高一数学函数的单调性

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

高中数学函数的单调性与最值练习题

函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[)

高一函数单调性完整版

函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =

高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质

函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②

高考总复习：函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义

图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 .

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m f (n )； ???? ??1x >1，即|x |<1，且x ≠0. 故－1 (－1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． [注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a)

高一数学函数的性质

高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写 作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数 的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A}叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法

⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的 y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x)(x∈A),则， y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。 高一数学函数的性质

高一数学函数单调性的定义图象及应用

函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2) ． 2．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M；②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在 x0 ∈ I，使得f(x0) ＝M 结论M为最大值M为最小值 注意： 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)·g(x)，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． f( x) ［试一试］ 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 解析：选 A 选项 A 的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f(x)＝x2－2x(x∈［－2,4］)的单调增区间为___ ；f(x)max＝ ________ . 解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为［1,4］，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案：

高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学函数的单调性 与最值教案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

高一数学——函 数 第三讲 函数的单调性与最大（小）值 【教学目标】： （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性； （4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。 【重点难点】： 1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义， 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。 【教学过程】：用具： 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （3）函数图象是否具有某种对称性 2、画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______ ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______ ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x 2 ，当x 1

高一数学必修四(公式总结)

高一数学公式总结 复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” ◆听得懂 想得通?记得住?说得出?用得上

高一数学教案：函数的基本性质

教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

(完整word版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值.doc

第二节函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 ， x 定义 当 x1f(x2)，那么就说函数 就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的f( x)在区间 A 上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义 如果函数 y＝ f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的，那么称 A 为单调区间．易误提醒求函数单调区间的两个注意点： (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“ 定义域优先” 的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“ ∪”联结，也不能用“或” 联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1， x2∈[a， b] ，那么

f x1－ f x2 ①>0? f(x)在 [a， b]上是增函数； x1－ x2 f x1－ f x2 <0? f(x) 在[a， b] 上是减函数． x1－ x2 ②(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a， b]上是增函数； (x1－ x2 )[f(x1)－ f(x2)]<0? f(x)在[ a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝ f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝ f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝ f[g(x)] 必为减函数． [ 自测练习 ] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A ． f(x)＝x B ． f(x)＝ (x－ 1) 2 C．f(x)＝ e x D ．f(x)＝ ln( x＋1) 2．函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间是________． － x2－ ax－ 5， x≤ 1， 3．已知函数 f(x)＝ a 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 () x， x>1 A ． [－ 3,0) B ． [－3，－ 2] C．( －∞，－ 2] D ．(－∞， 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ，都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I，都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ，使得 f( x0)＝ M 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．