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上海中考数学试卷及答案

A.1

2016年上海中考数学试卷及答案

一、选择题

1.如果a与3互为倒数，那么a是（）

A.-3

B.3

C.-

【解析】3的倒数是

.故选D.

3 D.

2.下列单项式中，与a2b是同类项的是（）

A.2a2b

B.a2b2

C.ab2

D.3ab

【解析】含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，所以，选A.

3.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）

A.y=(x-1)2+2

B.y=(x+1)2+2

C.y=x2+1

D.y=x2+3【解析】抛物线y=x2+2向下平移1个单位变为y=x2+2-1，即为y=x2+1.故选C.

4.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）

次数人数2

A.3次

B.3.5次

C.4次

D.4.5次

【解析】平均数为：1

(2?2+3?2+4?10+5?6)＝4（次）.故选C. 20

5.如图,已知在?ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边

BC上，设BC=a，AD=b，那么向量AC用向量a、b表示为

（）

a+b B.a-b

C.-a+b

D.-a-b

【解析】因为AB＝AC，AD为角平分线，所以，D为BC中点，

AC=AD+DC=AD+BC＝a+b.故选A.

6.如图，在Rt?ABC中，∠C=90?，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，

⊙ A 的半径长为 3，⊙ D 与⊙ A 相交，且点 B 在⊙ D 外，那么⊙ D 的半径长 r 的取值范围

是（

）

A. 1 < r < 4

B. 2 < r < 4

C. 1 < r < 8

D. 2 < r < 8

【解析】由勾股定理，得：AD ＝5，

⊙ D 与⊙ A 相交，所以，r ＞5－3＝2， BD ＝7－3＝4，

点 B 在⊙ D 外，所以，r ＜4，故有 2 < r < 4 .故选 B.

二、填空题

7.计算： a 3 ÷ a =

【解析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝a 3-1 = a 2 .故填 a 2 .

8.函数 y = 3 x - 2

的定义域是 .

【解析】由分式的意义，得： x - 2 ≠ 0，即 x ≠ 2 .故填 x ≠ 2 .

9.方程 x - 1 = 2 的解是

【解析】原方程两边平方，得： x －1＝4，所以， x = 5 .故填 x = 5 .

10.如果 a = 1

， b = -3 ，那么代数式 2a + b 的值为

【解析】 2a + b ＝ 2 ? - 3 ＝－2.故填－2.

11.不等式组 ?2x < 5 ? x -1 < 0

的解集是 .

? 5 ? x <

【解析】原不等式组变为： ? 2 ，解得： x < 1.故填 x < 1.

?? x < 1

12.如果关于 x 的方程 x 2 - 3x + k = 0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是

【解析】因为原方程有两个相等的实数根，所以，Δ＝9－4k ＝0，所以，k ＝ 9 9

.故填 .

4 4

【解析】向上的一面出现的点数是3的倍数有3、6两种，所以，所求概率为：2

13.已知反比例函数y=k

（k≠0），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y的值x

随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是.

【解析】反比例函数y=k

，当k>0时，函数图像所在的每一个象限内，y的值x

随着x的值增大而减小；当k<0时，函数图像所在的每一个象限内，y的值

随着x的值增大而增大.故填k>0.

14.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、???、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是.

故填1 3 .

15.在?ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么?ADE的面积与?ABC的面积的比是.

【解析】因为点D、E分别是AB、AC的中点，所以，DE∥BC，DE=所以，△ADE∽△ABC，又相似三角形的面积比等于相似比的平方，1

2 BC,

所以，?ADE的面积与?ABC的面积的比是(DE

11 )2＝.故填.

16.今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是.

【解析】设总人数为x，由扇形统计图可知，自驾占40%，所以，x＝选择公交前往的人数是：12000?50%＝6000.故填6000.4800

40%＝12000,

所以，tan∠ABA′=tan∠BA′C=C'D

17.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米.（精确到1米，参考数据：3≈1.73）

【解析】依题意，有∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，

tan30?= tan60?=BD

，所以，BD＝90tan30°＝303，

，所以，CD＝90tan60°＝903，

所以，BC＝1203≈120?1.73≈208.故填208.

18.如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A'、C'处，如果点A'、C'、B在同一条直线上，那么tan∠ABA'的值为.

【解析】如下图，设矩形的边长CD＝x，

由,整理，得：x2+2x-4=0，解得：

x=-1±5，

所以，CD＝5-1，

5-1

A'D2

故填5-1 2.

1 （三、解答题

1 19.计算： | 3 - 1| -4 2

- 12 + ( )-2

【解】原式 = 3 - 1 - 2 - 2 3 + 9 = 6 - 3 .

20.解方程： 1 4 -

x - 2 x 2 - 4

= 1.

【解】去分母，得 x + 2 - 4 = x 2 - 4 ,

移项、整理得 x 2 - x - 2 = 0 ,

解得 x 1=2,x 2=-1,

经检验： x = 2 是增根，舍去； x = -1 是原方程的根.

所以，原方程的根是 x = -1 .

21.如图，在 Rt ?ABC 中，∠ACB = 90? ，AC = BC = 3 ，点 D 在边 AC 上，且 AD = 2CD ，

DE ⊥ AB ，垂足为点 E ，连接 C E ，求：

（1）线段 BE 的长；（2） ∠ECB 的余切值；

【解】 1）∵ AD = 2CD ， AC = 3 ,∴ AD = 2 .

在 Rt ?ABC 中， ∠ACB = 90? ， AC = BC = 3 ，

∴ ∠A = 45? ， AB = AC 2 + BC 2 = 3 2 .

∵ DE ⊥ AB ,∴ ∠AED = 90? ， ∠ADE = ∠A = 45? ，

∴ AE = AD ? cos 45? = 2 ,

∴ BE = AB - AE = 2 2 ，即线段 BE 的长是 2 2 .

（2）过点 E 作 EH ⊥ BC ，垂足为点 H .

在 Rt ?BEH 中， ∠EHB = 90? ， ∠B = 45? ,

∴ EH = BH = EB ? cos45 ? = 2 ，又 BC = 3 ， ∴ CH = 1.

在 Rt ?ECH 中， cot ∠ECB = CH 1 1

= ，即 ∠ECB 的余切值是 .

EH 2 2

22.某物流公司引进 A 、 B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续

由线段 EF 过点 E (1,0) 和点 P(3,180) ，得 ? ，解得 ? 1 3k + b = 180 b = -90

? ? （（搬运 5 小时， A 种机器人于某日 0 时开始搬运，过了 1 小时， B 种机器人也开始搬运，如

图，线段 OG 表示 A 种机器人的搬运量 y （千克）与时间 x （时）的函数图像，线段 EF 表 A

示 B 种机器人的搬运量 y （千克）与时间 x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解 B

答下列问题：

（1）求 y 关于 x 的函数解析式；

（2）如果 A 、 B 两种机器人各连续搬运 5 个小时，

那么 B 种机器人比 A 种机器人多搬运了多少千克？

【解】 1）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = k x + b （ k ≠ 0 ），

?k + b = 0 ?k = 90 1 1

，

所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = 90 x - 90 （1 ≤ x ≤ 6 ）. B B

（2）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = k x （ k ≠ 0 ）， A A

由题意，得180 = 3k ，即 k = 60 ,∴ y = 60 x . 2 2

当 x = 5 时， y = 5 ? 60 = 300 （千克）， A

当 x = 6 时， y = 90 ? 6 - 90 = 450 （千克），

B 450 - 300 = 150 （千克）.

答：如果 A 、 B 两种机器人各连续搬运 5 小时，那么 B 种机器人比 A 种机器人多

搬运了 150 千克.

23.已知，如图，⊙ O 是 ?ABC 的外接圆， AB = AC ，点 D 在边 BC 上， AE ∥ BC ，

AE = BD .

（1）求证： AD = CE ；

（2）如果点 G 在线段 DC 上（不与点 D 重合），且

AG = AD ，求证：四边形 AGCE 是平行四边形.

【证明】 1

）在⊙ O 中，∵ AB = AC ,∴ AB = AC ,∴ ∠B = ∠ACB .

∴?，解得?.?a-b-5=0b=-4

四边形ABCD =S

∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC.

又∵BD=AE,∴?ABD≌?CAE,∴AD=CE.

（2）连接AO并延长，交边BC于点H，

∵AB=AC，OA是半径,∴AH⊥BC,∴BH=CH.

∵AD=AG,∴DH=HG,∴BH-DH=CH-GH，即BD=CG.

∵BD=AE,∴CG=AE.

又∵C G∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形.

24.如图，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）经过点A(4,-5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为D.

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标；

【解】（1）∵抛物线y=ax2+bx-5与y轴交于点C,∴C(0,-5),∴OC=5.

∵OC=5OB,∴OB=1.

又点B在x轴的负半轴上,∴B(-1,0).

∵抛物线经过点A(4,-5)和点B(-1,0)，

?16a+4b-5=-5?a=1

∴这条抛物线的表达式为y=x2-4x-5.

（2）由y=x2-4x-5，得顶点D的坐标是(2,-9).

连接AC，∵点A的坐标是(4,-5)，点C的坐标是(0,-5)，

又S

?ABC

=?4?5=10，S=?4?4=8,

?ACD

∴S

?ABC +S

?ACD

=18.

（3）过点C作CH⊥AB，垂足为点H.

∴tan∠CBH=

（

∵S

?ABC

=?AB?CH=10，AB=52,∴CH=22.

在Rt?BCH中，∠BHC=90?，BC=26，BH=BC2-CH2=32,

2BO

=.在Rt?BOE中，∠BOE=90?，tan∠BEO=

BH3EO

BO233

∵∠BEO=∠ABC,∴=，得EO=.∴点E的坐标为(0,).

EO322

25.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90?，AD=15，AB=16，B C=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且

∠AGE=∠DAB；

（1）求线段C D的长；

（2）如果?AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；

（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

【解】1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H,

在Rt?DAH中，∠AHD=90?，AD=15，DH=12,

∴AH=AD2-DH2=9.

又∵AB=16,∴CD=BH=AB-AH=7.

（2）∵∠AEG=∠DEA，又∠AGE=∠DAE,∴?AEG∽?DEA.

由?AEG是以EG为腰的等腰三角形，可得?DEA是以AE为腰的等腰三角形.

①若AE=AD，∵AD=15,∴AE=15.

②若AE=DE，过点E作EQ⊥AD，垂足为点Q,∴AQ=115 AD=. 22

在Rt?DAH中，∠AHD=90?，cos∠DAH=AH3

=. AD5

在Rt?AEQ中，∠AQE=90?，cos∠QAE=AQ325 =,∴AE= AE52

综上所述：当?AEG是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为15或25 2.

（3）在Rt?DHE中，∠DHE=90?，DE=DH2+EH2=122+(x-9)2.

∵?AEG∽?DEA,∴AE EG

DE AE

,∴EG=,

122+(x-9)2

∴DG=122+(x-9)2-

122+(x-9)2

∵DF∥AE,∴

∴y=225-18x

DF DG y122+(x-9)2-x2

=，=,

AE EG x x2

，x的取值范围为9