第51讲 数列函数,傻傻分不清楚(2015-5-5 14.11.47)
数列与不等式测试题及答案
数列与不等式测试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0
7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+，前n 项和为9 19 ，则项数n 为（ ） A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正 整数k 构成集合为 （ ） A ．{5} B ．{6} C ．{5,6} D ．{7} 11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项，则 22ab a b +的最大值为（） A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.公差不为0的等差数列{}n a 中，2 37 11220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = .
三角函数、数列、不等式练习题练习题1
三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++=
高中数学竞赛专题讲座---数列与和式不等式(1)
数列与和式不等式 数列与和式不等式的解题方法需要同学们深入了解，在解题过程中，往往要利用一些恒等式、变换法等方法对数列和式进行变形，并结合数列求和等相关知识，灵活运用各种技巧．尤其当涉及到整数命题的证明，有时候也可以考虑用归纳法进行证明，当然在证明过程中，解题方法并非千篇一律，而是灵活多变，根据具体题意可以寻找恰当的解法，二者之间的紧密结合，也在竞赛中作为考察学生的重要题型之一，下面通过例题简要介绍几种解题方法与技巧： 例1 已知i x R ∈(1,2,,,2)i n n =≥ ，满足 1 1 ||1,0n n i i i i x x ====∑∑．求证： 1 1122n i i x i n =≤-∑ 证：设 1 1 ,n n i i i i x x A B a b i ===+=+∑∑ ，其中,A a 为正项之和，,B b 为负项之和，由题意知， 0,1A B A B +=-=，得12A B =-= ,因为,A B a A B b n n ≤≤≤≤，所以A B B a b A n n +≤+≤+, 即111 11()2222n i i x n i n =--≤≤- ∑，也就是11122n i i x i n =≤-∑ 说明：本题通过设元，将数列拆分成正负两部分，然后运用不等式相关知识，很自然过渡到绝对值不 等式． 例2 设1112n a n =+ ++ ，*n N ∈，求证：对2n ≥，有2 322()23n n a a a a n >+++ ． 证：22 2212 2211111111(1)(1)2(1)22121 1211 ()2.n n n n a a n n n n n a a n n n n n --=+++-+++=+?+++--=+-=?- 故22 321222111 2( )()2323n n a a a a a n n -=+++-+++ .所以 2 332222233221111112( )(1)2()(1)2323231223(1)1 2()2(). 2323n n n n n a a a a a a a n n n n n a a a a a a n n n =++++---->++++----??-=++++>+++ 说明：本题若通过n a 表达式来证明将非常复杂，可以考虑通过建立递推关系，使问题很容易得到解决． 例3 无穷正实数列{}n x 有以下性质：011,(0)i i x x x i +=≤≥ (1) 试证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个1n ≥，使下式成立22 201112 3.999n n x x x x x x -+++≥ (2) 寻找这样一个数列，使得下列不等式22 2011124n n x x x x x x -+++< 对任一n 成立. 证：（1）
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：
数列的函数特性习题(含答案)
课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．已知a n＝3n－2，n∈N＋，则数列{a n}的图像是() A．一条直线B．一条抛物线 C．一个圆D．一群孤立的点 D[∵a n＝3n－2，n∈N＋，∴数列{a n}的图像是一群孤立的点．] 2．已知数列{a n}满足a1＞0,2a n＋1＝a n，则数列{a n}是() A．递增数列B．递减数列 C．常数列D．以上都不对 B[∵a1＞0，a n＋1＝1 2a n，∴a n＞0，∴a n＋1 a n＝ 1 2＜1，∴a n＋1 ＜a n.] 3．在递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0)D．(－∞，0] C[∵{a n}是递减数列，∴a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.] 4．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}中第几项最大() A．第6项B．第7项 C．第6项或第7项D．第5项 D[a n＝－n2＋10n＋11＝－(n2－10n＋25)＋36 ＝－(n－5)2＋36，所以当n＝5时，a n最大．] 5．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1＞a n，则该函数的图像是()
A[由a n＋1＝f(a n)，a n＋1＞a n，得f(a n)＞a n，即f(x)＞x，结合图像知A正确．]二、填空题 6．若数列{a n}为递减数列，则{a n}的通项公式可能为______(填序号)． ①a n＝－2n＋1；②a n＝－n2＋3n＋1；③a n＝1 2n；④a n ＝(－1)n. ①③[可以通过画函数的图像一一判断．②中第一、二项相等，④是摆动数列．] 7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋2)7 8. 则当a n取最大值时，n等于________． 5或6[a n≥a n－1， a n≥a n＋1， n≤6， n≥5. 所以n＝5或6.] 8．已知数列{a n}为单调递增数列，通项公式为a n＝n＋λ n，则λ的取值范围是________． (－∞，2)[由于数列{a n}为单调递增数列，a n＝n＋λ n，所以a n＋1 －a n＝ (n＋1)＋λ n＋1－n＋λ n1－λ n(n＋1) >0，即λ 第1讲 等差数列与等比数列 [考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力． 热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1 . 2．求和公式 等差数列：S n ＝ n (a 1＋a n ) 2 ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ； 等比数列：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1). 3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3???? ??3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B. (2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 答案 3 162 数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 第2课时数列的函数特性 1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列. 2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项. 3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式. 写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数. 问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列. 问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为. 问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列. 问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质 若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= . 1.下面四个结论: ①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是(). A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是(). A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表 §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 《等差数列与函数的关系》研究性学习设计 一、创设情境，引入课题 问题1：由数列的概念，我们知道了数列是一种特殊的函数，即数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应一列函数值，那么等差数列与我们所学习的基本初等函数到底有何关系呢？ 二、小组讨论，作图并自主探究，汇总各自的研究成果 成果1：通过作图得出，数列的图像是对应的一次函数的图像； 成果2：数列的图像是对应的一次函数图像当自变量取正整数时的孤立的点； 成果3：由等差数列的通项公式变形后得出，等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。 三、各小组汇报研究成果，相互补充，形成进一步的研究成果 结论1：成果1不够准确，成果2，成果3较好 四、适度引导，丰富命题 问题2：结合我们学习的等差数列的相关知识，等差数列还和其他函数有关系吗？ 五、继续分组讨论，深入探究，汇总研究成果 成果4：没有； 成果5：可以从前n项和出发考虑 六、再度归纳交流，思维提升，形成结论，并相互评价 结论2：等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数 七、教师再次引导 问题3：既然得出以上结论，那么我们可以用函数的哪些性质来研究数列问题？ 八、各小组再次深入思考，总结交流，并相互评价 结论3：（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。 九、教师指导学生总结归纳，升华主题。 1、等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。 2、等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数 3、（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。 十、课下利用网络资源，继续探究等比数列与函数的关系，并写出学习心得。 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，， 则，即， 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 数列的概念及函数特征测试题 A 组 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.数列1,1,1,1,1 --，的通项公式的是 。 1. 1(1)n n a +=- 或{1 1n n a n =-，为奇数，为偶数 。提示：写成两种形式都对，a n 不能省掉。 2. ,52,21,3 2, 1的一个通项公式是 。 2. 2;1 n a n =+提示：若把12换成24，同时首项1换成2 2，规律就明显了。其一个通项 应该为：2 ;1 n a n =+ 3.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 3.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。 4．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n += ∈+，那么1 120是这个数列的第 项. 4.10.提示：令1(2)n a n n = +=1 120 ，即n 2+2n-120=0,解得n=10. 5.已知数列{a n }的图像是函数1 y x =图像上，当x 取正整数时的点列，则其通项公式为 。 5. a n = 1n .提示：数列{a n }对应的点列为(n,a n ),即有a n =1n 。 6.已知数列{}n a ，2 2103n a n n =-+，它的最小项是 。 6.2或3项。提示：2 2103n a n n =-+=2（n- 52）2-192 .故当n=2或3时，a n 最小。 7. 已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = . 7. 25-。提示：222212a ?-=++（）=23，32 23262 13 a ?=+ =-，12622165n a +?=+=--。 8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会 2017高考数列与不等式 1.【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件 33, 1, 0, x y x y y +≤ ? ? -≥ ? ?≥ ? 则z=x+y的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 2.【2017课标II，文7】设,x y满足约束条件 2+330 2330 30 x y x y y -≤ ? ? -+≥ ? ?+≥ ? ,则2 z x y =+的最小值是 A.15 - B.9- C.1 D 9 3.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z x y =-的取值范围是（） A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 4.【2017北京，文4】若,x y满足 3, 2, , x x y y x ≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? 错误！未找到引用源。则2 x y +的最大值为 （A）1（B）3 （C）5 （D）9 5.【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件 250 30 2 x y x y -+≤ ? ? +≥ ? ?≤ ? ,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.【2017浙江，4】若x，y满足约束条件 30 20 x x y x y ≥ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，则y x z2 + =的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6，)∞ +D．[4，)∞ + 7.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 等差数列 【考纲要求】 1．理解等差数列概念. 2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3．了解等差数列与一次函数的关系. 4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系. 5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法； 6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：等差数列382420 知识要点】 考点一、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 要点诠释： (1)｛n a ｝为等差数列?1n n a a d +-=(n ∈N ※)?n a －1-n a =d (n ≥2, n ∈N ※ )（ d 为常数） (2)等差中项：若三个数a ，x ，b 成等差，则x 称为数a ，b 的等差中项。 任意实数a ，b 的等差中项存在且唯一，为.2 b a + (3)证数列{n a }是等差数列的方法： ① 1n n a a d --=(n ≥2) （ d 为常数）； ② n a 为1-n a 和1n a +的等差中项。 考点二、通项公式 1(1)n a a n d =+-(归纳法和迭加法) 要点诠释： ①｛n a ｝为等差数列?n a 为n 的一次函数或n a 为常数?n a =kn+b (n ∈N +) 等差数列 等差中项 等差数列的通项公式及应用 等差数列定义 ②式中n a 、1a 、n 、d 只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{n a }中n a =kn+b 是关于n 的一次函数(或常数函数)，一次项系数k 为公差d 。 ④几何意义：点(n ，n a )共线；n a =kn+b 中， 当k=d>0时，{n a }为递增数列； 当k=d<0时，{n a }为递减数列； 当k=d=0时，{n a }为常数列。 考点三、通项公式的性质： （1）等差中项：a 、G 、b 成等差数列，则.2 a b G += ； （2）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d （3）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+； 特别，若2m n p +=，则2m n p a a a += （4）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（ 、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列. 【典型例题】 类型一：等差数列的概念、公式、项的性质 例1. （1）－20是不是等差数列0，72 -，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 【解析】（1）由题意可知：10a =,72d =- ， ∴此数列的通项公式为：7722n a n =- +, 令772022n -=-+,解得477 n N =?， 所以－20不是这个数列的项. （2）根据题意可得：12a =,927d =-=. ∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）. 令75100n -=,解得：15n =, ∴100是这个数列的第15项. 数列与不等式复习题（一） 1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a n n D ．()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01 31 2>+-x x 的解集是 （ ） A ．}21 31|{>- 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+ 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法 数列的函数特征 1、数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。 2、数列的增减性 (1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列； (2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列； (3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列； (4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列． 3、数列的最大项与最小项 (1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。 4、数列的周期性 对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期． 考向一数列的单调性 例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2 n2＋1 ，判断数列{a n}的增减性． 例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an bn＋1 ，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列． ①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性． 变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝ kn 2n＋3 (k∈R)． (1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围． 变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ 1 1＋n2－n ，n∈N*，则该数列是单调递__________数列． 考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则 (1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第1讲等差数列与等比数列学案
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