2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(22)正、余弦定理和三角形面积公式B
课时作业(二十二)B [第22讲 正、余弦定理和三角形面积公式]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身 1．[2011·三明联考] 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )
A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.32或34 3．[2011·衡阳模拟] 如图K22－1，在2011年日本地震引发的海啸灾难的搜救现场，一条搜救犬沿正北方向行进x m 发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 发现另一个生命迹象，这时它向右转135°x ＝( )
A ．10 2 m B.
1033 m C.106
3
m D ．10 m 4．[2011·汕头一模] 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π
3
a
＝3，b ＝1，则c 等于________．
能力提升 5．[2011·株洲调研] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，sin B
＋sin C ＝3sin A ，且△ABC 的面积为4
3
sin A ，则角A ＝( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.53π 6．[2011·太原模拟] △ABC 中，a ，b ，c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )
A ．1＋ 3
B ．3＋ 3 C.3＋3
3
D ．2＋ 3
7．[2011·长沙模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，若a ，b ，c 成等比
数列，A ＝60°，则b sin B
c
＝( )
A.12 B ．1 C.22 D.32
8．△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin B
sin2C
等于( )
A.12 B ．2 C ．－1
2
D ．－2 9．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
11．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A
________，AC 的取值范围为
________．
12．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.
(1)若b ＝7，a ＋c ＝13，求此三角形的面积；
(2)求3sin A ＋sin ????
C －
π6的取值范围．
难点突破
13．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.
(1)求角A 的大小；
(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝45°；③c ＝3b .
试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC 的面积(只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分)．
课时作业(二十二)B
【基础热身】
1．B [解析] 由△ABC 的面积为33，得12·BC ·CA sin C ＝33，得sin C ＝3
2
.又△ABC
是锐角三角形，则C ＝60°，故选B.
2．D [解析] 由正弦定理，有AB sin C ＝AC sin B ，得sin C ＝AB sin30°AC ＝3
2，C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝3
2；
当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝3
4
，故选D.
3．C [解析] 如下图，在△ABC 中，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝45°，BC ＝10，∴∠BAC
＝60°，∴AB sin ∠ACB ＝BC
sin ∠BAC
，
∴AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC ＝10×
223
2
＝106
3
.
4．2 [解析] 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin
π3a ＝12.又a >b ，即A >B ，则B ＝π
6
，
C ＝π－(A ＋B )＝π
2
.
∴c ＝a 2＋b 2＝2. 【能力提升】
5．B [解析] 由sin B ＋sin C ＝3sin A 和正弦定理得b ＋c ＝3a ＝23，
∴b 2＋c 2＝12－2bc .又△ABC 的面积为4
3
sin A ，
∴12bc sin A ＝43sin A ，∴bc ＝83
， 故cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝1
2，
得A ＝π3
.
6．C [解析] 由题意得，2b ＝a ＋c ，S △ABC ＝12ac ·12＝12
?ac ＝2，所以a 2＋c 2＝4b 2
－4.由
余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32?b 2
＝4＋233?b ＝3＋33
，故选C.
7．D [解析] 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b c ＝a
b
，于是
b sin B
c ＝a b ×sin B ＝sin A sin B ×sin B ＝sin A ＝sin60°＝3
2
，故选D. 8．B [解析] 由已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，可设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
4
.
由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R ，则
sin A ＝a 2R ＝m R ，sin B ＝b 2R ＝3m 2R ，sin C ＝c 2R ＝2m R
， ∴sin A －2sin B sin2C ＝sin A －2sin B 2sin C cos C ＝1－2×
3
22×2×???
?－14
＝2，故选B.
9．23 [解析] ∵cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝22
3
，
又S △ABC ＝43，即1
2
ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.
10.π6 [解析] 由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π4＝2，得sin
????B ＋π4＝1，所以B ＝π4
. 由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·sin
π42＝12，所以A ＝π6或5π
6
(舍去)．
11．2 (2，3) [解析] 由正弦定理，得AC sin2A ＝BC sin A ，即AC 2sin A cos A ＝1sin A ，∴AC
cos A ＝
2.
∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π
4
，
由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 12．[解答] 由已知及正弦定理，得 (2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0.
在△ABC 中，由sin(A ＋B )＝sin C ， 则sin C (2cos B －1)＝0.
∵C ∈(0，π)，∴sin C ≠0， ∴2cos B －1＝0，所以B ＝60°. (1)由余弦定理，有 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°＝(a ＋c )2－3ac ， 即72＝132－3ac ，得ac ＝40，
所以△ABC 的面积S ＝1
2ac sin B ＝10 3.
(2)3sin A ＋sin ????C －π6＝3sin A ＋sin ???
?π2－A ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ???
?A ＋π
6，
又A ∈????0，2π3，∴A ＋π6∈???
?π6，5π
6，
则3sin A ＋sin ????C －π6＝2sin ???
?A ＋π6∈(]1，2. 【难点突破】
13．[解答] (1)依题意得2sin ????
A ＋
π3＝2，
即sin ???
?A ＋π
3＝1，
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