考研数学一真题及答案
2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)极限lll
l→∞[l2
(l?l)(l+l)
]
l
=
(A)1 (B)l (C)l l?l (D)l l?l 【考点】C。
【解析】
【方法一】
这是一个“1∞”型极限
lll l→∞[l2
(l?l)(l+l)
]
l
=lll
l→∞
{[1+
(l?l)l+ll (l?l)(l+l)]
(l?l)(l+l)
(l?l)l+ll}
(l?l)l+ll
(l?l)(l+l)
l
=l l?l
【方法二】
原式=lll
l→∞l lll
l2
(l?l)(l+l)
而lll
l→∞lll l2
(l?l)(l+l)
=lll
l→∞
lll(1+(l?l)l+ll
(l?l)(l+l)
)
=lll
l→∞l?(l?l)l+ll
(l?l)(l+l)
(等价无穷小代换)
=l?l
则lll
l→∞[l2
(l?l)(l+l)
]
l
=l l?l
【方法三】
对于“1∞”型极限可利用基本结论：
若lll l(l)=0,lll l(l)=0,且lll l(l)l(l)=l 则ll l(1+l(l))l(l)=l l,求极限
由于lll
l→∞l(l)l(l)=lll
l→∞
l2?(l?l)(l+l)
(l?l)(l+l)
?l
=lll
l→∞
(l?l)l2+lll
(l?l)(l+l)
=l?l
则lll
l→∞[l2
(l?l)(l+l)
]
l
=l l?l
【方法四】
lll l→∞[l2
(l?l)(l+l)
]
l
=lll
l→∞
[(l?l)(l+l)
l2
]?
l
=lll
l→∞(1?l
l
)?l?lll
l→∞
(1+l
l
)
?l
=l l?l?l=l l?l
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限
(2)设函数l =l (l ,l )由方程l (l l ,l
l
)=0确定，其中l 为可微函数，且
l′′2≠0,则l ?l ?l +l ?l
?l = 。
(A)l (B)l (C)?l (D)?l 【答案】B 。 【解析】
因为
?l ?l
=?
l l ′l l
′=?
l 1′(?l
l 2)+l 2′
(?l
l 2)
l 2′?
1
l
=
l 1′?l
l +l 2′
?l
l
l 2
, ?l ?l
=?
l l ′l l
′=?
l 1′?
1
l l 2′?1l
=?
l 1′l 2
′
所以l
?l ?l
+l
?l ?l
=
l 1′?l +l 2′l
l 2
?ll 1′l 2
=
l 2′l l 2
=l
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分
(3)设l ,l 为正整数，则反常积分∫√ll 21l l
√l
l 10
ll 的收敛性
(A)仅与l 的取值有关 (B)仅与l 的取值有关 (C)与l ,l 的取值都有关 (D)与l ,l 的取值都无关 【答案】D 。
【解析】
本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在l →0+和l →1?时无界
∫√ll 21l l
√l
l
10
=∫
√ll 21l l
√l
l 12
ll +∫√ll 21l l
√l
l
11
2
在反常积分∫
√ll 21l l
√l
l 12
中，被积函数只在l →0+时无界。
由于
√ll 2(1?l )
l
√l
l
≥0，
lll l →0
+√ll 2(1?l )
l
√l l
1√l
l
=0 已知反常积分∫√l
l
1
收敛，则∫
√ll 21l l
√l
l 10
ll 也收敛。
在反常积分∫√ll 21l l
√l
l
11
2
ll 中，被积函数只在l →1?时无界，由于
√2l
√l
l
≥0
lll l →1
?
√ll 2(1?l )
l
√l l 11l
=lll l →1
?
ll 2
l (1?l )(1?l )12
=0 (洛必达法则)
且反常积分∫ll
√1?l
11
2收敛，所以∫√2l
√l
l
11
2
ll 收敛
综上所述，无论l ,l 取任何正整数，反常积分∫√ll 21l l
√l
l
10
收敛。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4)lll l →∞
∑ l l =1∑
l
(l +l )(l 2+l 2)
l
l =1=
(A)∫ll 10∫1
(1+l )(1+l 2)
l 0ll (B) ∫ll 1
0∫1
(1+l )(1+l )
l
ll
(C)∫ll 1
0∫1
(1+l )(1+l )
10
ll (D)∫ll 1
0∫1
(1+l )(1+l 2)
1
ll
【答案】D 。 【解析】 因为
lll l →∞
∑ l l =1∑ l
(l +l )(l 2+l 2)
l
l =1=lll l →∞
∑ l l =1∑
l
l (1+l l )l 2(1+(l
l
)2)
l
l =1
=lll l →∞∑ l l =1∑
1
(1+l
l
)(1+(l l
)2)
l
l =1?
1l 2
=∫ll 1
0∫1
(1+l )(1+l 2)
10
ll
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(5)设l 为l ×l 矩阵，l 为l ×l 矩阵，l 为l 阶单位矩阵，若
ll =l ,则
(A)秩r (l )=l ,秩r (l )=l (B)秩r (l )=l ,秩r (l )=l (C)秩r (l )=l ,秩r (l )=l (D)秩r (l )=l ,秩r (l )=l 【答案】A 。 【解析】
因为ll =l 为l 阶单位矩阵，知l (ll )=l 又因 l (ll )≤min ?(l (l ),l (l )),故
l ≤l (l ),l ≤l (l )
另一方面，l 为l ×l 矩阵，l 为l ×l 矩阵，又有
l (l )≤l ,l (l )≤l
可得秩r (l )=l ,秩r (l )=l 综上所述，本题正确答案是A 。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩
(6)设l 为4阶实对称矩阵，且l 2+l =l ，若l 的秩为3，则l 相似于
(A)[
1
1
1
] (B) [1
1
?1
]
(C)[
1
?1 ?1
0] (D)[?1
?1 ?1
] 【答案】D 。 【解析】
由ll =l l ,l ≠l 知l l l =l l l ，那么对于l 2+l =l 推出来
(l 2+l )l =l ?l 2+l =0
所以l 的特征值只能是0、?1
再由l 是实对称矩阵必有l ~l ，而l 是l 的特征值，那么由l (l )=3,可知D 正确
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
(7)设随机变量l 的分布函数l (l )={0, l <0,
1
2, 0≤l <1,1?l ?l , l >1.
,则l {l =1}=
(A)0 (B)1
2
(C)1
2
?l ?1 (D) 1?l ?1
【答案】C 。
【解析】
l {l =1}=l (1)?l (1?0)=1?l
?1
?12=1
2
?l ?1 综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质
(8)设l 1(l )为标准正太分布的概率密度，l 2(l )为[?1,3]上均匀分布得概率密度，
若
l (l )={
ll 1(l ), l ≤0,
ll 2(l ), l >0,
(l >0,l >0)
为概率密度，则l ,l 应满足
(A)2l +3l =4 (B)3l +2l =4 (C)l +l =1 (D)l +l =2 【答案】A 。 【解析】
根据密度函数的性质
1=∫
l (l )ll +∞
?∞
=∫ll 1(l )ll 0
?∞
+∫
ll 2(l )ll
+∞
0=l ∫l 1(l )ll 0
?∞
+l ∫
l 2(l )ll +∞
l 1(l )为标准正态分布的概率密度，其对称中心在l =0处，故
∫l 1(l )ll 0
?∞
=1
2
l 2(l )为[?1,3]上均匀分布的概率密度函数，即
l 2(l )={1
4， ?1≤l ≤3
0，其他
∫
l 2(l )ll +∞
=∫14
ll =3
43
所以1=l ?12
+l ?3
4
,可得2l +3l =4
综上所述，本题正确答案是A 。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布
二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）
(9)设{l =l ?l ,l =∫ll ?(1+l 2)ll l 0
，则l 2l
ll 2|l =0= 。 【答案】0。 【解析】 【方法一】
ll ll =l′(l )l′(l )=ll ?(1+l 2)?l ?l
=?l l ll ?(1+l 2
) l 2l ll 2=l ll [?l l l l (1+l 2)]?1l ′(l )
=l 2l [2l 1+l 2+ll (1+l 2)]
则
l 2l
ll 2|l =0
=1?[0+0]=0，
【方法二】
由参数方程求导公式知，
l 2l ll 2|l =0=l ′′(0)l ′(0)?l′′(0)l′(0)
[l′(0)]
3
l ′(l )=?l ?l ,l ′′(l )=l ?l ,l ′(0)=?1,l ′′(0)=1
l
′(l )=l l (1+l 2),l
′′(
l )=2l 1+l
2,l ′(0)=0,l ′′(0)=0 代入上式可得 l 2l
ll 2|l =0
=0。
【方法三】
由l =l ?l 得，l =?lll ，则
l =∫
ll ?(1+l 2)ll ?lll
ll ll =?1
l
ll ?(1+ll 2l )
l 2l ll 2=1l 2[l l (1+ll 2
l )?2lll 1+ll 2l
] 当l =0时l =1，则
l 2l
ll 2|l =0
=0
综上所述，本题正确答案是0。
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(10)∫√llll √lll =l 2
。
【答案】?4π。 【解析】
令√l =l ,则x =l 2,ll =2lll
∫√llll √lll =l 20
∫2l 2llllll =l
02∫l 2lllll =l
=2l 2llll |0l
?4∫lllllll l
0 =4lllll |0l ?4∫llllll l
0=?4l 综上所述，本题正确答案是?4l 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
(11)已知曲线l 的方程为l =1?|l |,l ∈[?1,1],起点是(?1,0),终点是(1,0)，则曲
线积分∫llll +l 2
ll =
l
。 【答案】0。 【解析】
如图所示l =l 1+l 2,其中
l 1:l =1+l ,(?1≤l <0),l 2:l =1?l ,(0≤l <1)
所以 ∫llll +l 2ll = l ∫llll +l 2ll l 1
+∫llll +
l
2
l 2ll
=∫[l (1+l )+l 2]0
?1ll +∫[l (1+l )?l 2]1
0ll =∫[2l 2+l ]0
?1ll +∫[l ?2l 2]1
ll =0 综上所述，本题正确答案是0。
(12)设l ={(l ,的形心坐标l = 。
【答案】2
3。
【解析】
l=?lllllll
l
?llllll
l
=
∫ll
2l
∫lll
1
∫lll
1
l2
∫ll
∫lll
∫ll
l2
=
∫ll
2l
∫l(12?l
4
2
)ll
1
l
2
=
∫(l
2
4
?
l6
12
)|
1
ll
2l
l
2
=
1
6
?2l
l
2
=
2
3
综上所述，本题正确答案是2
3
。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(13)设l1=(1,2,?1,0)l,l2=(1,1,0,2)l,l3=(2,1,1,l)l，若由l1,l2,l3生成
的向量空间的维数为2，则l=。
【答案】6。
【解析】
l1,l2,l3生成的向量空间的维数为2，所以可知，l(l1,l2,l3)=2
(l
1,l2,l3)=[
112
211
?101
02l
]→[
112
013
00l?6
000
]
所以可得l?6=0,l=6
综上所述，本题正确答案是6。
【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念
,l=0,1,2,?,则ll2=
(14)设随机变量l的概率分布为l{l=l}=l
l!
。
【答案】2。
【解析】
l?l,l=0,1,2,?,
泊松分布的概率分布为l{l=l}=l l
l!
,l=0,1,2,?
随机变量l的概率分布为l{l=l}=l
l!
对比可以看出l=l?1,l~l(1)
所以ll=ll=1,而ll2=ll+(ll)2=1+12=2
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布；
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)求微分方程l′′?3l′+2l=2ll l的通解
【解析】
由齐次微分方程l′′?3l′+2l=0的特征方程
l2?3l+2=0?l1=1，l2=2所以，齐次微分方程l′′?3l′+2l=0的通解为
l=l1l l+l2l2l
设微分方程l′′?3l′+2l=2ll l的特解为
l?=l(ll+l)l l
则
(l?)′=(ll2+2ll+ll+l)l l
(l?)′′=(ll2+4ll+ll+2l+2l)l l 代入原方程，解得
l=?1,l=?2
故特解为
l?=l(?l?2)l l
所以原方程的通解为
l =l +l ?=l 1l l +l 2l 2l + l (?l ?2)l l
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
(16)求函数l (l )=
∫(l 2
?l )l ?l 2
ll l 21
的单调区间与极值
【解析】
函数l (l )的定义域为(?∞,+∞)，
l (l )=∫(l 2?l )l ?l 2ll l 2
1
=l 2∫l ?l 2ll l 2
1
?∫ll ?l 2
ll l 2
1
l
′(l )=2l ∫l ?l 2ll l 2
1
+2l 3l ?l 4?2l 3l ?l 4=2l ∫l ?l 2
ll l 21
令l ′(l )=0 ，得l =0,l =±1,列表如下
由上可知，l (l )的单调增区间为(?1,0)和(1,+∞)；l (l )的单调减区间为(?∞,?1)和(0,1),
极小值为
l (±1)=∫(l 2?l )l ?l 2
ll 1
1
=0
极大值为
l (0)=∫(?l )l
?l 2
ll 01
=∫ll
?l 2
ll 1
=?12l ?l 2|0
1=12(1?1
l )
【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别 函数的极值
高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及其导数
(I)比较∫|lll |[ll ?(1+l )]l ll 1
0与∫l l |lll |ll 1
(l =1,2,?)的大小，说明理由；
(II)记l l =∫|lll |[ll ?(1+l )]l
ll 1
(l =1,2,?),求极限lll l →∞
l l 。 【解析】
(I) 当0≤l ≤1时，因0≤ll ?(1+l )≤l ,所以
0≤|lll |[ll ?(1+l )]l ≤l l |lll |
所以有∫|lll |[ll ?(1+l )]l ll ≤1
0∫l l |lll |ll ,1
(l =1,2,?) (II)【方法一】 由上可知，
0≤l l =∫|lll |[ll ?(1+l )]l ll ≤10
∫l l |lll |ll ,1
∫l l |lll |ll =?∫l l
lllll 1
=?l l +1l +1
lll |0
1
+
1
1
l +1∫l l
ll 1
0=1
(l +1)2
所以lll l →∞
∫l l |lll |ll 1
=0 由夹逼定理可得lll l →∞
l l =0
【方法二】
由于lll 为单增函数，则当l ∈[0,1]时，ll ?(1+l )≤ll2,从而有
0≤l l =∫|lll |[ll ?(1+l )]l ll ≤10
ll l 2∫|lll |ll ,1
∫|lll |ll 10
=?∫lllll =?llll |01+∫ll 10=11
又lll l →∞
ll l 2=0，由夹逼定理知lll l →∞
l l =0
【方法三】 已知
0≤l l =∫|lll |[ll ?(1+l )]l ll ≤10
∫l l |lll |ll 10
因为lll l →0
+
lll
1
l
=lll l →0
+
?1
l 1l 2
=0,且llll 在(0,1]上连续，则llll 在
(0,1]上有界，从而存在l >0使得 0≤|llll |≤l 则∫l l |
lll |ll 1
≤l ∫l l ?1
ll 1
=l
l
由lll
l →∞l
l
=0及夹逼定理知lll l →∞
l l =0
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(17)求幂级数∑(?1)
l ?1
2l ?1
l 2l ∞l =1的收敛域及和函数。
【解析】
lll l →∞|l l +1l l |=lll l →∞|l 2l +2(2l ?1)
l 2l (+)
|=l 2 l 2<1??1 即?1 l =±1时，级数为∑(?1) l ?1 2l ?1 ∞l =1，由莱布尼茨判别法显然收敛，故原幂级数的收 敛域为[?1,1]。 又∑(?1) l ?1 2l ?1 l 2l ∞l =1= l ∑(?1) l ?1 2l ?1 l 2l ?1∞l =1 令l (l )=∑(?1)l ?1 2l ?1 l 2l ?1∞l =1 ,l ∈(?1,1) 则l ′(l )=∑(?1) l ?1l 2(l ?1) =11+l 2 ∞l =1 所以l (l )=∫l ′(l )l 0ll =lllllll +l 由于l (0)=0，所以l =0 所以l (l )=lllllll 所以幂级数的收敛域为[?1,1]，和函数为llllllll ,l ∈[?1,1]。 【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式 (18)设l 为椭球面l :l 2+l 2+l 2?ll =1上的动点，若l 在点l 处的切线平 面与lll 面垂直，求点l 的轨迹l ,并计算曲面积分l = ?+√3)|√ ∑,其中∑ 是椭圆球面l 位于曲线l 上方的部分。 【解析】 求轨迹l 令l (l ,l ,l )=l 2+l 2+l 2?ll ?1,故动点l (l ,l ,l )的切平面的法向量为 l ={2l ,2l ?l ,2l ?l } 由切平面垂直lll 面，得2l ?l =0 又已知l 为椭球面l :l 2+l 2+l 2?ll =1上的动点，所以