数学分析之多元函数微分学
第十七章多元函数微分学
教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。
教学时数：18学时
§1 可微性
一．可微性与全微分：
可微性：由一元函数引入. 亦可写为,
1．
时
例1 考查函数
在点处的可微性 . P107例1
二.偏导数:
1.偏导数的定义、记法:
2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数:
例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .
. 求偏导数.
例5
. 求偏导数.
例6
. 求偏导数, 并求.
例7
. 求和.
例8
,
解=
.
=
例9
证明函数
在点连续, 并求和.
证
连续 .
. 在点
,
不存在 .
三.可微条件:
1.必要条件:
Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微,
和
存在, 且
. ( 证) 由于
, 微分记为
.
定理1给出了计算可微函数全微分的方法.
两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.
例10考查函数
在原点的可微性 . [1]P110 例5 .
2.充分条件:
的偏导数在的某邻域内存在, 且和在
Th 2 若函数
点
Th 3 若
则函数在点
.
即
在点可微 .
例11
在点可微, 但和在点处不连续 . (简
验证函数
证,留为作业)
证
因此, 即,
可微, . 但时, 有
在点
,
不存在, 沿方向极限
沿方向
时,
不存在; 又
处不连续.
,因此, 不存在, 在点
由
四.中值定理:
在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于
Th 4 设函数
该邻域, 则存在
. ( 证)
设在区域D内. 证明在D内.
例12
五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：
六.可微性的几何意义与应用：
1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113.
Th 5 曲面
在点 存在不平行于
轴的
切平面的充要条件是函数
在点
可微 . ( 证略 )
2. 切平面的求法: 设函数
在点
可微 ，则曲面
在点
处的切平面方程为 （ 其中
）
，
法线方向数为 ，
法线方程为 .
例13
试求抛物面
在点
处的切平面方程和法
线方程 . P115例6
3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 .
例14 求 的近似值. P115例7
例15 应用公式
计算某三角形面积 . 现测得
,
. 若测量
的误差为
的误差为
. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.
§ 2 复合函数微分法
简介二元复合函数: .
以下列三种情况介绍复合线路图
;
.
一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.
在点D可微, 函数
Th 设函数
在点
可微, 则复合函数
在点
,
. ( 证) P118
称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .
对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.
链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.
对外
元, 内元,
有
，.
外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.
例1. 求和. P120例1
例2
, . 求和.
例3, 求和.
设函数可微 ..求、和.
例4
ⅰ> ; ⅱ> . P121例4
设函数可微. 在极坐标变换下,
例6
. P120例2
设函数可微, . 求证
例7
.
二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .
例8
. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和
.P122 例5
§3 方向导数和梯度
一．方向导数：
1．方向导数的定义：
在点的某邻域内有定义 .
定义设三元函数
出发的射线 . 为上且含于内的任一点,
以表示
在点沿方向的方向导数, 记为或
存在, 则称此极限为函数
、.
在点, 可仿此定义方向导数 .
对二元函数
和是三元函数在点分别沿轴正向、轴
易见, 、
正向和
=. 求在点处沿方向的方
例1
; ⅱ>为从点
到点
为方向的射线为. 即
解ⅰ>
.
因此,
到点的方向的方向数为
ⅱ>从点
方向的射线为.
;
,
.
因此,
2. 方向导数的计算:
Th 若函数
在点 可微 , 则 在点
处沿任一方向 的
方向导数都存在 , 且
+
+
,
其中
、
和 为 的方向余弦. ( 证 ) P125
对二元函数
,
+
, 其中
和
是
的方向角. 註 由
+
+
=
=
,
,
,
, ,
可见 ,
为向量
, ,
在方向 上的投影.
例2 ( 上述例1 )
解 ⅰ> 的方向余弦为
=
,
=
,
=
.
=1 ,
=
,
= .
因此 ,
=
+
+
=
.
ⅱ> 的方向余弦为
=
,
=
,
=
.
因此 ,
=
.
可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .
例3 P126 .
二. 梯度 ( 陡度 ):
1. 梯度的定义: , , .
|
= .
易见 , 对可微函数
, 方向导数是梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为
|
.
其中
是 与
夹角. 可见
时
取最大值 , 在 的反方
向取最小值 .
3. 梯度的运算:
ⅰ> .
+) = +.
ⅱ>(
ⅲ> (
ⅳ> .
ⅴ> (
) = .
证ⅳ> , .
.
§4 Taylor公式和极值问题
一、高阶偏导数:
1.高阶偏导数的定义、记法：
例9 求二阶偏导数和. P128例1
例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.
3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132
例11 . 求和. P132例3
4. 验证或化简偏微分方程:
+ . ( Laplace方程)
例12 . 证明
例13 将方程变为极坐标形式.
解.
, , , .
, ;
因此, .
方程化简为.
例14
试确定和, 利用线性变换将方程
化为.
解, .
=+++=
=+2+.
=+++=
=
++.
=
++.
因此,
+ (
+ .
令, 或
或……, 此时方程化简为.
二．中值定理和泰肋公式：
凸区域 .
Th 1 设二元函数
在凸区域D
上连续, 在D的所有内点处可微 .
则对D内任意两点
D , 存在
, 使
. 证令
.
系若函数
在区域D上存在偏导数, 且
, 则
是D上的常
值函数.
二. Taylor公式:
Th 2 (Taylor公式) 若函数
在点
的某邻域
内有直到
阶连续偏导数, 则对
内任一点
,存在相应的
, 使
证P134
例1 求函数
在点
的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算
P135—136例4 .
三. 极值问题:
1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.
例2 P136例5
2．极值的必要条件：与一元函数比较 .
Th 3 设
为函数的极值点 . 则当和存在时, 有
. ( 证)
3. 极值的充分条件:
代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为
.
顺序主子式全,
ⅰ> 是正定的,
是半正定的,
顺序主子式全;
, 其中为阶顺序主子式.
ⅱ> 是负定的,
.
是半负定的,
ⅲ> < 0时, 是不定的.
在点某邻域有二阶连续偏导数 .
充分条件的讨论: 设函数
由Taylor公式, 有
+
+ .
为驻点时, 有
.其中
.
可见式
的符号由二次型完全
决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有
ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;
ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;
ⅲ> 时, 不是极值点;
ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .
综上, 有以下定理 .
在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 .
Th 4 设函数
则
为极小值点;
ⅰ> 时,
ⅱ> 时, 为极大值点;
ⅲ> 时, 不是极值点;
ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .
例3—7 P138—140 例6—10 .
四．函数的最值：
例8 求函数
在域D = 上的最值 .
. .
解令解得驻点为
上, , 驻点为,
在边界
上, , 没有驻点;
在边界
上, ,
在边界
驻点为
又
.
于是,
.
.[]
第十八章隐函数定理及其应用
教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；
2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；
3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。
教学时数：14学时
§1 隐函数
一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.
1.
隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
《数学分析》10第三章-函数极限
《数学分析》10第三章-函数极限
第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数:
1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。
(完整版)正比例函数、反比例函数测试题(经典)
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
初中数学反比例函数经典测试题及答案
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
高等数学题库第08章(多元函数微分学)
第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则 该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （ ） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ） 二、填空题
1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ） 第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限： 以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+ 授课章节：第一章 §３ 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念。 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法； （２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复 合关系。 教学重点：函数的概念。 教学难点：初等函数复合关系的分析。 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。 教学程序： 引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨 论。 一 函数的定义 １．定义１ 设,D M R ?，如果存在对应法则f ，使对x D ?∈，存在唯一的一个数y M ∈与之对应，则称f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作:f D M →(|x y →). 函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f D 。即 {}()|(),f D y y f x x D ==∈。 ２．几点说明 （1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。 （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。 例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。 （4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。 （5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x 值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。 （６）定义１中的定义是Cauchy 于1834年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程 数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。 反比例函数经典测试题含解析 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( ) 反比例函数测试题（含答案） （时间90分钟满分100分）5 . 已知反比例函数的图象经过点（m3m），则此反比例函数的图象 在 班级 ________ 学号________ 姓名_________ 得分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如果x、y之间的关系是ax'?y=O（a H0），那么y是x的（ ） A .正比例函数 B .反比例函数 C .一次函数 D.二次函数 4 2 . 函数y =—-的图象与x 轴的交点的个数是 x （） A.第一、二象限 C.第二、四象限 第一、三象限 第三、四象限 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时, 的气压P （kPa ）是气体体积V （ m3） 气球内气体 的反比例函数，其 图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时，气球发将爆 炸.为了安全起见，气球的体积应 60 P (kPa) \(1.6, 60) ■I I3T W ■■ 1' ? W / f 3 1.6 V (m3) 第6题 A . 零个B.一个C 3 . 反比例函数y ( ) A. 第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 4.已知关于x的函数y = k (x+1 )和y =— .两个 D.不能确定 4 = —- 的图象在 x A.不小于-m3 B .小于-mi C .不小于-mi D .小于- 5 7 . 如果点 的面积为 A. 2 &已知: P为反比例函数 4 4 y 的图象上一点, x PQ L x 轴, 垂足为Q那么△ POQ 反比例函数 1-'2m “心宀r _ . 的图象上两点 A( x1, y1) ,B (X2,y 2)当X1< 0 k （k丰0）它们在同一坐标系中的大 致 x v x2时，yK y2,贝y m的取值范围（ A. m v 0.m> 0 1 mv — 2 1 n> — 2 二、填空题（每小题2分，共20分） 9.有m台完全相同的机器一起工作，需m小时完成一项工作，当 由 x台机器（x 导言数学分析课程简介 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值 函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算, 利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究 一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累 时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时 期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的 ), 后面的学习就会容易一些; 只要 在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001； [2] 陈纪修於崇华等编，《数学分析》（第二版）高等教育出版社，2001 [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析方法课开设. . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：初中数学反比例函数经典测试题附答案
数学分析之函数极限
高等数学多元函数微分法
《数学分析》5第一章§3函数概念
数学分析中求极限的方法总结
反比例函数经典测试题含解析
反比例函数测试题(含答案)
数学分析课程简介
高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册
- 高等数学多元函数微分学习题集锦
- 多元函数微分学,高数44页PPT
- 高等数学 多元函数微分法及其应用
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