2019届高考数学二轮复习考前冲刺二10个二级结论高效解题学案理

考前冲刺二 10 个二级结论高效解题
结论 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数， 则对任意的 x∈D， 都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别地， 若奇函数 f(x) 在 D 上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0. （x＋1） ＋sin x 【例 1】 设函数 f(x)＝ 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________. x2＋1 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R，
2
f(x)＝
（x＋1） ＋sin x 2x＋sin x ＝1＋ ， 2 x ＋1 x2＋1
2
2x＋sin x 设 g(x)＝ ，则 g(－x)＝－g(x)， x2＋1 ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案 2 【训练 1】 对于函数 f(x)＝asin x＋bx＋c(其中 a，b∈R，c∈Z)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(－ 1)，所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 C.2 和 4 ) B.3 和 1 D.1 和 2
解析 令 g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则 g(x)是奇函数.又 g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1) ＋f(1)－2c，而 g(－1)＋g(1)＝0，c 为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c 为偶数.选项 D 中，1＋2＝3 是奇数，不 可能成立. 答案 D 结论 2 抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T＝2a. (2)如果 f(x＋a)＝ 1
f（x）
(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a.
(3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. 2.函数的对称性 已知函数 f (x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝
a＋b
2
对称，特别地，若 f(a＋x)＝f(a－x)恒

成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例 2】 (1)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)，且当 x∈(0，3)时，
f(x)＝x＋1，则 f(－2 017)＋f(2 018)＝(
A.3 B.2
) C.1 D.0
(2)(2018·日照调研)函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立， 且函数 y＝f(x－1)的图象关于点 (1，0)对称，f(1)＝4，则 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 解析 (1)因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)， 所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当 x≥0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出现一次. 又当 x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故 f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4.
所以 f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以 f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4) ＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案 (1)C (2)4 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x＋2)为偶函数，且 f(1)＝1，则 f(8)＋f(9)＝( A.－2 B.－1 C.0 D.1 )
解析 由 f(x＋2)是偶函数可得 f(－x＋2)＝f(x＋2)， 又由 f(x)是奇函数得 f(－x＋2)＝－f(x－2)， 所以 f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故 f(x)是以 8 为周期的周期函数，所以 f(9) ＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 f(8)＝f(0)＝0，故 f(8)＋f(9)＝ 1. 答案 D

结论 3 两个经典不等式 (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当 x＝1 时，等号成立. (2)指数形式：e ≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：e >x＋1>x>1＋ln x(x>0，且 x≠1). 【例 3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数 f(x)＝x－1－aln x. (1)若 f(x)≥0，求 a 的值；
x x
? 1?? 1 ? ? 1 ? (2)证明：对于任意正整数 n，?1＋ ??1＋ 2?…?1＋ n? (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 ?1? ①若 a≤0，因为 f? ?＝－ ＋aln 2<0，所以不满足题意. 2 2 ? ? ②若 a>0，由 f′(x)＝1－ ＝
a x－a 知， x x
当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0； 所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 故 x＝a 是 f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点. 因为 f(1)＝0，所以当且仅当 a＝1 时，f(x)≥0，故 a＝1. (2)证明 由(1)知当 x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0. 1 ? 1? 1 令 x＝1＋ n，得 ln?1＋ n?< n. 2 ? 2? 2 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 1 1 从而 ln?1＋ ?＋ln?1＋ 2?＋…＋ln?1＋ n?< ＋ 2＋…＋ n＝1－ n<1. 2 2 ? 2? ? 2? ? 2? 2 2
? 1?? 1 ? ? 1 ? 故?1＋ ??1＋ 2?…?1＋ n?1 【训练 3】 (1)已知函数 f(x)＝ ，则 y＝f(x)的图象大致为( ln（x＋1）－x )
? ?x＋1>0， 解析 因为 f(x)的定义域由? ?ln（x＋1）－x≠0， ?

求得{x|x>－1，且 x≠0}，所以排除选项 C，D. 当 x>0 时，由经典不等式 x>1＋ln x(x>0)， 以 x＋1 代替 x，得 x>ln(x＋1)(x>－1，且 x≠0)， 所以 ln(x＋1)－x<0(x>－1，且 x≠0)，易知 B 正确. 答案 B 1 2 x (2)已知函数 f(x)＝e ，x∈R.证明：曲线 y＝f(x)与曲线 y＝ x ＋x＋1 有唯一公共点. 2
?1 2 ? x 1 2 证明 令 g(x)＝f(x)－? x ＋x＋1?＝e － x －x－1，x∈R， 2 ?2 ?
则 g′(x)＝e －x－1， 由经典不等式 e ≥x＋1 恒成立可知，g′(x)≥0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为单调递增函数，且 g(0)＝0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论 4 三点共线的充要条件
x x
A，B，C 三点共线 AB，AC共线；向量PA，PB，PC中，A，B，C 三
且 α ＋β ＝1.
→ →
→ → →
→ → → α ，β 使得PA＝α PB＋β PC，
→ → 2→ 【例 4】 已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x OA＋xOB＋BC＝0 成立的实 数 x 的取值集合为( A.{－1} ) C.{0} D.{0，－1}
→ → → → → → 2→ 解析 ∵BC＝OC－OB，∴x OA＋xOB＋OC－OB＝0， → → 2→ 2 即OC＝－x OA＋(1－x)OB，∴－x ＋(1－x)＝1， 解得 x＝0 或 x＝－1(x＝0 舍去)，∴x＝－1. 答案 A → → → 【训练 4】 在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点.若AB＝λ AM＋μ AN，则 λ ＋μ ＝________. 解析 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 4 由已知易得 AB＝ AT， 5 4→ → → → ∴ AT＝AB＝λ AM＋μ AN， 5 → 5 → 5 → ∴AT＝ λ AM＋ μ AN， 4 4 5 5 4 ∵T，M，N 三点共线，∴ λ ＋ μ ＝1，∴λ ＋μ ＝ . 4 4 5

答案
4 5
结论 5 三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为△ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 → → → (1)O 为△ABC 的外心?|OA|＝|OB|＝|OC|＝ → → → (2)O 为△ABC 的重心 ?OA＋OB＋OC＝0. → → → → → → (3)O 为△ABC 的垂心 ?OA·OB＝OB·OC＝OC·OA. → → → (4)O 为△ABC 的内心 ?aOA＋bOB＋cOC＝0. → 1 → → 【例 5】 已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP＝ [(1－λ )OA＋(1－λ )OB＋ 3 → (1＋2λ )·OC]，λ ∈R，则点 P 的轨迹一定经过( A.△ABC 的内心 C.△ABC 的重心 B.△ABC 的垂心 D.AB 边的中点 ) . 2sin A
a
→ → → 解析 取 AB 的中点 D，则 2OD＝OA＋OB， → 1 → → → ∵OP＝ [(1－λ )OA＋(1－λ )OB＋(1＋2λ )OC]， 3 → 1 → → ∴OP＝ [2(1－λ )OD＋(1＋2λ )OC] 3 ＝ 而 2（1－λ ）→ 1＋2λ → OD＋ OC， 3 3 2（1－λ ） 1＋2λ ＋ ＝1，∴P，C，D 三点共线， 3 3
∴点 P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C → → → → → → 【训练 5】 (1)P 是△ABC 所在平面内一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则 P 是△ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 )
→ ? ? → AB AC ? → → ＋ (2)O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP＝OA＋λ ? ，λ ∈[0， → ? ?|→ AB | | AC | ? ? ＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 B.内心 ) C.重心 D.垂心
→ → → → → → → → → → → → → → → 解析 (1)由PA·PB＝PB·PC， 可得PB·(PA－PC)＝0， 即PB·CA＝0， ∴PB⊥CA， 同理可证PC⊥AB， PA⊥BC.∴P 是△ABC 的垂心.

→ → → → AB → AC → AB AC → (2) 为AB上的单位向量， 为AC上的单位向量，则 ＋ 的方向为∠BAC 的平分线AD的方向. → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| → ? → → ? → AB AC ? AB AC ? ＋ 又 λ ∈[0，＋∞)，∴λ 的方向与 ＋ 的方向相同. → ? ?|→ → → |AB| |AC| ? AB| |AC|? → → ? ? → AB AC ? → → ? ＋ OP＝OA＋λ ，∴点 P 在AD上移动. → ? ?|→ ? AB| |AC|? ∴P 的轨迹一定要通过△ABC 的内心. 答案 (1)D (2)B 结论 6 与等差数列相关的结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之 和 S2m＝m(am＋am＋1)，S 偶－S 奇＝md，
S偶 am＋1 ＝ . S奇 am
(2)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶，则所有项之和 S2m－1 ＝(2m－1)am，S 奇－S 偶＝am，
S奇 m ＝ . S偶 m－1
2
【例 6】 (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38，则 m＝________. (2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 32∶27，则数列的公差 d＝ ________. 解析 (1)由 am－1＋am＋1－am＝0 得 2am－am＝0，解得 am＝0 或 2. （2m－1）（a1＋a2m－1） 又 S2m－1＝ ＝(2m－1)am＝38， 2 显然可得 am≠0，所以 am＝2. 代入上式可得 2m－1＝19，解得 m＝10. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得?
? ?S奇＋S偶＝354， ? ?S偶＝192， 解得? ?S偶∶S奇＝32∶27， ?S奇＝162. ? ?
2 2
192－162 又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝ ＝5. 6 答案 (1)10 (2)5 【训练 6】 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝( A.3 B.4 C.5 D.6 )
解析 ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差 d＝am＋1－am＝1， 由 Sn＝na1＋
n（n－1） n（n－1） d＝na1＋ ，
2 2

m（m－1） ? ?ma ＋ 2 ＝0， 得? （m－1）（m－2） ＝－2， ?（m－1）a ＋ ? 2
1 1
① ②
1－m 由①得 a1＝ ，代入②可得 m＝5. 2 答案 C 结论 7 与等比数列相关的结论 (1)公比 q≠－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N ). (2)若等比数列的项数为 2n(n∈N )，公比为 q，奇数项之和为 S 奇，偶数项之和为 S 偶，则 S 偶＝qS 奇. (3)已知等比数列{an}，公比为 q，前 n 项和为 Sn.则 Sm＋n＝Sm＋q Sn(m，n∈N ). 【例 7】 (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ＝3，则 ＝( A.2 B. 7 3 C. 8 3
m
* * *
S6 S3
S9 S6
) D.3
2 2
解析 由已知 ＝3，得 S6＝3S3，因为 S3，S6－S3，S9－S6 也为等比数列，所以(S6－S3) ＝S3(S9－S6)，则(2S3)
S6 S3
S9 7S3 7 ＝S3(S9－3S3).化简得 S9＝7S3，从而 ＝ ＝ . S6 3S3 3
答案 B 7 63 (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S3＝ ，S6＝ . 2 2 ①求数列{an}的通项公式； ②求 log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25 的值. 解 7 63 1 3 3 2 ①由 S3＝ ，S6＝ ，得 S6＝S3＋q S3＝(1＋q )S3，∴q＝2.又 S3＝a1(1＋q＋q )，得 a1＝ . 2 2 2
1 n－1 n－2 故通项公式 an＝ ×2 ＝2 . 2 ②由(1)及题意可得 log2an＝n－2， 25×（－1＋23） 所以 log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝ ＝275. 2
?1? 【训练 7】已知{an}是首项为 1 的等比数列， Sn 是{an}的前 n 项和， 且 9S3＝S6， 则数列? ?的前 5 项和为________. ?an?
解析 设等比数列{an}的公比 q，易知 S3≠0. 则 S6＝S3＋S3q ＝9S3，所以 q ＝8，q＝2. 5 ? 1? 1－? ? ?1? 1 ?2? 31 所以数列? ?是首项为 1，公比为 的等比数列，其前 5 项和为 ＝ . 2 1 16 ?an? 1－ 2 答案 31 16
3 3

结论 8 多面体的外接球和内切球 (1)长方体的对角线长 d 与共点的三条棱 a，b，c 之间的关系为 d ＝a ＋b ＋c ；若长方体外接球的半径为 R， 则有(2R) ＝a ＋b ＋c . (2)棱长为 a 的正四面体内切球半径 r＝ 6 6 a，外接球半径 R＝ a. 12 4
2 2 2 2 2 2 2 2
【例 8】 (1)(2018·安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线(实线和虚线)表示的是 某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.24π
B.29π
C.48π
D.58π
(2)(2018·石家庄教学质量检测)四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，且 PA＝PB＝PC＝PD，若 一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( A.6 B.5 C. 9 2 D. ) 9 4
解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在 3×2×4 的长方体中构造符合题 意的几何体(三棱锥 A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球. 表面积为 4π R ＝π (3 ＋2 ＋4 )＝29π .
2 2 2 2
(2)过点 P 作 PH⊥平面 ABCD 于点 H.由题意知， 四棱锥 P－ABCD 是正四棱锥， 内切球的球心
O 应在四棱锥的高 PH 上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中 PE，PF 是斜高，M
为球面与侧面的一个切点. 设 PH＝h，易知 Rt△PMO∽Rt△PHF，
OM PO 1 h－1 9 所以 ＝ ，即 ＝ 2 ，解得 h＝ . 2 FH PF 3 4 h ＋3
答案 (1)B (2)D 【训练 8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是 1，且其外接球的表面积是 16π ，则该三 棱柱的侧棱长为( A. 14 ) B.2 3 C.4 6 D.3
(2)(2018·济南调研)已知球 O 的直径 PA＝2r，B，C 是该球面上的两点，且 BC＝PB＝PC＝r，三棱锥 P－ABC

32 2 的体积为 ，则球 O 的表面积为( 3 A.64π B.32π
) C.16π D.8π
解析 (1)由于直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱 ABC－A1B1C1 补成正四棱柱，则 正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是 16π ，所以外接球半径为 2，因为直三棱柱的 底面是等腰直角三角形，斜边长 2，所以该三棱柱的侧棱长为 16－2＝ 14. (2)如图，连接 OB，OC，则几何体 O－BCP 是棱长为 r 的正四面体，所以 VO－BCP＝ 2 3 r ，于是 12
VP－ABC＝2VO－BCP＝
2 3 2 32 2 2 r ，令 r3＝ ，得 r＝4.从而 S 球＝4π ×4 ＝64π . 6 6 3
答案 (1)A (2)A 结论 9 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆 C：(x－a) ＋(y－b) ＝R 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R . (2)若点 M(x0，y0)在曲线 2± 2＝1(a>0，b>0)上，则过 M 的切线方程为
2 2 2 2 2
x2 y2 a b
x0x y0y ± ＝1. a2 b2
(3)①抛物线 y ＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)处的切线方程是 y0y＝p(x＋x0). ②过抛物线 y ＝2px(p>0)外一点 P(x0，y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y＝p(x＋x0). 【例 9】 已知抛物线 C：x ＝4y，直线 l：x－y－2＝0，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线
2 2
PA，PB，其中 A，B 为切点，当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程.
解
? ?x ＝4y， 联立方程得? 消去 y， ?x－y－2＝0， ?
2 2
整理得 x －4x＋8＝0， Δ ＝(－4) －4×8＝－16<0， 故直线 l 与抛物线 C 相离. 1 由结论知，P 在抛物线外，故切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x＝2(y＋y0)，即 y＝ x0x－y0. 2 【训练 9】 (1)过点(3，1)作圆(x－1) ＋y ＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为( A.2x＋y－3＝0 C.4x－y－3＝0 B.2x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
2 2 2
)
x2 y2 ? 3? (2)设椭圆 C： ＋ ＝1，点 P?1， ?，则椭圆 C 在点 P 处的切线方程为________________. 4 3 ? 2?
解析 (1)如图，圆心坐标为
C(1，0)，易知 A(1，1).
1－0 1 又 kAB·kPC＝－1，且 kPC＝ ＝ ，∴kAB＝－2. 3－1 2

故直线 AB 的方程为 y－1＝－2 (x－1)，即 2x＋y－3＝0.
x2 y2 ? 3? (2)由于点 P?1， ?在椭圆 ＋ ＝1 上， 4 3 ? 2?
3 y x 2 故切线方程为 ＋ ＝1，即 x＋2y－4＝0. 4 3 答案 (1)A (2)x＋2y－4＝0 结论 10 过抛物线 y ＝2px(p>0)焦点的弦 过抛物线 y ＝2px(p>0)焦点的弦 AB 有： (1)xA·xB＝ . 4 (2)yA·yB＝－p . 2p (3)|AB|＝xA＋xB＋p＝ 2 (α 是直线 AB 的倾斜角). sin α 【例 10】 过抛物线 y ＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( A.4 B. 9 2 C.5 D.6
2 2 2 2
p2
)
解析 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A，B 在准线上的射影分别为 D，C， 作 BE⊥AD 于 E， 设|BF|＝m，直线 l 的倾斜角为 θ ， 则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知 |AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
AE 1 8 2 2 2 2 所以 cos θ ＝ ＝ ，所以 tan θ ＝2 2.则 sin θ ＝8cos θ ，∴sin θ ＝ .又 y ＝4x，知 2p＝4，故利用弦 AB 3 9
2p 9 长公式|AB|＝ 2 ＝ . sin θ 2 答案 B 【训练 10】 设 F 为抛物线 C：y ＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点， 则△OAB 的面积为( A. 3 3 4 ) B. 9 3 8 63 C. 32 D. 9 4
2
3? 3? ?3 ? 解析 法一 由已知得焦点坐标为 F? ，0?，因此直线 AB 的方程为 y＝ ?x－ ?，即 4x－4 3y－3＝0. 3 ? 4? ?4 ? 与抛物线方程联立，化简得 4y －12 3y－9＝0， 故|yA－yB|＝ （yA＋yB） －4yAyB＝6. 1 1 3 9 因此 S△OAB＝ |OF||yA－yB|＝ × ×6＝ . 2 2 4 4
2 2

2p 法二 由 2p＝3，及|AB|＝ 2 sin α 2p 3 得|AB|＝ 2 ＝ ＝12. 2 sin α sin 30° 3 原点到直线 AB 的距离 d＝|OF|·sin 30°＝ ， 8 1 1 3 9 故 S△AOB＝ |AB|·d＝ ×12× ＝ . 2 2 8 4 答案 D

2020版高考数学二轮复习专题汇编全集

第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．

B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】

高考数学第二轮复习计划 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说． “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排： 1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。 2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议： （一）.明确“主体”，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容 1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 （1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 （7）排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 （（9）高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 （二）、做到四个转变。 1．变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用．

江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)

计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

2020届高考数学大二轮复习教师用书(理)

专题强化突破 专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式及线性规划 第一讲集合与常用逻辑用语

本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义，掌握集合问题的常见解法，活用数学思想解决问题． (2)明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的区别． (3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 预测2019年命题热点为： (1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算，与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查． (2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查． Z 知识整合hi shi zheng he 1．集合的概念、关系及运算 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. (2)集合与集合之间的关系：A ?B ，B ?C ?A ?C ． (3)空集是任何集合的子集. (4)含有n 个元素的集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个． (5)重要结论：A ∩B ＝A ?A ?B ，A ∪B ＝A ?B ?A . 2．充要条件 设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满中条件q }，则有 A B B A (1)命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p

和p 为真假对立的命题． (2)命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 4．全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p ：?x ∈M ，p (x )．它的否定綈p ：?x 0∈M ，綈p (x 0). (2)特称命题p ：?x 0∈M ，p (x )．它的否定綈p ：?x ∈M ，綈p (x ).,Y 易错警示 i cuo jing shi 1．忽略集合元素互异性： 在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根． 2．忽略空集： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则． 3．混淆命题的否定与否命题： 在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定 . 1．(文)(2018·全国卷Ⅰ，1)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( A ) A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{－2，－1,0,1,2} [解析] A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A ． (理)(2018·全国卷Ⅰ，2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则?R A ＝( B ) A ．{x |－12} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} [解析] ∵ x 2－x －2>0，∴ (x －2)(x ＋1)>0，∴ x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示． 由图可得?R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B ． 2．(文)(2018·全国卷Ⅲ，1)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C )

高考数学二轮复习五大技巧

2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习

中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合

高三数学二轮复习计划

高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三

2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练三

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题 (限时：60分钟) 1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n . 2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32 a 2、a 2成等差数列． (1)求a n ； (2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集． 3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n } 满足b 3＝3，b 5＝9. (1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝ b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证： c n ＋1＜c n ≤13 .

4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝ a n a n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)若数列{b n }满足b n ＝(3n －1)n 2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ＜T n 对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围． 5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2 n ＋1a n (其中p 为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列?? ????a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ； (3)当a ＝1时，令b n ＝ na n ＋2a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n . 6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23 ，n ∈

2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．

1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．

2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题五 第2讲

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0，

又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作

高考数学第二轮复习策略与重点

2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。

另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵

2019-2020年高考数学二轮复习综合提升训练(V)

2019-2020年高考数学二轮复习综合提升训练(V) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1x －2 }，B ＝{x |x ＞a }，则下列关系不可能成立的是( ) A ．A ?B B ．B ?A C ．A B D ．A ??R B 解析：选D.由????? x ＋1≥0x －2≠0，可得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，选项A ，B ，C 都有可能成立， 对于选项D ，?R B ＝(－∞，a ]，不可能有A ??R B . 2．(xx·高考山东卷)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i 解析：选B.法一：利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. 法二：利用共轭复数的性质求解．由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B. 3．“不等式x (x －2)＞0”是“不等式2x ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.2x ＜1?2x －1＜0?x (x －2)＞0. 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2 是实数，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.15 D ．－15 解析：选A.a 1＋i ＋1＋i 2＝a －＋－＋1＋i 2 ＝a ＋＋－a ＋ 2，由于该复数为实数，故－a ＋1＝0，即a ＝1.

江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.

答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．

2019年高考全国2卷理科数学及答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++． 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B 2 1 2M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b ）>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行

2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：七解析几何专题对点练25(含答案)

专题对点练257.1~7.3组合练 (限时90分钟,满分100分) 一、选择题(共9小题,满分45分) 1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为() A.B.C.4D.3 2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=() A.- B.- C. D.2 3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是() A.18 B.6 C.5 D.4 4.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为() A.4 B.2 C.4 D.3 5.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为() A.B.C.D.5 6.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是() A.B.C.2 D.2 7.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为() A.B.2 C.D.2 8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为() A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 9.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是() A.32 B.16 C.8 D.4 二、填空题(共3小题,满分15分) 10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为. 11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为. 12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大. 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分) 13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求动点A的轨迹M的方程; (2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值. 14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.

高考数学二轮复习(理数)专题圆锥曲线

专题13 圆锥曲线 1．已知双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为〔3，4〕，则此双曲线的方程为〔〕 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】C【解析】 2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的〔〕A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 【答案】A 【解析】由题设知F1〔－3，0〕，F2〔3，0〕，如图， ∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P〔3，b〕， 把P〔3，b〕代入椭圆＋＝1，得b2＝.∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝. ∴＝＝7.故选A. 3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝〔〕 A．2 B． 4 C．6 D．8 【答案】B【解析】由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2| ?cos 60°＝?|PF1|·|PF2|＝4. 4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率等于〔〕 A. B. C. D. 6 2 【答案】B

5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝〔〕 A. B. C. D．2 【答案】B 【解析】由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1，故椭圆的右焦点F2为〔1，0〕，即抛物线C的焦点为〔1，0〕，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x，联立解得或∵P为第一象限的点，∴P， ∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B. 6．已知双曲线－＝1〔a>0，b>0〕的左顶点与抛物线y2＝2px〔p>0〕的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为〔－2，－1〕，则双曲线的焦距为〔〕A．2 B．2 C．4 D．4 5 【答案】B 7．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是〔〕 A．4 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【解析】∵y2＝4x，∴F〔1，0〕，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝〔x－1〕，与y2＝4x