测试计算结果与软件仿真结果进行比较，两者完全一致。 关键词 喇叭天线 相位中心 相位比较法 移动参考点法 Reserch on Phase Center Measurement of Horn Antenna shigouli （The 39th Rserch Institute of CETC xi ’an710065） Abstract: The paper introduced how use comparison method in far field and the changing reference poind method in near field to reserching phase center of C/X tow band horn. Based on the measured of the horn ’s phase patten detailed how to reserching the phase center of horn antenna . The measurement resule and simulationg were filtted extracttly. Keywords: Horn Antenna Phase center comparison method hanging reference poind method 1概述 喇叭天线作为反射面天线的馈源，需要精确测定相位中心位置，使天线可获得最佳相位照射效率。天线相位中心测量一般采用转台旋转比较法，还可以采用近场测量，通过近远场转换移动参考点测量法进行测量，测量中不移动天线实际位置，而使用测试系统软件虚拟移动参考点，计算出参考点位移值。本文运用转台旋转比较法和移动参考点测量法，对C / X 双频段光壁喇叭天线的相位中心进行了测量。 2测量原理 天线的远场辐射方向图可以表示为[2] (,)?(,)jkr j u e E e r ψθ?θ?-=E u （1） 式中(,)u θ?E 为幅度方向图，(,)ψθ?为相位方向图，2/k πλ=为波数。若天线上或邻近区域内存在某点以它为参考点的(,)ψθ?为常数，则该点为天线的相位中心。对于绝大多数天线来说并没有这样一个点，但一般总可以找到某个点，以它为参考点在一个远场截面的主瓣范围内相位函数为常数，定义此点为该截面的相位中心。 当天线参考点偏离测量系统原点时，对于新参考点的远场表达式为
天线相位中心
天线的相位中心 天线的相位中心概念：天线所辐射出的电磁波在离开天线一定的距离后，其等相位面会近似为一个球面，该球面的球心即为该天线的等效相位中心。 一、天线等效相位中心的坐标的推导： 1、利用远场格林函数公式，可以得到磁矢势的表达为 (1) 2、对方程(1)在整个求解空间进行积分，可以得到远场电场的表达式为 E(r)=(2) 方程(2)中的表示辐射源的坐标，即确定的坐标可得等效相位中心点坐标。 3、如果方程(2)中和电场相关量都是已知的，我们就可以分别确定的分 量。 对于电场远场的相位，可以表示为： 在直角坐标系下，矢量可以表示为： 4、在x-z平面，电场远场的相位可以表示为 (3) 5、对方程(3)的左右两边同乘以，再对在0到的范围内进行积分，由于 三角函数的正交性，消去了和相关的分量，得到表达式 (4) 6、波数，其中是自由空间的光速，f是天线的工作频率，我们可以 得到的表达式为 (5) 我们只需要将暗室测试所得到的电场相位，代入方程(4)，就可以确定出的z方向分量，即相位中心的坐标。 7、和确定的方法类似，我们可以分别得出的和分量的表达式，也即确 定了天线等效相位中心点的坐标。最终的相位中心表达式如下所示
坐标取值范围截面表达式 二、天线等效相位中心的程序实现 上面的分析中，我们已经得到了等效相位中心的x,y,z坐标公式，只需要将微波暗室得到的远场相位数据在相应的面上导出，代入软件中计算即可得出相位中心坐标结果。该软件采用MATLAB语言编写，可在安装了MATLAB 的MCRinstaller工具环境下运行。以下是使用新益技术SY24系统测量天线辐射数据，采用该软件计算中心频率为940MHz的一款dipole天线相位中心结果如下图所示： 图一软件及多频段相位数据 图二软件自动输出的txt文本结果
三角函数的积化和差与和差化积
一、教学目的： 1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。 2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 二、重点、难点： 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。 三、新课讲解： （一）三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导 ())(sin cos cos sin sin βαβαβαβα++=+S ， ()sin sin cos cos sin ()αβαβαβαβ-=--，S ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ+=-+，C ()cos cos cos sin sin ()αβαβαβαβ-=+-，C ()()()()S S S S αβαβαβαβ+-+-+-， ()()()()C C C C αβαβαβαβ +-+-+-，，得 ()()()()()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ++-=+--=++-=+--=-2222 即()()[]sin cos sin sin αβαβαβ= ++-<>12 1 ()()[]cos sin sin sin αβαβαβ=+--<>12 2 ()()[]cos cos cos cos αβαβαβ=++-<>12 3 ()()[]sin sin cos cos αβαβαβ=-+--<>12 4 公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。 其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。 在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用
积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式 田云江 [基本要求] 能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。 [知识要点] 1、积化和差公式： sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)] 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个： sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] 2、和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin cos sinθ-sinφ=2cos sin cosθ+cosφ=2cos cos
cosθ-cosφ=-2sin sin 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 ④合一变形也是一种和差化积。 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。 [例题选讲] 1、求下列各式的值 ①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° ②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26° ③csc40°+ctg80° ④cos271°+cos71°cos49°+cos249° 解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160° =+cos80°+2cos100°cos60° =+cos80°-cos80°=
利用HFSS优化法快速确定天线的相位中心详细教程
利用HFSS优化法快速确定天线的相位中心详细教程 1.什么是天线相位中心天线所辐射出的电磁波在离开天线一定的距离后，其等相位面会近似为一个球面，该球面的球心即为该天线的等效相位中心，如下图（虚线表示该天线的等相位面，在离开天线一定距离后，虚线近似为圆形（最外面一圈），其圆心即为天线的等效相位中心）： 2.HFSS优化法快速确定天线的相位中心（1）用后处理变量定义相对坐标系 A.HFSS》Design ProperTIes，打开DesignProperTIes 对话框; B.点击AddVariable，显示定义设计变量的属性对话框，例如定义为PhaseCenterZ，变量类型设定为PostProcessing variable，单位类型Length，本例初值设为1in； C.用Modeler》CoordinateSystem》Create》RelaTIve CS》Offset 命令定义一个相对坐标系，用前面设定的变量作为Z坐标。 后面的优化过程中可以通过变量改变坐标系定义，而无需重新求解模型。 （2）将相对坐标系用于远场设置计算 点击HFSS》RadiaTIon》InsertFar Field Setup》Infinite Sphere ，定义合适的角度范围与间隔，在坐标系选项卡中，选择定义好的采用了后处理变量的相对坐标系； 当相对坐标系位置改变时（通过改变变量PhaseCenterZ的值），远场量会重新计算，而无需重新仿真模型。 （3）设置优化求解 A.添加一个优化（Optimization）设置 B.点击SetupCalculations按钮，打开计算表达式定义的对话框，定义优化目标用于寻找相位中心，这里将优化的是场量rEPhi的峰峰连续角度。 Geometry选择前面定义的InfiniteSphere。 计算表达式为cang_deg（rEPhi），本例中的天线在Phi=0平面是Phi极化（电场沿着y轴）
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=- 生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
相位中心测试
SATIMO系统升级相位中心测试 随着通信、雷达、人造卫星和宇航技术的发展，对天线的跟踪、定位精确度要求越来越高，单靠幅度波束来搜索定位已不能满足要求，必须以天线的相位中心为基准进行精确定位或测量．而天线的相位中心问题无论在其相位测量应用、形成波束侦收应用、作为干涉仪阵列单元还是作为抛物面天线的馈源使用都很重要．新益根据天线远场辐射场理论，通过改变参考点法来精确测定天线的相位中心，研制了一套基于SATIMO系统上天线相位中心测试模块，使得传统的SATIMO暗室适用范围更广、更能服务客户多元化的需求。 １测量原理 对任意天线，其远区辐射场的某个分量在球坐标系可写为E＝＾uFu（θ，）exp（j φ（θ，））（exp（－jkr）／r），（１）图１移动参考点示意图式（１）中的Fu（θ，）为幅度方向图，函数φ（θ，）为相位方向图函数，k＝２π／λ．相位中心定义为：在天线上或邻近若有一参考点，在给定频率下，使φ（θ，）等于常数，则这个使φ（θ，）为常数的点称为天线的相位中心．对绝大多数天线来说没有这样一个相位中心，但是许多天线可以找到这样一个参考点，使得在主瓣某一范围内场的相位保持相对恒定，则这个参考点称为“视在相位中心”．有的天线可能在不同截面有不同相位中心，而且它们可能不重合，因此测量的相位中心是指某个截面上的相位中心［１～３］．天线在进行相位中心测量时或在使用时，它的相位中心可能偏离了旋转中心（几何中心），如图１所示，即天线的参考点移动到O′，根据远场近似，得到以O′为参考点的远场表达式为［２，４］ 令ψ（θ，）＝φ（θ，）－kr′?＾r，天线的相位中心与转动中心的偏差用小矢量r′表示为 而单位矢＾r可表示为 所以 此式为以O′为参考点的相位中心方向图函数，而φ（θ，）为参考中心与旋转中心重合时的相位方向图函数．相位中心测定就是通过改变Δx，Δy，Δz（即移动参考点O′），使ψ（θ，）－φ（θ，）的变化率最小，从而来寻找相位中心［５］．该式表明测量的相位ψ（θ，）只对该测量面内的相位中心偏移比较敏感，也就是说当＝０，测量的相位ψ（θ，０°）只受Δx，Δz变化的影响，而＝９０°的测量面的相位ψ（θ，９０°）只受Δy，Δz的影响，基于这个关系可用来测定Δx，Δy，Δz ２相位中心的测定 当被测天线是理想的球面波源时，则φ（θ，）等于常数，而实际天线多数不是理想的球面波源，而是有相散的．但可以认为在某一截面内，在主瓣某范围内φ（θ，）等于常数，来测量视在相位中心［５］．现假设相位方向图测量是在＝０°和＝９０°面进行，则式（５）化为
积化和差以及和差化积最简记忆口诀
关于和差化积以及积化和差的两句口诀 sin 和差前后积，cos 和差cos 负sin 一、阐述 1）观察 和差化积 以及 积化和差 公式，找到共同规律，编成最简口诀。 2）“正弦”有“正”字，和“正负号”的“正”字一样，故口诀中必须避免“正”字。 3）口诀的最主要原则是朗朗上口：应如“一价氢氯钾钠银；二价氧钙钡镁锌，三铝四硅五价磷；二三铁，二四碳，二四六硫都齐全……”一般直接明了。 4）口诀中要体现普遍性以及特殊性。比如两组各自填入的角度模式都是一致的，而特殊点在于都有一条公式是带有负号的。 5）不要纠结于字母αβ，而是进行广义化，犹如小学各种小东西的形象化加减计算；应该更加注重公式的主体部分以及其相对位置。亦不要给公式进行编号。 注：若是纠结于字母而记忆字母公式，弊端有如你背诵了圆锥曲线各种表达式后遇到考试题目故意颠倒了字母顺序一般难受，亦有如几何分析故意颠倒了坐标系一样尴尬。 二、规律 观察如下积化和差 以及 和差化积公式： ()()1sin cos =sin sin 2?Θ?+Θ+?-Θ??? ? ()()1cos sin =sin sin 2?Θ?+Θ-?-Θ??? ? ()()1cos cos =cos cos 2 ?Θ?+Θ+?-Θ???? ()()1sin sin =cos cos 2?Θ-?+Θ-?-Θ??? ? ()() sin +sin =2sin cos 22?+Θ?-Θ?Θ ()() sin sin =2cos sin 22?+Θ?-Θ?-Θ ()() cos cos =2cos cos 22?+Θ?-Θ?+Θ ()()cos cos =2sin sin 22?+Θ?-Θ?-Θ- 最主要的规律：“和必同名，和积互逆” 1）“和必同名”（注：减去一个数相当于加上一个负数，作差本质还是作和，差即是和） 我们看到无论是和差化积还是积化和差公式中，关于“和”那一边只有 sin sin ?±Θ、cos cos ?±Θ均没有出现sin cos ?±Θ、cos sin ?±Θ 可见关于“和差”其实只有同名函数之间的和差，若是不同名便是辅助角公式的事了。
积化和差与和差化积同步练习(教师版)
3.3 三角函数的积化和差与和差化积 同步练习 1．下列等式错误的是( ) A ．sin(A ＋ B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B 解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确． 2．sin15°sin75°＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 解析：选B.sin15°sin75°＝ －1 2[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)] ＝－1 2(cos90°－cos60°) ＝－12(0－12)＝14. 3．sin105°＋sin15°等于( ) A.32 B.22 C.62 D.64
解析：选 C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15° 2 ＝2sin60°cos45°＝6 2. 4．sin37.5°cos7.5°＝________. 解析：sin37.5°cos7.5°＝1 2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝1 2(sin45°＋sin30°) ＝12? ???? 22 ＋12＝2＋14. 答案：2＋1 4 一、选择题 1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( ) A.34 B.32 C.12 D.34 解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50° ＝12(sin90°＋sin50°)＋12(cos60°－cos40°) ＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34. 2．cos72°－cos36°的值为( ) A ．3－2 3 B.1 2
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课 一、基本公式复习 1、两角和与差公式及规律 sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan(). 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ ±=±±=±±= m m 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1 sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1 cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1 cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1 sin sin [cos()cos()].2 αβαβαβ=-+-- sin sin 2sin cos .22 αβαβ αβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2 tan .21cos αα αααααααα+?=????-???±==?????-??=?+? 2 sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22 ααααααααα?==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα =- cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+= sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-
三角函数和差化积与积化和差公式
和差化积和积化和差公式 1、正弦、余弦的和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-?+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-?+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβ αβα-?+=+ 2sin 2sin 2cos cos β αβ αβα-?+-=- 【注意右式前的负号】 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么2φθα+= ，2 φθβ-= 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin ?+2φθcos 2 φθ- 2、正切和差化积 tan α±tan β=β αβαcos cos )sin(?± cot α±cot β= βαβαsin sin )sin(?± tan α+cot β=β αβαsin cos )cos(?- tan α-cot β=β αβαsin cos )cos(?+- 证明：左边=tan α±tan β= ββααcos sin cos sin ± =β αβαβαcos cos sin cos cos sin ??±? = βαβαcos cos )sin(?±=右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 3、积化和差公式 ))((][2cos cos sin sin βαβαβα+--=?（注意：此时差的余弦在和的余弦前面） 或写作： ))((][2cos cos sin sin βαβαβα--+-=?（注意：此时公式前有负号） ()()[]2cos cos cos cos βαβαβα++-=? ()()[]2sin sin cos sin βαβαβα-++=? ()()[]2 sin sin sin cos βαβαβα--+=? 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明： ()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ?-?- =? ()()[]2 sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 其他的3个式子也是相同的证明方法。 结果除以2 这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如： cos(α-β)-cos(α+β) =1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β 故最后需要除以2。
和差化积 积化和差的证明
和差化积公式及其推导过程 一和差化积公式 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。 二推导过程： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ， cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 这样，得到了积化和差的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式: sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
积化和差 和差化积 倍角公式 半角公式
1.积化和差公式 证明方法:用和(差)角公式将右边展开即得公式. 积化和差公式记忆口诀 积化和差角加减,二分之一排前边 正余积化正弦和,余正积化正弦差 余弦积化余弦和,正弦积化负余差 2.和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 和差化积公式记忆口诀 和差化积2排前,半角加减放右边 正弦和化正余积,正弦差化余正积 余弦和化余弦积,余弦差化负正积。
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[（α+β）/2]·cos[（α-β）/2]的证明过程因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=（θ+φ）/2，β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）（附证明） cotα±cotβ=sin（β±α）/(sinα·sinβ） tanα+cotβ=cos（α-β）/(cosα·sinβ） tanα-cotβ=-cos（α+β）/(cosα·sinβ）【注意右式前的负号】证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ）/(cosα·cosβ） =sin（α±β）/(cosα·cosβ）=右边 ∴等式成立
和差化积,积化和差
和差化积公式： sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]编辑本段推导过程 和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。推导过程： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ， sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 把两式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 同理，把两式相减，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 这样，得到了积化和差的四个公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ, 那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 把
和差化积积化和差万能公式
正、余弦和差化积公式 指三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然
和差化积和积化和差
龙文教育学科教学案 教师: 赵仁廷学生:董笑阳日期:2012-12-02星期:日时段: 8 : 00-10 :00
α α2sin 214cos 2-= 或 α α2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 24cos 12=-】 辅助角公式推导的应用:方法借助下面的理论3和1的妙用有关。 1的妙用： 典型例题： 例1：sin 20sin 50cos 20sin 40+o o o o =_______ )32tan 28tan 1(332tan 28tan 0 000+++ 思维点拨：对具体求值问题，往往需要凑特殊角去解决求值问题。 变形1：sin 20cos cos 20sin ,sin(50)a a b a +=+=o o o __________ 变形2：0 tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________. 变形3：已知βα,都是锐角，13 5)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值
例3.具体求值问题： （1） sin cos sin cos sin sin 7158 7158 o o o o o o + - · · （2）sin cos sin cos 22 208032080 o o o o ++ 思维点拨：对于型如a x b x sin cos +，可化为() a b x 22 ++ sin?也能达到和差化积的形式之目的，对于高次幂需要降幂去处理问题。 例4：化简： 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin() 44 x x x x ππ -+ -+ 思维点拨：对角、函数名、式子结构化同 例:5：综合运用：化简4 cos 2 sin 22+ -
积化和差和差化积专题(精选)
积化和差、和差化积专题 三角函数的积化和差公式： 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两个公式可合并为一个： 三角函数的和差化积公式： 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sin+ sin=2 sincos ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想. ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个 余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积. ④合一变形也是一种和差化积. ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化 积公式在三角中就起什么作用. 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段. 典型例题： 例1．把下列各式化为和或差的形式： 例2．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°. 例3．
例4．求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例5．求tan20°＋4sin20°的值. 例6．求值： 例7．已知sin(A+B)=，sin(A-B)=﹣，求值： 例8．求sin 220°+cos 2 80°+sin20°cos80°的值. 例9．试证：cos 2(A-)+cos 2 (B ﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值与无关. 专题训练一 一、基础过关 1． 函数y ＝cos x ＋cos ??? ?x ＋π 3的最大值是 ( ) A ．2 B. 3 C.3 2 D.3 3 2． 化简1＋sin 4α－cos 4α 1＋sin 4α＋cos 4α 的结果是 ( ) A ．cot 2α B ．tan 2α C ．cot α D ．tan α 3． 若cos(α＋β)cos(α－β)＝1 3 ，则cos 2α－sin 2β等于 ( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23 4． sin 20°cos 70°＋cos 40°cos 80°的值为 ( )