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方案设计专题复习
“方案设计型”试题是指通过阅读、观察、探索等方法，从题冃提供的相关材料中发现有川的解题信息，并综合运用所学知识加以分析、计算、比较和判断，在题口所提供的或隐含的多种方案中得到最优方案的一?种试题.
这种试题的特点是：解决问题的方案不是惟一的，具有多样性和选择性，因而乂具有开放型试题的特点.“方案设计型”试题有时会给出设计要求，让考生自己设计方案;有吋需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比鮫等手段寻找解决实际问题的方法，得出最佳方案.这种试题命题的背景广泛，考生?自由施展才华的空间人，是近年來屮考试题的一个新的亮点，而且所占试题的比分比较多.
一、利用方程和不等式进行方案设计
【例1 ] 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项冃的门票.
（1）若全部资金用來预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
【解析】（1）设预订男篮门票无张，则乒乓球门票（10-x）张.
由题意,得1000兀+ 500（10—兀）= 8000,
解得*6.
??.10—兀=4.
答：可订男篮门票6张,乒乓球门票4张.
(2)解法一：设男篮门票与足球门票都订Q 张，贝|J 乒乓球门票(10-2°)张.
10006/ + 800^ + 500（10 一 2a ） W 8000, 500（10-2^）^10006/.
1 3 解得 2—WaW3 二.
2
4
由d 为正整数可得。=3?
答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张.
解法二：设男篮门票与足球门票都订Q 张，贝IJ 乒乓球门票(10-2d)张.
500（10-2°） ￡1000/ 10 — 2a > 0.
解得詐°<5.由。为正整数删"3或“4.
当 a = 3 时?，总费用 3x1000 + 3x800 + 4x500 = 7400 （元）<8000 （元）, 当a = 4时，总费用4x 1000 + 4x800 + 2x500 = 8200 （元）>8000 （元）, 不合题意，舍去.
答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，厅乓球门票4张.
【点评】本题把当询社会热门话题“2008年北京奥运门票预订”作为问题背景，考查了方 程和不等式的有关知识，述考查了学生数学应用意识以及运算数学知识解决实际问题进行方案设 计的能力.此类问题同学们在复习中应该给予垂视.
【例2】已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点〃出发行驶.
? ? ?? ????
(1) 若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了 90千米后立即返冋与乙车相遇，相遇时乙车走 了 1
小时.求甲、乙两车的速度；
(2) 假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油町以行驶10千米，途中不能再加 汕，
但两车可以互相借川对方的汕，若两车都必须沿原路返回到出发点/!,请你设计一种方案使 甲车尽可能地远离出发点A,并求出甲车一共行驶了多少千米？
【解析】(1)设甲，乙两车速度分别是龙千米/时和y 千米/时，
x = 2 y x 1 + y 1 = 90 x 2
由题意，得
由题意，得
根据题意得:
兀= 120
解之得： /
2 = 60
即甲、乙两车速度分别是120千米/吋、60千米/时.
（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离岀发点力行驶了 <千米,
乙汽车行驶了厂「米，则 兀+ yW 200x10x2 "兀-yW 200x10
'
即甲、乙一?起行驶到离/点500
千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000 千米返回到乙停止处，再向乙借油50升,最后一同返回到/点，此时，甲车行驶了共3000千米.
方案二：（画图法）
此时,甲车行驶7500x2 + 1000x2 = 3000 （千米）.
方案三：先把乙车的汕均分4份，每份50升.当甲乙一同前往，用了 50升时，甲向乙借汕 50升，乙停II ：不动，甲继续前行，当用了 100升汕后返回，到乙停处乂用了 100升汕，此时甲 没有油了，再向乙借油50升，一同返回到力点.
此时，甲车行驶了50x10x2 + 100x10x2 = 3000 （千米）.
【点评】木题第⑵问中的三个方案设计体现了三种不同的思考方式，让考生冇多样的解答 途径，是一道很好的贴近新课标的方案设计考题，真正做到了 “让不同的人在数学上有不同的发 展”.
二、利用函数知识进行方案设计 【例
3】善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好.某一犬 小迪有
20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间兀（单位：分钟）与学习收益量y 的 关系如图1所示，
用于回顾反思的吋间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中 OA 是抛物线的一部分，
A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的吋间不超过用于解题的吋间.
（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间兀之间的函数关系式；
??? 2x^200x10x3 即兀 W3000. 如图
(2) 求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式；
【解析】(1)由图1,设y = kx .当兀=1时，y = 2f 解得k = 2,???y = 2x(0WxW20).
(2)由图2,当0 Wxv4时,设y = a(兀一4尸+16.
当兀=0时，y = O,
/. 0 = 1+16 .
/? a = —I.
/. y = -(x-4)2
+16 ,即 y = -x 2
+ 8x.
当 4WxW10 时，y = l6 ?
MI
. R 2+8X (0W 兀＜4), 因此y = i ,, 16 (W10).
(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0W 兀W 10)分钟,
学习收益总量为y ,贝I 哋用于解题的时间为(20-X )分钟.
当 0 W x v 4II 寸，y = -x 2
+8x +2(20-兀)=-x 2
+6x + 40 = -(x-30)2 +49 .
当兀=3时,y 最大=49.
当 4 WxW 10 吋，y = 16 + 2(20-x) = 56-2x ?
y 随兀的增大而减小，因此当兀=4时，九人=48.
(3) 问小辿如何分配解题和回顾反思的吋间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?
综上，当x = 3时，y鮎、=49,此时20-x = 17.
答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大.
【点评】此题它重在考查同学们运川函数知识解决实际问题，并进行方案设计的能力，同时蕴涵曹对学生读图能力、分类讨论思想和思维缜密性的考查；还有，本题取材于学习牛?活，让学生有亲切感，以解题?反思为关键词也很好的起到了中考试题的人文教育意义.
三、利用统计与概率知识进行方案设计
【例4】某学校举行演讲比赛，选（IIT 10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案來确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
方案1所有评委所给分的平均数.
方案2在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数.
方案3所有评委所给分的中位数.
方案4所有评委所给分的众数.
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）小的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分.
【解析】（1）方案1 最后得分:^（3.2 + 7.04-7.8 + 3x8 + 3x8.44-9.8） = 7.7；
方案2 最后得分：|（7.0 + 7.8 + 3x8 + 3x&4） = 8；
方案3最后得分：8；
方案4最后得分：8或8.4?
（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”,
所以方案1不适合作为最后得分的方案.
因为方案4中的众数有两个,众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案. 【点评】本题以统计知识为方案设计的背景，第（2）问是根据统计的相关指标进行方案的 优选问题，只要熟悉数据集中趋势的儿个指标的特点就不难作答.要注意体会是这道题渗透的一 种用统计知识服务于生活应用上的思想.
【例5】某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其屮甲品牌有A, B 两种型号，乙品牌有 C, D,
E 三种空号.朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机.
（1） 利用树状图或列表法写出所冇选购方案；
（2）
各种型号打印机的价格如下表：
甲品牌
乙品牌
型号 A B C D E 价格 （元）
200 0
1700
1300
1200
1000
朝阳中学准备购买两种品牌的打印机30台，其川乙品牌只能选购E 型号，准备用足资金5 万元，试分析这次打印机购买方案.
【解析】（1）所列树状图或列表表示为:
结果为：(A, C),(A, D),(A, E),(B, C),(B, E)；
（2）设选购E 型号的打印机兀台（兀为正整数），则选购甲品牌（A 或B 型号）（30-兀）台,
由题总得:
当甲品牌选A 型号时：1000兀+ （30-x ）x2000 = 50000 , 解得兀= 10,
当甲品牌选 B 型号时：1000% + （30 — x ） X1700 = 50000 , 解得% =—（不合题意）
C
D E A A, C A, D A, E B
B, C
B, D
B, E
7
综上，木次选购方案为A型号打卬机选购20台，E型号的打印机选购10台.
【点评】本题从与学校生活有关的实际问题出发，考查用概率知识列举所有可能方案的能丿J.学生在确定所冇选购方案的过程中，进一步丰富了对概率的认识，培养了运用所学数学知识分析实际问题的意识.第（2）问综合了方程知识考查方案设计.在具体的列方程中，用到了分类讨论的思想.
卩4、利用几何知识进行方案设计
【例6】为创建绿色校园，学校决定对一块匸方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所価的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种.
① ② ③ ④ ⑤
【解析】以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一.
【点评】这道方案设计问题比较开放，只要设计出來的图形符合两个要求即可.在处理类似的问题时，要注意的是不要急于着手在卷面作图，而是应该先在草稿纸上分析符合条件的草图, 思考它们的画法，然示再到卷而进行规范的设计.
【例7］经过江汉平原的沪蓉（上海一成都）高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的昇处测得对岸岸边的一根标杆〃在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得ZACB = 68°?
（1）求所测之处江的宽度（sin 68° ? 0.93,cos68° ? 0.37, tan 68° ?2.48.）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②屮呦出图形.
【解析】（1）在RtABAC 中，ZACB = 68°,
A A
B = AC-tan 68° ? 100 x 2.48 = 248 （米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中要能看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的 知识來解决
问题的.
【点评】这是一道与现实生活联系紧密的测量问题，试题具冇开放性，要求学生既动脑思考 又动手曲图，它着重考杏学生应用数学知识解决问题的能力.对于参加屮考的同学们来说，解题 的方法并不惟一.同学们可以利用多种儿何性质设计出多种测量方案.
动手练一练
1. 小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞 镖掷中阴
影部分时，小明胜，否则小华胜（没冇掷中靶或掷到边界线时重掷）.
（1）
不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由.
（2） 请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平.
1.（1）这个游戏公平.
???根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆血积的一半, 这个游戏公平.
（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把英中的一半作为阴影部分即可.（图略）
2. 田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、屮、下三匹马，同等 级的马
中，齐王的马比田忌的马强.冇一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各 出一匹，每匹马赛一次，嬴得两局者为胜.
看样子川忌似乎没有什么腔的希望，但是川忌的谋上
A C
图①
图甲 图乙
了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……
（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，ED忌才能収胜？
（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，出忌获胜的概率是多少？（耍求写出双方对阵的所有情况）
2.解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，［Q忌的马按下、上、中的顺序出阵，［Q忌才能取胜.
（2）当口忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：
双方马的对阵小，总有一种对抗情况III忌能赢，所以田忌获胜的概率P =丄.
6
3.我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨.
（1）共有几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货不每辆需付运费70（）元，请选出最佳方案，此方案运费是多少.
3. （1）设安排甲种货车兀辆，乙种货车（6-x）辆，
4 兀+ （6-无）21
5 J 兀23
根据题意，得:
兀+ 3（6—兀）2 8 兀W5
X取整数有：3, 4, 5,共有三种方案.
（2）租车方案及其运费计算如下表.（说明：不列表，用其他形式也可）
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元.
4.高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB,如图（a）.
（1）某一时刻测得人树AB.教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC = 2.5米，DF = 7.5米,
求人树4B的高度；
(2)现有皮尺和高为力米的测角仪，请你设计另一种测量大树人B高度的方案，要求：
①在图11 (b)中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测量的数据标记在图上(长度用字母加，n……表示，角度用希腊字母％0……表示)；
②根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度(用字母表示).
rrndJUJHM a
r
_ _ _ B
图(〃)
4. (1)连结AC, EF ,则厶ABC S MDF
.AB 2.5
? ? —
12 7.5
???AB = 4
即大树4B高是4米
(2)解法一：
①如图1 (b )(标注加，a ,画草图也可给相同的分)
②在Rt/\CMA中，AM = CM tan a = m tan a
/. AB = m tan a + h
A
解法二:
① 如图1 （c ）（标注加，a, 0,也可画草图） ② AM cot a 一 AM cot （3 -m
cot - cot /?
5. 随着人陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了人陆市场.一水果经销商购进了
A, 〃两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售.预
计每箱水果的盈利情况如下表：
A 种水果/箱
B 种水果/箱
甲店 11元 17元 乙店
9元
13元
有两种配货方案（整箱配货）：
方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中A 种水果两店各5箱，B 种水果两店各5箱；
方案二 按照卬、乙两店盈利相同配货，其中A 种水果甲店 ____________ 箱，乙店 _________ 箱；B 种 水果甲店 ________ 箱，乙店 __________箱.
（1） 如來按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；
（2）
请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较, 哪
种方案盈利较多？
（3） 在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设让出使水果经 销
商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
5. （1）按照方案一配货，经销商盈利： 5x11 + 5x9 + 5x17 + 5x13 = 250 （元）
（2）只要求学生填写一种情况.
???AB =
in
cot Q — cot 0
第一种情况：2, 8, 6, 4；第二种情况5, 5, 4, 6；第三种情况：8, 2, 2, 8.
按第一种情况计算:（2x11 + 17x6）x2 = 248 （元）；
按第二种情况计算：（5x11 + 4x17）x2 = 246 （元）；
按第三种情况计算：（8x11 + 2x17）x2 = 244 （元）.
方案一比方案二盈利较多.
（3）设甲店配A种水果x箱.则甲店配B种水果（10-x）箱，
乙店配A种水果（10-x）箱，乙店配〃种水果10-（10-x） = x箱.
???9x（10-x） + I3 心100,
x 2 2—?
2
经销商盈利为y = llx + 17x（10-_x） + 9x（10-x） + 13x
=-2x + 260.
当x = 3时，y值最大.
方案：甲店配4种水果3箱，B种水果7箱.乙店配4种水果7箱，B种水果3箱.最人盈利: -2x3 + 260 = 254 （元）.
6.荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产棊地指导菜农修建大棚种植蔬菜.通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元：购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种了、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖
7.5力元.
（1）基地的菜农共修建大棚兀（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y关于x的函数关系式.
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚.（用分数表示即可）
（3）除种了、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用.如果按3年计算，是否修建人棚面积越人收益越人？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基
地修建大棚提一项合理化建议.
6. (1) y =
7.5x-(2.7x + 0.9x2 +0.3x) = -0.9x2 +4.5x.
（2）当一0.9/+4.5X =5时，即9X2-45X +50=0, X =-,无=一
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从投入、占地与当年收益三方而权衡，应建议修建丄公顷大棚.
3
（3）设3年内每年的平均收益为Z （万兀）
Z = 7.5x 一（0.9 兀 + 0.3x2 + 0.3 兀）=-0.3%2 + 6.3% = -0.3（% 一10.5）2 + 33.075 不是面积越大收益越大.当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益.
建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益.
②大棚面积超过10.5公顷吋，扩大面积会使收益下降.修建面积不宜肓目扩大.
③当—0.3/+6.3兀二0时，x, =0, X2=21?大棚而积超过21公顷吋，不但不能收益,
反而会亏本.