北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何试题及答案 2.doc

北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。

1． 在直角坐标系中，求直线???=++=-+1

20

2:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数 解：

可以验证点1212,0,

,,0,5555l π????∈? ? ?????

，从而l π? 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+??

=-??=?

，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为

点'

:P (,,)x y z

'1331031

x k z k

PP x z π+--⊥?

=?-+= 30P x By z π∈?++=

整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程310

30

x z x By z -+=??++=?

由于

11

31

≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线

从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是310

30

x z x By z -+=??++=?

2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：022

2

=+++λλxy y x .

对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解：

记T ??

?=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换*

*x x T y y ????=??????????是一个正交变换

在这个变换下，曲线方程变为2

2

**(1)(1)x y λλλ++-=-

1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)

2)

1λ=-时，曲线方程为2

*12

y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即

y x =

3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)

4) 0λ=时，曲线方程为22

**0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)

5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)

6)

1λ=-时，曲线方程为2

*12

x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =，

即y x =-

7)

1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)

3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a -

（1）.求A ;

(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。 解： (1)

若1n =，11||A a b =-

若2n =，111221212122||()()a b a b A a a b b a b a b --=

=----

若2n >，11

1213121

2223

2111211

2

3

||n n

n n n n n n n n n

a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b -----------=

-------

112

1112131212223

21212121

1

1

1

0n n n n n R R n

R R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a --

-

--------------------=

=-------

(2)

若2n =，则111221212122

||()()0a b a b A a a b b a b a b --=

=--≠--，方程组0=AX 只有零解，其解空间维

数为0 若3n >=，则由(1)知道A 的任意一个3级子式的行列式为0，而A 的一个2级子式

11122122a b a b a b a b --?? ?--??

的行列式为2121()()0a a b b --≠，从而2rankA = 于是方程组0=AX 解空间的维数是2n -，取向量组122,,...,n βββ-，其中12i i i in c c c β??

????

??=????????

，

212121,1,21,0,n i

n i ij b b j b b b b

j c b b j n i ---?=?-?-?==?-??=-?

?其他

，1,2,...,2i n =-

可知1222[,,...,]n n C E βββ--??

=?

???

，其中2n E -是2n -阶单位矩阵，C 是一个2*(2)n -的矩阵，从而122(,,...,)2n rank n βββ-=-

并且对任意的

1,2,...,2

i n =-，有

2121121

12211221

()(

1)()0n

n i n i n i n i i k ik i n i k b b b b b b b b

a b c a b b b b b b b b b b b -----=-----=++-++=----∑

因此122,,...,n βββ-都属于方程组0=AX 解空间，从而是方程组0=AX 解空间的一组基

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求m

C

[C 是什么？]

（2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线

性空间。数域K 上n 级矩阵1

4321

21321

a a a a a a a a a a a a A n n n

-=

称为循环矩阵。用U 表示K 上所有n 级循环

矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。 证：

对任意的1

231212

341n n n a a a a a a a a A U a a a a -=

∈，以及k K ∈，有,(1,2,...,)i i a K ka K i n ∈?∈=

因此1231231211212

3

412

3

4

1

n n n n n n a a a a ka ka ka ka a a a a ka ka ka ka kA k

U a a a a ka ka ka ka --==∈

对任意的

1

231212

3

4

1

n n n a a a a a a a a A U a a a a -=

∈，和1231212

3

4

1

n n n b b b b b b b b B U b b b b -=∈，有

,,i i i i a K b K a b K ∈∈?+∈

因此

1231231122331211211122112

3

4

1

2

3

4

1

22

33

44

11

n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b A B U

a a a a

b b b b a b a b a b a b ----+++++++++=

+

=

∈++++

可知U 是)(K M n 的一个子空间。

记1

2312(1)2

3

41

i i i in in i i i n i i i i i c c c c c c c c C c c c c -=

，其中0,1,ij j i

c j i ≠?=?

=?

，1,2,...,i n =，

对任意的1

231212

3

4

1

n n n a a a a a a a a A U a a a a -=

∈，有1n

k k k A a C ==∑，即U 所有向量都能用向量组

12(,,...,)n C C C 线性表出

设一组数,1,2,...,i k K i n ∈=，满足

1

n

i i n i k C O ==∑，亦即

1

231212

3

4

1

n n n n k k k k k k k k O k k k k -=

可得0,1,2,...,i k i n ==，向量组12(,,...,)n C C C 线性无关 综上向量组12(,,...,)n C C C 是U 的一组基

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为

1

1-+j i （1>n ）。在实数域上n 维线性空间n

R 中，对于

n R ∈βα,，令βαβαH f '=),(。试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）n

R ∈α，且α是非零列向量。令αα'=A B ，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是n

R 上的一个内积，证明如下：

容易验证f 是n

R 上的一个双线性函数

对n

R 中任意的非零向量12n a a a α????????=????????

，11

(,)1n n i j

i j a a f H i j αααα=='==+-∑∑

令1

1

()n

i i i g x a x

-==

∑，是R 上的一个多项式函数，有2

2

11

0()n n

i j i j

i j g x a a x

+-==≤=

∑∑

可得1

1

2

2

11

1

10

0()(,)1

n n

n n

i j

i j i j

i j i j a a g x dx a a x

dx f i j αα+-====≤=

==+-∑∑∑∑

?

?

若1

2

()0g x dx =?

，由于2

()g x 在[01]，

上连续，则必有2

()0g x ≡，()0g x ≡

则0,1,2,...,i a i n ==，即0α=，与α是n

R 中非零向量矛盾。所以1

2

()0g x dx >?

，(,)0f αα>

所以f 是n

R 上的一个内积

(2) 由于A 正定，0α≠，可得'

0A λαα=>，0A α≠，'

1rankB rank αα==，

由1rankB = 知方程组0BX =解空间0W 的维数为1n -，0W 同时也是B 的属于0特征值的特征子空间

由0λ>，0A α≠和'

'

()BA A A A A A αααααααλα===，知λ是B 的特征值，A α是B 的属

于特征值λ的特征向量

设B 的属于这个特征值的特征子空间为W λ，由

0λ≠，00W W λ?=，所以

00dim dim dim()W W W W n λλ+=+≤

即dim 1W λ≤，而0,A A W λαα≠∈，dim 1W λ=，W λ的一组基为A α

0dim 1dim dim W W W n λλ=?+=，因此B 没有其他特征值，0λ>是B 的唯一非零特征值，

也是B 最大的特征向量

6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n rank rank =+++-?=)()(2

3

A A I A I I A 证明： 记3

2

()1,()1,()1f x x g x x h x x x =-=-=++ 其中((),())1g x h x =，()()()f x g x h x =

因此()()()Kerf Kerg Kerh =⊕A A A ，()()0Kerg Kerh ?=A A

于是

2()0

()()()dim dim ()dim ()()()()()

f Kerf V

V Kerg Kerh V Kerg Kerh n n rankg n rankh n rank rank =?=?=?=⊕?=+?=-+-?=-+++3A I

A A A A A A A A I A I A A

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +

考研数学-2011北京大学高等代数与解析几何真题(回忆版)

2011北京大学高等代数与解析几何考研题 1.判断是非,并陈述理由(40分,每题各4分) (1)A 是一个秩为5的矩阵,A 的3、4行线性无关,1、3列也线性无关,那么A 的行列式的一个2阶子式A(3,4;1,3)不等于0 (2)Ax=0的解唯一,则Ax=b 的解也唯一 (3) (4)非零线性变换A,在某组基上的矩阵的对角线上元素均不为0,则A 必有非0特征根 (5)线性变换σ及其共轭转置*σ,证明ker *σσ=ker σ (6) (7)13阶线性空间必有10阶不变子空间. (8)对任意的n,存在多项式p(x)在有理数域上不可约. (9)对角线上元素均不相等的上三角矩阵必可对角化 (10)A 是域F 上的矩阵,且A 可逆,则必存在F 中的数011,,,n a a a -,使得1210121 n n A a I a A a A a A ---=++++ 2.给出4阶矩阵A = 110 0010200120 001?? ? ? ? ?-?? (1)求矩阵的最小多项式. (2)求15A (3)求A 的Jordan 标准型 (4)定义 []1,n i i i i Q A a A a Q =??=∈???? ∑，求这个线性空间的维数。 3.二次型()222 123123122331,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++ (1)求()123,,T f x x x X AX =的矩阵A,特征值,特征向量 (2)A=CDC'要求求C 为正交矩阵D 为对角矩阵，求C 、D 。 (3)在单位球2221231x x x ++=上求二次型()123,,f x x x 的最大最小值 4.同构空间的维数: 设域F 上线性空间W,U,V.他们分别是r,s,t 维的. σ为W 到U 上的线性映射,f 属于Hom(W,U) 证明(1)dimHom(W,U)=rs (2)设* σ为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射.则存在单射σ,使 ()()*f w fw σσ=, 其中w W ∈

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 . 设 M N , 证 明： M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。 在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N） （ M L）。 在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L） 故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2） （kk 1） 2

北京大学数学科学学院硕士研究生入学考试

考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）

考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数与解析几何之间的联系

高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体

北京大学高等代数7

北京大学数学学院期中试题 考试科目 高等代数I 考试时间 2012年11月8日 姓 名 学 号 一．（30分）填空题. 1．设 当λ = 时, α1 , α2 , α3不能表出β ; 当λ = 时, 表出方式不唯一. 2. 设α1 , α2是矩阵A = 的行向量, 则 α1 α1T + α2 α2 T = __ , α1T α1 + α2T α2 = ___ ; A T A =__ , A T A 的秩 =__ , A A T = __ . 3．设 若矩阵 能写成 k 1 α1 α1T + k 2 α1 α2T + k 3 α2 α1T + k 4 α2 α2T , 则 [ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ] =__. 4. 已知 B 是3?4矩阵, [ 2 0 1 3 ] T 是齐次线性方程组B X = 0 的一个解. 设A 是将行向量 [ 2 0 1 3 ] 添加到B 下面 得到的方阵. 若A 的 (4,1) 元的余子式为6, 则 | A | =___. 5. 对矩阵做初等行变换, 矩阵的_____ 不变(多选). A 秩 B 行空间 C 列空间 D 解空间 6. 设α = [ 1 1 2 ] T 与 β = [ 3 0 2 ] T 是3维几何空间里的向量. 则 α , β之间夹角的余弦值是__, α , β张成的三角形的面积是__, 与α , β都正交的单位向量是___. 二．（12分）已知 .11α,11α21??????-=??????=?? ????31021121.,,2320202 1211010===b b a a t b b a a b b a a ?? ????d c b a ,???? ??????-=??????????+--=??????????-+=??????????-+=1λ21β,5λ42α,45λ2α,222λα321

高等代数(北大版第三版)习题答案III

高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！

第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。

北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2复习进程

北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。 1． 在直角坐标系中，求直线???=++=-+1 20 2:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。 其中B 是常数 解： 可以验证点1212,0, ,,0,5555l π????∈? ? ????? ，从而l π? 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+?? =-??=? ，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为 点' :P (,,)x y z '1331031 x k z k PP x z π+--⊥? =?-+= 30P x By z π∈?++= 整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程310 30 x z x By z -+=??++=? 由于 11 31 ≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线 从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是310 30 x z x By z -+=??++=? 2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：022 2 =+++λλxy y x . 对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解： 记T ?? ?=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换* *x x T y y ????=??????????是一个正交变换 在这个变换下，曲线方程变为2 2 **(1)(1)x y λλλ++-=-

1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 2) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即 y x = 3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 4) 0λ=时，曲线方程为22 **0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0) 5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =， 即y x =- 7) 1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a - （1）.求A ; (2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。 解： (1) 若1n =，11||A a b =- 若2n =，111221212122 ||()()a b a b A a a b b a b a b --= =---- 若2n >，111213 121 22 232111211 2 3 ||n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b -----------= -------L L M M O M M K O L 112 111213121 22 232121212111 1 0n n n n n R R n R R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a -----------------------= =-------L L M M O M M K O L (2)

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

高等代数北大版第5章习题参考答案

第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ?????=-=+=3 32122 11y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 22333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ????==+=3 3223 1121 21z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为

???? ?????=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ???????? ? ?-=??????? ??????? ??-=10021121210 2110001021021100011011T ， 且有 ???? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322212x x x x +++=， 于是可令 ?????=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ?????=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ???? ? ??--=100210211T ，

高等代数与解析几何教学大纲

附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求

精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）

高等代数与解析几何同济答案

高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o

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北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总

北京大学数学考研题目 1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业 2 2 2 202220 0Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是. 1223112220...1,...2, (1) n n n n n x x x x x x x x x n ++++++=?? +++=????+++=+?二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。 121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。证明：多项式在有理数域上不可约。 20000120231001011A ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。（1）求A; (2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。 20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年 数学各专业 132110: :231003 6 3 x y l z x y z π--==- ++-=一、（分）求直线与平面的交点。 10,,,,a b c a b b c c a ???二、（分）设向量不共面。试证：向量不共面。 15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。 {}{}{}{}23231 231 251,,.2,,V R V T V V T T T T T T T T T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。（）设在线性变换：下，试求在，，中的变换公式；（）求的逆变换在，，中的公式； （3）求在中的公式。 2 220.20 24(2)2 177,.42 20A B A B A B A B =-?? ?=--= ? ?-? ? 五、（分）(1)证明：实矩阵是正定的充要条件为：可找到一个可逆的实对称矩阵,使给定求实对称矩阵，使20(1)((2),n m n m A n m B m n E AB E BA E n E m A B AB BA ??-=-六、（分）设为矩阵，为矩阵。求证：为阶单位矩阵，为阶单位矩阵). 证明：如果为同阶方阵，则与总有相同的特征值（不考虑重数）.

高等代数北大编第1章习题参考答案

第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1）由带余除法，可得9 2926)(,9 73 1)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。 解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ， 所以当???=-=++0 12m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。 2）类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时，皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式： 1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1）432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成 2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式： 1）50(),1f x x x ==； 2）420()23,2f x x x x =-+=-； 3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。 解 1 ） 由 综 合 除 法 ， 可 得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-； 2）由综合除法，可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++；

《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １