最新黄冈名师高三数学第二轮专题复习- 三角函数

高三数学第二轮专题复习---三角函数

一、本章知识结构：

应用

二、高考要求

一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。二．掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）

三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、 的物理意义。

五．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析

1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐

步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年

至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题

3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助

于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.

解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐

步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强

了对三角函数性质和图象的考查力度.

四、复习建议

本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：

(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

(2)对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。

(3)三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。

(4)由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（2003年高考应用题源于此）

5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出

现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x ＝kπ＋（k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数

都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.

6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.

7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.

8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996年和1998年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关.

9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.

在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。 五、典型例题

两角和与差的三角函数

【例1】 已知3

,34πβαππβαπ-<-<-<

+<，求βα-2的范围。

解：设βα-2=)()(βαβα-++B A ，（A 、B 为待定的系数），则

βα-2=βα)()(B A B A -++

比较系数

2

3

21

12???

????

=

=???

?-=-=+B A B A B A ∴βα-2=)(23)(21βαβα-++

从而可得：6

2πβαπ<-<-

【例2】 设},2

3

|{},,10||,35|{Z k k B Z k k k A ∈==∈≤==πββπαα，求B A 的解的终边相

同的角的集合。

解：先写出A 与B 的交，再写出终边相同的角的集合。 设B A ∈0α，则B A ∈∈00αα且；所以παπα20102

3, 3

5k k ==

∴212

33

5k k =，即2110

9

k k =

，由于Z k k ∈≤11,10||

∴10,02±=k ；因此}15,0{π±=B A

因此所有与B A 的角的终边相同的角的集合为}Z k ,2k ,2|{∈±==ππγπγγ或k

【例3】 已知αβαβαπ

βπ

2222sin 2

1

sin sin 2sin 2sin 34

6-

=-<

≤-

，试求，的最值。 解：∵4

πβ6

π<≤-∴-2

2sin 21<

≤β，2

1sin 02<≤β∴1sin 202<≤β

∵23222sin sin sin βαα=-∴03212≤-

即???????<<-≤≤≤??????<--≥-1sin 3

10sin 1sin 32

01sin 2sin 30sin 2sin 322

ααααααα或

∴1αsin 3

20αsin 3

1<≤≤<-或

y=4

1)2

1(sin sin 2

1)sin 2sin 3(2

1sin 2

1sin 22222--=--=-αααααβ

当sina ∈[3

2，1]时函数y 递增，∴当sina=2

3

时 y min =9

2-；

当sina ∈(3

1-，0)时，函数y 递减，∴当sina=0时，y min =2

1

∴故当)sin 2

1

(sin ,9

2)sin 2

1(sin 3

2sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值。

【例4】 求值

()

?

+??+?+?10cos 110tg 60tg 110cos 40cos 2

解：

()()2

5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23

10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=?

??=??+?=??-?+?=?

??

?

? ???+?+?=

??+?+?=·原式 【例5】 已知

2

π

＜β＜α＜4

π3,cos(α－β)=13

12,sin(α+β)=－5

3,求sin2α的值

_________.

解法一：∵2

π＜β＜α＜4

π3,∴0＜α－β＜4

π.π＜α+β＜4

π3,

∴sin(α－β)=

.5

4)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=

--

∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

.65

56)53(1312)54(135-=-?+-?=

解法二：∵sin(α－β)=13

5,cos(α+β)=－5

4,

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－65

72

sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65

40

∴sin2α=65

56)65

4065

72(2

1-=--

【例6】 不查表求

sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.

解法一：sin 220°+cos 280°+

3sin 220°cos80°

=2

1 (1－cos40°)+2

1 (1+cos160°)+3sin20°cos80°

=1－21cos40°+2

1cos160°+

3sin20°cos(60°+20°)

=1－21cos40°+2

1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)

+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－2

1cos40°－41cos40°－

4

3

sin40°+

4

3sin40°－2

3sin 220°

=1－4

3cos40°－4

3(1－cos40°)=4

1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+

3sin20°cos80°

y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则

x +y =1+1－

3sin60°=

2

1

，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+

3sin100°=0

∴x =y =4

1，即x =sin 220°+cos 280°+

3sin20°cos80°=

4

1. 【例7】 设关于

x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试

确定满足f (a )=2

1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.

解：由

y =2(cos x －2a )2－2

2

42+-a a 及

cos x ∈［－1，1］得：

f (a )??

?

????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)

2( 12

a a a a a

a ∵f (a )=2

1,∴1－4a =2

1

?a =

8

1

?［2,+∞) 故－

2

2

a －2a －1=2

1，解得：a =－1，此时，

y =2(cos x +2

1)2+2

1，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.

【例8】 求值：

?

+??

??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.

解：原式的分子?

??+??+?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2

??+?=20cos 10cos 20sin 2?

?

+?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =?

?

?=??+?=

，

原式的分母＝

?

?

+?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ??

?+?=80sin 20cos 60cos 240cos

310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =?

?

?=??+?=

，

所以，原式＝１．

【例9】 已知5

4

βsin αcos ,53

βcos αsin =

+=+，求βαsin cos 的值．

解1：令γ2

πβ-=，则原题等价于：

已知5

4γcos αcos ,5

3γsin αsin =+=+，求γcos αcos 的值．

两式分别和差化积并相除得：4

32

γαtan =+，所以

()2572γαtan 12γαtan 1γαcos 22

=?

?? ?

?

++?

?? ??

+-=+. 分别将已知两式平方并求和得：()2

1γαcos -=-,

所以，()()()100

11γαcos γαcos 2

1γcos αcos -=-++=.

解2：由5

4βsin αcos ,5

3βcos αsin =+=+平方相加得：()2

1βαsin -=+．

上述两式平方相减得：()25

7

βαsin 2α2cos β2cos -

=-+-． 将上式前两项和差化积，得：()()()25

7

βαsin 2βαsin βαsin 2-=-+-+， 结合()21βαsin -=+，可解得：()25

7

βαsin -

=-． 所以，()()()βαsin βαsin 2

1βsin αcos --+=100

11-=．

【例10】 已知函数()x

x

m x f cos sin 2-=

在区间??

?

??2π,0上单调递减，试求实数m 的取值

范围．

解：已知条件实际上给出了一个在区间??

?

?

?2π,0上恒成立的不等式．

任取∈21,x x ??? ??2π,0，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，

即>-11cos sin 2x x m 2

2

cos sin 2x x m -恒成立．

化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2

π021<<

所以()

1

221cos cos sin 2x x x x m --<

上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间???

??????

?

?--<2π0cos cos sin 21221x x x x m . 由于()2

sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin

4cos cos sin 221

2

1212121211

221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=--

2

sin

2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 22

1212121x x x x x x x x +??? ?

?+=2tan 2tan 2tan 2tan 122121x x x x +?

?? ??

+= 且当2

π021<<

π2

,2

02

1<

12

tan ,2tan

021<

x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan 12

12

121>??

?

??-??? ??

-=??? ??+-??? ??

+x x x x x x , 有

22

tan

2tan 2tan 2tan 122

121>+?

?? ??

+x x x x , 故m 的取值范围为]2,(-∞.

【例11】

,2

7

,3=nC t C B A c b ABC =c a a 的对边，已知、、分别为角、、中，△ .,2

3

3的值求的面积为又△△b a S ABC ABC +=

解：∵ A+B+C=π，

①

°得由°

.22

2)2

7(60cos 2,2760,3=-+==∴=ab b a c C tgC ②°得由 .2

3

360sin 21,233==

ab S ABC ??

??

?==

-+④③由①、②得方程组6,4492

2ab ab b a ,4121

)(32=

++b a 得×④③2

11=+b a ∴

【例12】 在?ABC 中，a b c

，，分别是角A B C ，，的对边，设b c a 2=+，求

2

ctg 2ctg C

A ·的值 解：由条件，2b a c =+，依据正弦定理，得

()()2

cos 2sin 22cos 2sin

4sin sin sin 2sin sin 2sin 22C A C A C A C A C

A C A C A R

B R -+=+++=++=·

在02

sin ≠+?C

A ABC 中，

∴2

cos 22

cos C A C A +=-

2sin 2sin 22cos 2cos 22sin 2sin 2cos 2cos

C A C A C A C A -=+

∴2

cos 2cos

2sin 2

sin 3C

A C A =

∴

32

sin

2sin 2cos 2cos

=C A C

A ； 即32C ctg 2A ctg = 三角函数的图象与性质

【例1】 试确定下列函数的定义域

⑴1sin 1log 2-=x

y ；⑵)1cos 2lg(sin )4(--

=

x x

x tg y π

解：⑴要使函数有意义，只须满足条件

????

????

?

≠>≥-0sin 0sin 1

01sin 1log x x

x 解得：},2652|{},622|{Z k k x k x Z k k x k x ∈+<≤+∈+≤<πππππππ ⑵要使函数有意义，只须满足条件

????????

?

≠<≠≥-1

1-2cosx 001)-lg(2cosx 0

sin )4(x x tg 有意义π 解得},3

22|{Z k k x k x ∈+<<πππ

【例2】 求函数x x

x

x x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++=

的最小值

解：∵sin sin cos cos 3333x x x x +

()()()()[](

)()

[]()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x 2cos 4cos 12cos 21

4cos 2cos 2cos 21

4cos sin cos 2cos cos sin 21

cos 4cos 2cos sin 4cos 2cos 21

cos cos 3cos sin sin 3sin 322222222=+=+=-++=++-=

+=

∴??? ??

+=+=+=

42sin 22sin 2cos 2sin 2cos 2cos 23πx x x x x x

y

当2142sin -

-=??

?

?

?+最小值时，y x π

【例3】 已知函数

f (x )=2a sin 2x －2

3a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，

a <0），它的定义域为[0,2

π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。

解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1

=a (1－cos2x )－

3a sin2x +a +b －1

=－2a sin 12)6

π2(-+++b a x

∵0≤x ≤π

2∴π6≤2x +π6

≤π6

7∴1)6

π2sin(2

1≤≤+-x

∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +

π

≤－2a ∴3a +b －1≤－2a sin ()26

x +π

+2a +b －1≤b －1

∵值域为[－3,1]

∴???-=-+=-31311b a b ∴??

???

=-=2

34b a 【例4】 已知函数)2

||,0,0)(sin()(π

ω>?+ω=A x A x f 的图象在

y 轴上的截距为

1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （1）求)(x f 的解析式；

（2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3

1（纵坐标不变），然后再将

所得图象向x 轴正方向平移3

π个单位，得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )

的解析式并用列表作图的方法画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.

解：（1）由已知，易得A =2．

ππ3)3(2

00=-+=x x T

，解得3

1,6=∴=ωπT ．

把（0，1）代入解析式)3

sin(2?+=x y ，得

1sin 2=?．又2

π

?<

，解得6

π?=．∴)6

3

sin(2π+=x y 为所求．

(2)压缩后的函数解析式为)6

sin(2π+=x y 再平移， 得)6

π3

sin(2)(+-=x x x g )6

πsin(2-=x

x

6

π

3

2π

6

7π

35π

6

7π

6

π

-

x

2

π π 2

3π π2 )6sin(2π

-

x

0 2 0 -2

【例5】 求函数x

x x y sin 23

sin 3sin 2-+-=

的最值，并写出使函数y 取得最值的x 的集

合。

解：令31sin 2≤≤-=u x u ，则，

∴函数1112-+=+-=u

u u u u y ≥-=211

当且仅当u =1时，y 最小值=1

函数y 取得最小值的x 的集合?

???

??∈+=Z k k x x ，2

2π

π

又函数[]3111，

在∈-+=u u

u y 是单调递增的 证明如下：1312≤≤≤u u

()()???

?

?

?--=-+-=--+

=-21212

112212211211

11

1u

u u u u u u u u u u u u u y y

∵u u 12<∴u u 120-<

11

01101102

121<<<<<<

u u u u ，， ∴y y y y 12120-<<，即，∴[]3111，

在∈-+=u u

u y 是单调递增的 ∴当u =3时，函数3

1213

13=-+=最大值y

函数y 取得最大值的x 的集合?

???

??∈-=Z k k x x ，2

π

π2

【例6】 ABC ?中，已知三内角A 、B 、C 依次成等差数列，求C A 22cos cos +的

取值范围。

解：由已知得?=+?=12060C A B ，

22cos 122cos 1cos cos 22C A C A +++=

+()12cos 2cos 2

1

++=C A ()()1cos cos +-+=C A C A ()C A --=cos 2

1

1 ()()4

5cos 211211cos 21

120120<--≤∴≤-<-∴?<-

即C A 22cos cos +的取值范围为??

?

???4521，

【例7】 已知3

200π

βαβα=

+≥≥，且，，问当βα、分别取何值时，

()β2sin 2

1

2

αtan

2αcot απcos 1----=

y 取最大值，并求出此最大值。 解：βα

α

α

αα

2sin 2

1

sin cos 1sin cos

12cos 1---

++=y βαα

2sin 21cos sin -=·()βα2sin 2sin 21-= ()()βαβα-+=sin cos ()βαπ

-=sin 3

2cos ()βα--=sin 21

32323203203

200π

βαππβπαπ

βαβα≤

-≤-≤≤≤≤∴=

+≥≥，，，，且，

此时，由???

???

?

-=-=+23

2πβαπβα解得???

???

?

==12712

πβπα

【例8】 在ΔA BC 中，求2

sin 2sin 2sin 222

C

B A ++的最小值.并指出取最小值时Δ

A BC 的形状，并说明理由.

解：令2

sin 2sin 2sin 222

C B A y ++=2cos 12cos 12cos 1C

B A -+

-+-=

)cos cos (cos 2

123C B A ++-=

)2sin 212cos 2cos 2(21232B

C A C A -+-+-=

∵在ΔA BC 中，2

2

2

B C A -=+π，∴2

sin 2cos B C A =+

又12

cos ≤-C A .

∴)2

sin 212

sin 2(2

12

32B B y -+-≥12

sin 2

sin 2+-=B B 4

3)2

12

(sin 2+-=B

当???

????==-212sin 12cos B C A 时，y

取得最小值4

3；

由12

cos =-C A 知A =C ，由2

12

sin =B 知?=302

B ，B=60°；

故A =B=C=60°，

即y 取最小值4

3时，ΔA BC 的形状为等边三角形.

【例9】 已知函数

f (x )=2cos x sin(x +3

π)－

3sin 2x +sin x cos x

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［

12

π

，12

π7］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.

解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3

π)－

3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3

π+cos x sin 3

π)－3sin 2x +sin x cos x

=2sin x cos x +

3cos2x =2sin(2x +

3

π)

∴f (x )的最小正周期T =π

(2)当2x +3

π=2k π－2

π，即x =k π－12

π5 (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.

(3)令2sin(2x +3

π)=1，又x ∈［2

π7,2

π］,

∴2x +3

π∈［3

π,2

π3］,∴2x +3

π=6

π5，则

x =4

π，故f -－1(1)=4

π.

【例10】

已知α、β为锐角，且x (α+β－

2

π)＞0,试证不等式

f (x )=)α

sin βcos ()β

sin αcos (+x x ＜2对一切非零实数都成立.

证明：若x ＞0，则α+β＞2

π，

∵α、β为锐角，∴0＜2

π－α＜β＜2

π;0＜2

π－β＜2

π,

∴0＜sin(2

π－α)＜sin β.0＜sin(2

π－β)＜sin α，

∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α, ∴0＜β

sin cos α＜1,0＜α

βsin cos ＜1,

∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2. 若x ＜0,α+β＜2

π,

∵α、β为锐角，0＜β＜2

π－α＜2

π,0＜α＜2

π－β＜2

π,0＜sin β＜sin(2

π－α),

∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2

π－β),∴sin α＜cos β,∴β

sin αcos ＞1,

α

sin βcos ＞1,

∵f (x )在(－∞,0)上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立.

【例11】

设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知

z 1=2z 2，求λ的取值范围.

解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m

2)

i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴?

??+=-=θλθsin 222cos 22

m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－4

1)2－8

9. 当sin θ=4

1时λ取最小值－8

9，当sin θ=－1时，λ取最大值2.

解法二：∵z 1=2z 2∴??

???+=-=θsin 2λ22θ

cos 22

m m

∴???

????

--==2λ22θsin 2θcos 2

m m , ∴4

)λ22(4222--+

m m =1.

∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4, 令

f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则?????????≥≥≤-≤≥?0

)4(0)0(42λ4300

f f 或f (0)·f (4)≤0

∴????

?????

≤≥≤≤≤≤--≥0λ2λ2λ043λ4

589λ或或 ∴－8

9≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范围是［－8

9，2］.

【例12】

如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于

运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0

不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令

OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为

多

少？当L 取最大值时，θ为多大？

解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：

??

???-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθα 由①②整理得：v 0cos θ=.2

1αsin θsin ,αcos 0gt t

L v t

L +-=

∴v 02+

gL sin α=41g 2t 2+2

2

t L ≥2

2

22412t

L t g ?=gL

① ②

运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =2

1mv 02,

∴v 02=2gh ,∴L ≤

)

αsin 1(2)αsin 1(20-=

-g gh

g v =200(m)

即

L max =200(m),又41g 2t 2=2

2

222t

L t h S =+.

∴θcos 22αcos αcos ,20?====

g

L

gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.

【例13】

如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函

数：

y =A sin(ωx +φ)+b ；(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.

解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象. ∴ω

π221?=14－6,解得ω=8

π,由图示A =21(30－10)=10，b =2

1(30+10)=20，

这时y =10sin(8

πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=4

3π.综上所求的解析式为

y =10sin(8

πx +

4

3

π)+20,x ∈［6,14］. 【例14】

已知函数()b x a x x x f ++??

? ?

?

-+??

? ?

?+=cos 6πsin 6πsin （R b a ∈,，且均为常数）

，

（1）求函数()x f 的最小正周期；

（2）若()x f 在区间??

?

?

??-0,3π上单调递增，且恰好能够取到()x f 的最小值2，试求b a ,的值．

解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如?+wx ）、一种三角函数的形式．

（1） ()b x a x x x f ++??

? ?

?-+??

? ?

?+=cos 6πsin 6πsin

b x a x ++=cos 6

π

cos

sin 2 b x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32

（其中θ由下面的两式所确定：3

3θcos ,3

θsin 2

2

+=

+=a a a ）

所以，函数()x f 的最小正周期为π2．

（2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-

32，所以，232=++-b a ．

另外，由()x f 在区间??

????-0,3π上单调递增，可知：()x f 在区间??

?

???-0,3π上的最小值

为??

? ??-3πf ，所以，??

? ??-3πf =232=++-

b a ．

解之得：2,1=-=b a

【例15】

设R x ∈，试比较()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系．

解：观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等．

初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、π2．

所

以，只需考虑[]π,π-∈x 的情形．

另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x 的范围继续缩小？

事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形．

如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性．

??

?

??-=x x sin 2πcos sin sin

至此为止，可以看出：由于x sin 2

π-和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间，

（即x sin 2

π-，x cos ∈[]π,0），所以，只需比较x sin 2

π-与x cos 的大小即可．

事实上，

（x sin 2

π-）—x cos =x sin 2

π-—x cos =??? ?

?

+-

4πsin 22

πx 022π>-≥

所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得：

x sin sin

综上，()x g <()x f ．

点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题．

六、专题练习

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

三角函数练习题及答案

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β

7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31 ，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ，4π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ，4π∪??? ? ?23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ? ? 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ?? ? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ??? ? ? 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

高三数学 三角函数专题训练(含解析)

三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围．

17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，

高三三角函数专题复习(题型全面)

三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

最新上海高中数学三角函数大题压轴题练习

三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ，

初中三角函数专项练习题及答案

初中三角函数基础检测题 山岳 得分 （一）精心选一选（共３６分） 1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ） A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中，∠C=90 ，BC=4，sinA=5 4 ，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且 sinA=31 ，则（ ） A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 4、若cosA=31，则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ） A 、1：1：2 B 、1：1：2 C 、1：1：3 D 、1：1：22 6、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ） A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=3 2 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）

A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-3 2，-12） D ．（-12，-32） 9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走 200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） （A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m 11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45?，则该高楼的高度大约为（ ） A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）． （A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里 （二）细心填一填（共３３分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 2．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 3．在△ABC 中，AB= ，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______． 图1 45? 30? B A D C

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

高中数学三角函数练习题

高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316

５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如

三角函数专题知识点及练习

三角函数知识总结一、知识框架 二、知识点、概念总结 1.Rt△ABC中 (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边 斜边 (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边 斜边 (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边 (4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边 2.特殊值的三角函数： a sina cosa tana cota 30°1 2 3 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 1 60° 3 2 1 2 3 3 3 3.互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 4. 同角三角函数间的关系 平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 tan2(α)+1=sec2(α) cot2(α)+1=csc2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 5.三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0, 当角度在0°<∠A<90°间变化时， tanA>0, cotA>0. 6.解直角三角形的基本类型 解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 7.仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 要点一：锐角三角函数的基本概念

高中数学三角函数复习专题(2)

高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin

4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P

高三数学三角函数专题训练

高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2-

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

高三文科数学三角函数专题测试题

A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A