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Picard存在和唯一性定理

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本节利用逐次逼近法,来证明微分方程

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(2.1)

的初值问题

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(2.2)

的解的存在与唯一性定理.

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定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域

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上满足如下条件:

(1) 在R上连续;

(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数N,使对于R上任何一

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对点和有不等式:

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则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解

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其中

在证明定理之前,我们先对定理的条件与结论作些说明:

1. 在实际应用时,李普希兹条件的检验是比较费事的.然而,我们能够用一个较强的,

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但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数

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存在并有界,.则李普希兹条件成立,事实上,由拉格朗日中值定理有

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其中满足,从而.如果在R上连续,它在R上当然就满足李普希兹条件.(这也是当年Cauchy证明的结果)

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2.可以证明,如果偏导数在R上存在但是无界,则Lipschitz条件一定不满足,

但是Lipschitz 条件满足,偏导数不一定存在,如(,)||f x y y 。

3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上,初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这

时,过点

的积

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图 2-5

分曲线

或 时,其中

,到

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达R 的上边界

或下边界

.于是,当

时,曲线

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便可能没有定义.由此可见,初值问题(2.2)的解未必在整个区间

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上存在. 由于定理假定

在R 上连续,从而存在

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于是,如果从点

引两条斜率分别等于M 和-M 的直线,则积分曲线

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(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内,因此,只要我们取

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则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时,必位于R 之

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中.

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图 2-6

存在性的证明

求解初值问题(2.2)

求解积分方程(2.3).

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因此,只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 下面

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用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性,可分三个步骤进行:

1.构造逐次近似序列.

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近似序列

或写成

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01()(,())x

n n x x y f d ?ξ?ξξ--=?

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的每一项都在 上有定义,这是因为 于是

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.这样,我们在区间

上,按逐

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次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)

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2. 证明近似序列

在区间

上一致收敛.

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“ 函数序列的一致收敛

1.设

(1)

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是定义在I 上的函数序列,若对

,数列

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收敛,则称

为序列(1)的收敛点.收敛点的全体叫收敛域.

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在收敛域上每一点,序列(1)都有极限,这极限形成收敛域上的

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一个函数,称为极限函数.设此函数为,即

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2.若对,总存在一个只与 有关的自然数N,使得对I上任何一点

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,当时,有,则称序列(1)在I上一致收敛.证明分如下二步:

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(1)序列在上一致收敛级数(2.7)在

上一致收敛(级数).因为级数

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(2.7)

的部分和

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“ 函数项级数的一致收敛

1.设函数项级数

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(1)

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在区间I上收敛于和函数,即对,

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数项级数收敛于,或级数(1)的部分和所组成的数列

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=

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由数列极限定义,对,,使得时,有

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2.级数(1)在I上一致收敛对,,

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使得对,当时,有.

3.若函数项级数(1)的每一项都在I上连续,并且在I上一致收敛,

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则(1)的和函数在I上连续.

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(2)级数(2.7)在上一致收敛.

用数学归纳法,易证级数(2.7)从第二项开始,每一项绝对值都小于正项级数

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的对应项,而上面这个正项级数显然是收敛的.所以,由优级数判别法,

“ 函数项级数的一致收敛判别法

(魏尔斯特拉斯优级数判别法)

函数项级数

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(1)

若函数项级数(1)在区间I上满足

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(I );

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(II )正项级数收敛.

则函数项级数(1)在区间I上一致收敛.

数项级数收敛的判别法

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(比值判别法,达朗贝尔()判别法)

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若正项级数的后项与前项的比值的极限等于

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则当时级数收敛,时(或)

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时级数发散;时级数可能收敛,也可能发散.

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级数(2.7)在区间上不仅收敛,而且一致收敛.设其和函数为,从

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而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上

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连续,因而也是连续的.

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3.证明是积分方程(2.3)的解,从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列(2.6)两端取极限有

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因为

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所以要证明是积分方程(2.3)的解,即

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成立,只需证明

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这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ?的一致收敛性质保证的。 下面用“ε-N 语言”证明上面的极限成立. 我们先利用李普希兹条件,作下面的估计:

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由于序列 在区间

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上一致收敛,因此,对任给ε>0,存在自然数N ,当n N >时,对区间

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上所有x 恒有

从而

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由此推得

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换句话说,我们得到

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现在对恒等式(2.6)两端取极限,

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就得到

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此即表明函数

是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.

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2.2.3 唯一性的证明,区别于北大版课本的另一种证明方法:

下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式,即贝尔曼(Bellman )不等式.

贝尔曼引理 设y (x )为区间 上非负的连续函数, .若存在

使

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得y (x )满足不等式

(2.9)

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则有

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证明先证明的情形.

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令,于是从(2,9)式立即有

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上式两端同乘以因子,则有

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上式两端从x0到x积分,则有

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由(2.9)知,,从而由上式得到

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的情形类似可证,引理证毕.

积分方程(2.3)解的唯一性证明,采用反证法.

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假设积分方程(2.3)除了解之外,还另外有解,我们下面要证明:在

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上,必有.

事实上,因为

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将这两个恒等式作差,并利用李普希兹条件来估值,有

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令,从而由贝尔曼引理可知,在上有

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,即.

至此,初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.

由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件,那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.

例1试证方程

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经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.

证明右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件,因此对于x轴外任何点

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,该方程满足的解都存在且唯一. 于是,只有对于x轴上的点,还需要讨论其过这样点的解的唯一性.

我们注意到y = 0为方程的解. 当y≠0时,因为

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故可得通解为

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x

ce

为上半平面的通解, 为下半平面的通解.

y e

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这些解不可能y = 0相交. 因此,对于轴上的点,只有y = 0通过,从而保证了初值解的唯一性.

但是,

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因为故不可能存在使得

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从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件,这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.

为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性,有着比李普希兹条件更弱的条件(Osgood条件).直到现在,唯一性问题仍是一个值得研究的课题.

下面的例子表明:如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续,不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的. 但是由Piano 存在定理知解是存在的。

例2讨论方程

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解的唯一性.

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解方程的右端函数,在全平面连续,当时,用分离变量法可求得通解

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,C为任意常数.

又y = 0也是方程的一个特解,积分曲线如图2-7.

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图2-7

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从图上可以看出,上半平面和下半平面上的解都是唯一的,只有通过x轴上任一点

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的积分曲线不是唯一的,记过该点的解为,它可表为:对任意满足的a和b.

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