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概率论数理统计复习测验题

模拟试卷一

一、单项选择题：（每题2分，共14分）

1．同时掷两颗骰子,出现的点数之和为10的概率为( ) A.

41 B.121 C.125 D.12

7 2.设B A ,为相互独立的随机事件,则下列正确的是( ) A. )|()|(B A P A B P = B.)()|(A P A B P = C. )()|(B P B A P = D. )()()(B P A P AB P =

3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不可能服从( ) A.二项分布 B.泊松分布 C.指数分布 D.正态分布

4. 设X 服从正态分布)4,2(N ,Y 服从参数为2的泊松分布,且X 与Y 相互独立,则

=-)2(Y X D .

A.14

B.16

C.18

D.20

5．设X 与Y 是任意两个连续型随机变量,它们的概率密度分别为)()(21x f x f 和,则 .

A.)()(21x f x f +必为某一随机变量的概率密度

))()((2

21x f x f +必为某一随机变量的概率密度 C. )()(21x f x f -必为某一随机变量的概率密度 D. )()(21x f x f 必为某一随机变量的概率密度 6. 设n X X X ,,,21 是总体X

的简单随机样本,2)(σ=X D ,记

∑==n i i X n X 11,∑=--=n i i

X X n S 1

2)(11,则下列正确的是 A.S 是σ的无偏估计量 B.S 是σ的极大似然估计量 C.2S 是2σ的无偏估计量

D.S 与X 独立

7. 假设检验时,当样本容量一定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯第二类错误的概率( ).

A.变小

B.变大

C.不变

D.不确定

二、填空题：（每题2分，共16分）

1.已知4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=?B A P ，则=)(B A P

2.在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于

19,则

事件A 在一次试验中出现的概率为

3. 若)4,1(~N X ，)3,1(~N Y 且X 与Y 独立，则~Y X -

4. 设X 和Y 是两个相互独立且服从同一分布的连续型随机变量,则

=>}{Y X P .

5. 设随机变量X 的分布未知，μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则利用切比雪夫不等式可估计

)2|(|σμ<-X P

6. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~p m b X 的样本，p 为未知参数，则参数p 的矩估计量是

7. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，2,σμ为未知参数，则检验假设

0:0=μH 的检验统计量是

8. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布)3,0(2N ,91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自于总体

X 和总体Y 的样本,且两样本相互独立.则统计量29

91Y

Y X X U ++++=

服从分布,

参数为

三、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾客开箱随意查看其中的4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。设=i A {箱中恰好有i 只残次品}，2,1,0=i ，=B {顾客买下该箱玻璃杯}。试求（1）)|(i A B P ，2,1,0=i ；

（2）顾客买下该箱的概率)(B P ；

（3）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率α。（12分）

四、设连续型随机变量X 的分布函数为

???<≥+=-

0,00,)(2

x x be a x F x

(1)求常数a 和b ;

(2)求随机变量X 的概率密度函数.(6分)

五、设相互独立的两个随机变量Y X ,具有同一分布律,且X 的分布律为

126分）

六、设随机变量),(Y X 的概率密度为

???≤≤≤≤=其它,

0,10,4),(y x xy y x f

试求)(),(X D X E X 与Y 的协方差),cov(Y X 和相关系数XY ρ。（10分）

七、某单位自学考试有2100人报名，该单位所有考场中仅有1512个座位，据以往经验报名的每个人参加考试的概率为0.7，且个人是否参加考试彼此独立。（1）求参加考试人数X 的的概率分布；（2）用中心极限定理求考试时会有考生没有座位的概率。（97725.0)2(=Φ）（8分）

八、设n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，X 的概率密度为

?≤≤=-其他

10,),(1

x x x f θθθ, 其中0>θ为未知参数;

试求θ的矩估计量和极大似然估计量。（10分）

九、某种零件的椭圆度服从正态分布，改变工艺前抽取16件，测得数据并算得081.0=x ，

025.0=x s ；改变工艺后抽取20件，测得数据并计算得07.0=y ，02.0=y s ，问：（1）改变工艺前后，方差有无明显差异；（2）改变工艺前后，均值又无明显差异？（α取为

0.05）

（6171.2)19,15(2/=αF ，7559.2)15,19(2/=αF ，0322.2)34(2/=αt ）（14分）

十、证明题（4分）

利用概率论的想法证明:当0>a 时

21212

a a

x e dx e

---

-≤?π

模拟试卷一答案

一、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 二、1. 0.3 2. 1/3 3.)7,1(N 4.0.5 5. 43≥

6.X m 1

7. n

X t /σμ-= 8. t , 2

三、解设i A 表示箱中含有i 只残次品，2,1,0=i ，B 表示顾客买下察看的一箱，则由已知

1.0)()(,8.0)(210===A P A P A P ，

则有（1）19

)|(,54)|(,1)|(4204182420

41910====

=C C A B P C C A B P A B P

（2）由全概率公式

∑==?+?+?==3

943.01912

1.0541.018.0)|()()(i i i A B P A P B P

（3）由贝叶斯公式

85.0943

.018.0)()()|()|(000≈?==

=B P A P A B P B A P α

四、解（1）因为连续性随机变量的分布函数是连续函数，故

b a F +==)0(0，又a F =+∞=)(1，所以1,1-==b a

（2）??

???<≥='-='=-

-0

00]1[)()(2

x x xe

e x F x

f x x

五、解 },max{1Y X Z =的可能取值为0，1，且

25.0}0{}0{}0,0{}0{1========Y P X P Y X P Z P 75.0}0{1}1{11==-==Z P Z P

},min{2Y X Z =的可能取值为0，1，且

25.0}1{}1{}1,1{}1{2========Y P X P Y X P Z P 75.0}1{1}0{22==-==Z P Z P

六、解 ????∞∞-∞

∞

101

4),()(ydxdy x dxdy y x xf X E ??=

=101

14)(ydxdy x X E 181)]([)()(2

2=-=X E X E X D

由对称性 3

)(=

Y E ， ????∞∞-∞

∞

101

44),()(dxdy y x dxdy y x xyf XY E 所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，从而0=XY ρ

七、解（1）显然X 服从参数为7.0,2100==p n 二项分布)7.0,2100(b ，且 1470)(==np X E ，441)1()(=-=p np X D

（2）由中心极限定理，所求的概率为

)2(121147015122114701}1512{1}1512{Φ-≈?

???-≤--=≤-=>X P X P X P

02275.097725.01=-=

八、解 1)()(1

+===??∞∞-θθθθ

dx x dx x xf X E

令

X =+1θθ

，解得θ的矩估计量为2

1????

?-=X

X θ 设n x x x ,,,21 是相应于n X X X ,,,21 的样本，则似然函数为

???=≤≤==-=∏

其它

,0,,2,1,10,)

(),()(1

212

n i x x x x x f L i n n n

i i θθθθ

当n i x i ,,2,1,10 =≤≤时,0)(>θL ,并且

∑=-+=n

i i x n

L 1

ln )1(ln 2ln θθ

令 02ln 2ln 1=+=∑=θ

θθn

i i x n

d L d

解得θ的极大似然估计值为

12ln ???

???=∑=n

i i x n θ

θ的极大似然估计量为

ln ???

????=∑=n

i i X n θ

九、解. 设改变工艺前后的椭圆度分别为,,y x 由题意可设),(~211σμN x , ),(~2

22σμN y .

(1)先在显著性水平下05.0=α检验: 2

2112

10::σσσσ≠=H H 检验统计量为22

s s F =,拒绝域为

???

--≥--≤=-)1,1()1,1(2122121n n F F n n F

F C αα或已知161=n ，202=n ，6171.2)19,15(2/=αF ，

3629.07559.21

)15,19(1)19,15(2/2/1===-ααF F ，计算得5625.122==y

x s s F ，故F 的观察值不在拒

绝域中，从而接受原假设，即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异。

（2）在显著性水平05.0=α下检验假设: 0:0

:211210≠-=-μμμμH H

由于两个总体的方差相等,故可取检验统计量为 2

111n n s y x t w

+-=

其中 2

)1()1(212

2212-+-+-=

n n s n s n s y

x w

拒绝域为?

???-+≥=)2(||212n n t t C α.

已知0322.2)34()2(2/212

==-+ααt n n t ，计算得0322.28988.0||<=t ，所以接受原假设，即可

以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异。十、证明设Y X ,相互独立且均服从)1,0(N ，则

}2{},{222a Y X P a Y a a X a P <+≤<<-<<-

而2

/)(2222121},{???

? ?

?==<<-<<-???----+-dx e

dxdy e a Y a a X a P a

x a a a

y x ππ 2

2222121

}2{20

/20

/)(2

a a r a

y x y x e dr re d dxdy e

a Y X P --<++--==

<+????πθ

故有 2

2121

a a

x e dx e

---

-≤?π

模拟试卷二

一、单项选择题：（每题2分，共12分） 1、当B A 与互不相容时， =?)(B A P （）

A 、1－P (A )

B 、1－P (A )－P (B )

C 、0

D 、P (A ) P (B ) 2、A ，B 为两事件，则A －B 不等于（）

A 、

B A B 、B A

C 、A AB -

D 、()A B B ?-

3、设随机变量X

的概率密度为2

(1)

()x f x -

-=，则（） A 、X 服从指数分布 B 、1EX = C 、1DX = D 、(0)0.5P X ≤=

4、在相同条件下，相互独立地进行5次射击，每次射击时命中目标的概率为0.6，则击中目标的次数X 的概率分布为（）

A 、二项分布b （5,0.6）

B 、参数为5的泊松分布

C 、均匀分布U[0.6, 5]

D 、正态分布N （3,52）

5、设X 服从()2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是（） A 、

nX S B 、

C 、2nX S D

6、设总体()

2,~σμN X ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 取自总体X 的一个样本，则下列选项中不是统计量的是（）

A 、31（123X X X ++）

B 、)(1232

212X X X ++σ C 、12X μ+ D 、123max{,,}X X X 二、填空题：（每题3分，共18分）

1、“A 、B 、C 三个事件中至少发生了两个”，可以表示为。

2、随机变量X 的分布函数()F x 是事件的概率。

3、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数

X 服从分布，EX = DX = 。

4、设样本12n X X X ，，，来自()2N μσ，且2σ已知，则对检验035H μ=:，采用的统计量是 _________。

5、设12n X X X ，，

，为总体X 的一个样本，

若1

i i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX = __________，DX = __________。

6、设随机变量X 的数学期望为EX u =,方差2DX σ=，则由切比雪夫不等式有

{}2P X u σ-≥__________。

三、已知(),()P A a P B b ==，()0.7P A B a -=，其中0ab ≠且0.3b a >，求： )(B A P ?和)(B A P ?。

（5分）四、某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为7:3:5，甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？（7分）

五、设连续型随机变量X 的概率密度函数?

??<<--=其它,01

1),1()(2x x a x f ，求：⑴ 常数α；

⑵ 1

()2

P X ≥； ⑶ X 的分布函数()F x ； ⑷ 期望EX ，方差DX 。（12分）六、设二维随机变量()X Y ，的联合概率密度为

()()34000x y Ae

x y p x y -+?>>?=?

，，，，其它

（1）确定A 的值；（2）求{}0102P X Y ≤≤≤≤，（8分）

七、对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5，求100次炮击中有380至420课炮弹命中目标的概率.（9082.0)33.1(=Φ）（8分）八、设12,,

n X X X 是从总体X 中抽得的一个简单随机样本，总体X 的概率密度函数为

1,0,0

(,)0, x

e x p x θ

θθθ

-?>>?=???其他

试用极大似然法估计总体的未知参数θ.（10分）

九、某种型号微波炉的使用寿命服从正态分布()290N μ，

，某商场欲购进一批该产品，生产厂家提供的资料称，平均寿命为5000小时，现从成品中随机抽取5台测试，得数据

5120 5030 4940 5000 5010

（1）若方差没有变化，问能够认为厂家提供的使用寿命可靠吗?(其中0.05α=，95.0)64.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ).

（2）根据抽测的数据, 判断方差是否有改变？(其中05.0=α，143.11)4(2

025.0=χ

484.0)4(2975.0=χ) (14分)

十、证明题：（6分）设123,,X X X 是来自总体X 的样本， 1123211

?5102

X X X μ=++，2123131

X X X μ

=+-证明：

（1）1?μ，2?μ都是总X 数学期望μ的无偏估计量；（2）1?μ比2?μ更有效。

模拟试卷二答案

一、1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B

二、1．AB BC AC ++ 2． }{x X ≤ 3．(50,0.2)B ，10，8 4

．U =

5．μ，2

σ 6．14≤

三、 ()()()0.7P A B P B P A B b a +=+-=+， ()()()(P A B P A A B P A P A

B ∴-=-=-

， ()0.3P AB a ∴=，

∴()()1()10.3P A B P A B P A B a

+==-=- 四、设123,,A A A 分别表示甲，乙，丙地药材，B 表示优等品，则根据贝叶斯公式有

22231

0.24

()(|)15(|)0.233735

0.210.240.18()(|)151515i i i P A P B A P A B P A P B A =?===?+?+?∑

五、（1）123111()(1)()113f x dx x dx x x αα+∞

-∞

-=-=-=-?

?，∴3

α=

（2）1212

135

()(1)2432P X x dx -≥=-=?

（3）301311()()114

3211

x F x x x x x <-???

=-+

-≤

（4）1

213

()(1)04EX xf x dx x x dx +∞

-∞-==-=?

（奇函数且积分区间对称）

12222131

()(1)45

EX x f x dx x x dx +∞-∞-==-=??

221

()5

DX EX EX =-=

六、（1）由概率密度的性质有

()()

340

x y p x y dxdy

A e dxdy

+∞+∞

-∞-∞+∞+∞-+=???

?，

340

340011()(3)()(4)

34121

x y

A e

dx e dy

A e d x e d y A +∞+∞--+∞+∞--=?=--?--==?

?? 可得 12A =

（2）设(){}0102D x y x y =

≤≤≤≤，，，则

{}(){}0102P X Y P X Y D ≤≤≤≤=∈，，

()D

p x y dxdy =??，

340012340

3434x

y x

y e

dx e dy

d x e

d y

----==????

()()

3811e e --=--

七、设 i X 表示第i 次炮击命中目标的炮弹数，

由题设，有 4i EX =

()1.51i ==，2，，100

则100次炮击命中目标的炮弹数 100

i X X

∑，100

400i

i EX EX

=∑

100

100 1.5i i DX DX ===?∑

因 12100X X X ，，

，相互独立，同分布，则由中心极限定理知

100

i i X X ==∑近似服从正态分布()400N ?2，100 1.5

于是 {}380420P X ≤≤≈4204003804001515--????

Φ-Φ

? ?????

202115??=Φ- ???

()2 1.331=Φ-

0.8164=

八、∵ 似然估计函数为1

()n

i x

x n

i L e e

θθ

θθθ

=∑=

∏

取对数11

ln ()ln n

i i L n x θθθ

==--

∑ 似然方程为

12ln ()0n

i x d L n d θθθθ

==-+=∑ 极大似然估计为1

i i x x n θ=∴==∑

九、设微波炉的使用寿命为X ，则X 服从()

290N μ，

（1） 05000H μ=：，15000H μ≠：

在方差不变时，选择U 检验法当0H 成立时，有

U =

()0.1N

又由0.05α=，得

0.025 1.96μ=

而()1

512050304940500050105

x =

++++ 5020=

则

0μ=

0.4969 1.96=<

故接受0H ，拒绝1H

即认为厂家提供的使用寿命可靠（2）22090H σ=：，22

190H σ≠：

由于期望μ未知，选择2

x 的检验法当0H 成立时，有

()2

1n s x σ-=

服从()21x n -

又由0.05α=，5n = 得

()20.025411.143x = ()20.97540.484x =

由（1）知5020x =

()()2

11n

i i n s

x x =-=-∑

()5

i i x x ==-∑

()()()22

512050205030502050105020=-+-++-

17000=

则2

17000

x =

2.099=

由于22

0.9750.025

0.484 2.099x x =<< 11.143=

故接受0H ，拒绝1H 即：认为方差没有改变。

十、证明：（1）

1123123211211211

?()()510251025102

E E X X X EX EX EX μ

μμ=++=++=++=

2123123131131131

?()()341234123412

E E X X X EX EX EX μ

μμ=+-=+-=+-= 1?μ

∴，2?μ都是μ的无偏估计（2）

112312321141121?()510225100450D D X X X DX DX DX DX μ=++=++=

212312313119149

?()341291614472

D D X X X DX DX DX DX μ=+-=++=

2?D μ

>1?D μ 1?μ

∴比2?μ更有效

模拟试卷三

一、填空题（每小题2分，共14分）

1．设B A ,为两个相互独立的事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=+)(B A P

2．设P(A)=1/3,P(B)=1/4,,2

)(=?B A P 则=?)(B A P

3．若随机变量Y 在[]6,1上服从均匀分布,则方程012=++Yx x 有实根的概率是 4．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则=-])1[(2X E

5．设随机变量X 与Y 相互独立，X 在]2,0[上服从均匀分布，Y 服从指数分布，其概率

密度函数为???≤>=-0,

,3)(3x x e x f x ，记Y X Z 2-=，则=DZ

6．随机变量X 与Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别1和4，相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6{Y X P 7．随机变量X 的分布函数为R x x b a x F ∈+=,arctan )(,则a = ，b = 二、单项选择题（每小题2分，共16分）

1．是两个互不相容的事件,,0)(,0)(>>B P A P 则( )一定成立.

A ．)(1)(

B P A P -= B ．0)(=B A P

C ．1)(=B A P

D ．0)(=AB P 2． 22),1,0(~-=X Y N X ，则~Y ( )

A ．N(0,1)

B ．N(-1,4)

C ．N(-2,4)

D ．N(-2,1)

3．连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为)(),(x F x ?,则下列选项中正确的是( )

A ．1)(0≤≤x ?

B ． )()(x F x X P ≤=

C ．)()(x F x X P ==

D ．)()(x x X P ?==

4．),,(321X X X 是总体X 的样本,则下列)(X E 的无偏估计中( )最有效

A ．321613121X X X ++

B ． 32152

5251X X X ++

C ．321313131X X X ++

D ．3212

14141X X X ++

5．检验中,显著性水平α表示( )

A ．0H 为假，但接受0H 的假设的概率；

B ．0H 为真，但拒绝0H 的假设的概率；

C ．0H 为假，且拒绝0H 的假设的概率；

D ．可信度

6．n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记

∑∑∑∑====-=--=

-=--=n

i i n i i n i i n i i X n S X n S X X n S X X n S 1

12231

21221

)(1,)(11)(1,)(11μμ

σμ,均未知，若提出检验假设00:μμ=H ，则选用统计量( )

A ．110--=

n S X T μ B ．12

--=n S X T μ C ．n

S X T 30μ-= D ．n S X T 4

μ-=

7．n X X X ,,,21 随机变量X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则下面叙述正确的是( )

A ．X 与Y 相互独立

B ．X 与Y 不相关

C ．0)(=Y

D D ．0)()(=Y D X D

8．n X X X ,,,21 是相互独立的随机变量,且),,2,1(),1(~n i p B X i =，则下列( )不正确.

A ．p X n E n i i =??

??∑=11 B ．),(~1p n B X n

i i ∑=

C ．)()(}{1a b b X a P n

i i Φ-Φ≈<<∑=

D ．)(

)(

}{1

npq

a npq np

b b X a P n

i i -Φ--Φ≈<<∑=

三、一批产品分别由甲、乙、丙三个车床加工。其中甲车床加工的占产品总数的25%，乙车床占35%，其余的是丙车床加工的。又甲、乙、丙三个车床在加工时出现次品的概率分别为0.05，0.04，0.02。今从中任取一件，求：（1）任取一件是次品的概率；（2）若已知任取的一件是次品，则该次品分别由甲、乙或丙车床加工的概率。(12分)

四、设连续型随机变量X 的概率密度为

??≤≤-<≤=其他,0,21,2,10,)(x x x x x f α

求（1）常数α ；（2）X 的分布函数)(x F ；（3）)2

1(<≤-X P （12分）

五、设相互独立的随机变量Y X ,的联合分布列为

（3）X 2=时Y 的条件分布；（4）随机变量Y X Z -=2的分布。（12分）

六、设),(Y X 的概率密度为

?<<<<-=其它,00,10,)1(24),(x

y x y x y x f ，求)(X E ，)(X D 。（6分）七、总体X 的分布律为

1)1(}{--==x p p x X P ,2,1,0=x 其中p 是未知参数，n ，X ，，X X 21是来自总体X 的一个样本，求参数p 的矩估计量和最大似然估计量。(10分) 八、为研究矽肺患者肺功能的变化情况，某医院对I 、Ⅱ期矽肺患者各33名测其肺活量，得到I 期患者的平均数为2710mm ，标准差为147mm ，Ⅱ期患者的平均数为2830mm ，

标准差为118mm ，假定第I 、Ⅱ期患者的肺活量服从正态分布),(211σμN ，),(2

22σμN ，

（1）试问在显著性水平05.0=α下，21σ与2

2σ无显著性差异？（2）问在显著性水平05.0=α下，1μ与2μ有无显著性差异？（12分）

九、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%．今随意抽查100个索赔户，利用中心极限定理，求其被被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率．（6分）

二、填空题（每小题2分，共14分）

1．0.58； 2．

； 3．0.8； 4．12+-λλ； 5．1/3，7/9； 6．

； 7．21，π1

二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．B

2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C

三、解设i A ={任取的一件是第i 台车床加工的}，1=i （甲车床），2=i （乙车床），3

=i （丙车床）；B={任取的一件是次品}。于是，由题设可知：

25.0)(1=A P ，35.0)(2=A P ，4.0)(3=A P ； 05.0)|(1=A B P ，04.0)|(2=A B P ，02.0)|(3=A B P

（1）∑==3

1)|()()(i i i A B P A P B P =0345.002.04.004.035.025.005.0=?+?+?

………………………………(6′)

(2)3623.00345

.005

.025.0)()|()()|(111=?==

B P A B P A P B A P

………………………………(8′)

4058.00345

.005

.035.0)()|()()|(222=?==

B P A B P A P B A P

………………………………(10′)

2319.00345

.002

.040.0)()|()()|(333=?==

B P A B P A P B A P

………………………………(12′)

四、解: (1)dx x xdx dx x f ???-+==+∞∞-2110)2()(1α=2

121

12(2

x x x -

+α1=?α ………………………………(3′)

(2)?∞

-=≤=x

dt t f x X P x F )()()( ………………………………(4′)

由)(x f 定义中的分段点2,1,0===x x x 把),(+∞-∞分为四个区间：

),2[),2,1[),1,0[),0,(+∞-∞

因此当0

-==x

dt t f x F 0)()(， ………………………………(5′)

当10<≤x 时，

10)()()()(x dt t dt t f dt t f dt t f x F x

x x =

+=+==???

∞

-∞

- ………………………………(6′)

当21<≤x 时，????++==∞

-∞

-1

0)()()()()(x

x dt t f dt t f dt t f dt t f x F

)2(02110-+-=-++=??x x dt t tdt x

………………………………(7′) 当2≥x 时，

?????=+++==∞

-∞

-x

x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f x F 2

01)()()()()()(

………………………………(8′)

即X 的的分布函数为

????

?????≥<≤-+-<≤<=2,121,1221

10,210,0)(22

x x x x x x x x F

………………………………(9′)

（3）?--=+=-=+--=≤≤-21

1)1()()1()1()2

()211(X P dx x f X P F F X P

1810)()(0)(210

=+=+=???--dx x f dx x f dx x f ………………………………(12′)

五、解：（1）1181929161=+++++βα9

=+?βα

(3161)0()1()0,1(α+=?

=====Y P X P Y X P 9

,31==∴βα ……………………………… (2′)

……………………………… (6′)

（3）2

231)2()0,2()20(======

==X P Y X P X Y P

313292)21(====X Y P ；6

13291)22

(====X Y P …………………（9′）（4）

……………………………… (12′)

六、解：5

)1(12)1(24),(31

-=-==??

???+∞∞-+∞

∞

-dx x x xydy x dx dxdy y x xf EX x ……………………………… (3′)

2)1(12)1(24),(41

-=-==??

???+∞∞-+∞

∞

-dx x x ydy x x dx dxdy y x f x EX x

1)53(52)(222=-=

-=EX EX DX ……………………………… (6′) 七、设n x x x ,,,21 是相应于n X X X ,,,21 的样本，则似然函数为

∑-=-==-=-∏n

i i i n

x n

i x p p p p p L 1

)1()

1()(11

∑=--+=n

i i p n x p n L 1

)1ln()(ln ln

令

01ln 1

=--+=∑=p

x n p n dp L d n

i i 解得p 的极大似然估计值为

?= 从而θ的极大似然估计量为

?= 八、解：因为方差未知，且不知两方差是否相等，所以在05.0=α下，先检验假设

22210:δδ=H

已知：27101=x ，1471=S

28302=x ，1182=S ，3321==n n

04.2)32,32()1,1(025.0212

==--F n n F n ，而04.2552.11392421609

2221<==S S

故接受0H ，认为2221δδ=。 ……………………………… (6′) 再检验假设210:μμ=H 由于29.13364

13924

3221609322)1()1(212

22211=?+?=-+-+-=

n n S n S n S w

31.6433

29.13396.133133129.133)64(11)2(025.021212

=?=+?=+-+t n n S n n t w

α 31.6412021>=-x x

故拒绝0H ,认为第I ,II 期矽肺患者的肺活量有显著差异。 (12′) 九、

解：168.02.0100)1(;202.0100),2.0,100(~=??=-==?==p np DX np EX B X (3′)

927.01993.0994.01)5.1()5.2()5.1()5.2()

420

3016

2042014()3014(=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ=-<-<-=<

大学概率论与数理统计的复习资料

第一章随机事件及其概率知识点：概率的性质事件运算古典概率事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式常用公式 )()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+=Y ) ,,() ()(2111有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ΛY ∑===) ,(0)()() ()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==)()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-)() ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,() ()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式Λ) ,,()] (1[1)(2111相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ΛY ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) ()/()()/()()/()7(1逆概率公式∑==n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==

应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P Y ，则= k （）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P Y 则（）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P Y （）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B -U 与A 的关系是（）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3 张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（）。 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段 5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ），D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ

概率论与数理统计综合试题

Ⅱ、综合测试题 s388 概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 1 2 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的值为 ( D ). A. 1 2 B. 13 C. 15 D. 1

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷概率论与数理统计一．选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念 1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。样本空间的子集称为随机事件，简称事件。在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生；（2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?；（3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生；（4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生；（5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生；（7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =?=?,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,；（4）幂等律 A AA A A A ==?, ；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质（1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ；（3）)(1)(A P A P -=；（4）)()()(AB P B P A B P -=-。特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-；（5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

《概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2B．21A A C．21A A D．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p(0

6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2 1)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．74 C ．54- D ．12 - 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= . 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???，则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ，Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:，则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B）『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。故选择A。提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3）『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。解析：，故选择C。提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页解析：，故选择A。提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。故选择C。提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（）『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。解析：显然，选择D。

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

概率论与数理统计第一章测试题

第一章随机事件和概率一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是（A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆

概率论与数理统计知识点总复习

随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 (4)一些常见排列 ① 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨 ② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题 2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（2）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：B A ? 如果同时有 B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为 A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A 、 B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ =∞==1 1 i i i i A A B A B A =，B A B A = 3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间， A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

《概率论与数理统计》期末考试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??

概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝，()P A B ?＝。解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<

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