新版数学高考复习资料
重庆市巴蜀中学20xx 届高三适应性月考(八)
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足2018
1)1(i z i -=+,则复数z 的模为( )
A .
2
1
B .1
C .2
D .3 2.已知全集R U =,集合}1|1||{<-=x x A ,}11
5
2|{≥--=x x x B ,则=B C A U ( )
A .}21|{< B .}21|{≤ C .}21|{<≤x x D .}41|{<≤x x 3.在等差数列}{n a 中,74,a a 是函数183)(2 --=x x x f 的两个零点,则}{n a 的前10项和等于( ) A .15- B .15 C .30 D .30- 4.设n m ,是两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面,给出下列命题: ①若βαγα⊥⊥,,则βγ//; ②若βαγα⊥⊥,,则βγ//; ③若α//,//m n m ,则α//n . 其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 5.甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重(每个人的体重都不一样). 甲说:“我肯定最重”; 乙说:“我肯定不是最轻”; 丙说:“我虽然没有甲重,但也不是最轻” 丁说:“那只有我是最轻的了”. 为了确定谁轻谁重,现场称了体重,结果四人中仅有一人没有说对. 根据上述对话判断四人中最重的是( ) A .甲 B .乙 C .丙 D .丁 6.已知? = π sin xdx n ,则5)1()1(-+x x n 的展开式中4x 的系数为( ) A .15- B .15 C .5- D .5 7.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游,朝天门、解放碑、瓷器口三个景点,每个人只去一个景点,每个景点至少有一个人去,则甲不到瓷器口的方案有( ) A .60种 B .54种 C .48种 D .24种 8.如图所示的程序框图输出的结果为510,则判断框内的条件是( ) A. ?7 B. ?7≤n C. ?8 D. ?8≤n 9.某三棱锥的三视图如图所示,其侧视图为直角三角形,该三棱锥的外接球表面积为1S ,俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为2S ,则21:S S 为( ) A .1:5 B .2:5 C .4:5 D .1:10 10.把x y sin =的图象向左平移?个单位(?为实数),再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的2 1 ,纵坐标不变,得到)(x f 的图象,若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立,且)()2 (ππ f f >,若 πθ310 tan 21)(= f ,则θ的可能取值为( ) A .43π B .125π C .6π D .12π 11.已知双曲线122 22=-b y a x 的左、右顶点分别为B A ,,P 为双曲线左支上一点,ABP ?为等腰三 角形且外接圆的半径为a 5,则双曲线的离心率为( ) A . 515 B .415 C .315 D .2 15 12.已知x a x x f ln )(2 +=在点))1(,1(f 处的切线方程为034=--y x ,n n f a n -= )('2 1 ),1(*N n n ∈≥,}{n a 的前n 项和为n S ,则下列选项正确的是( ) A .2018ln 12018<-S B .12018ln 2018+>S C .12018ln 1009- D .20172018ln S > 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.已知y x ,满足约束条件?? ???≥+≤-≥+-002043y x x y x (R y x ∈,),则2 2y x +的最大值为 . 14.抛物线y x 22 =上一点P 的纵坐标为3,则点P 到抛物线焦点的距离为 . 15.数列}{n a 中,11=a ,n n n S a 31+=+(1,* ≥∈n N n ),则数列}{n S 的通项公式为 . 16.三角形ABC 中一点O 满足||||||OC OB OA ==,AB 的长度为1,BC 边上的中点M 与O 的连线分别交AC BC ,于点D M ,,若3=?,则AC 的长度为 . 三、解答题 (本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知)1,cos (C c =,)cos cos ,2(A b B a +=,且n m ⊥. (1)若32,72 2 ==?ABC S b c ,求b 的值; (2)若A A A A cos sin cos sin +=λ,求实数λ的取值范围. 18.某营养协会对全市18岁男生的身高作调查,统计显示全市18岁男生的身高服从正态分布 )36,172(N ,现某校随机抽取了100名18岁男生的身高分析,结果这100名学生的身高全部介于160cm 到196cm 之间.现将结果按如下方式分为6组,第一组)166,160[,第二组)172,166[,…,第六组 ]196,190[,得到如图所示的频率分布直方图. (1)若全市18岁男生共有10000人,试估计该市身高在178cm 以上的18岁男生人数; (2)求a 的值,并计算该校18岁男生的身高的中位数(精确到小数点后三位); (3)若身高190cm 以上的学生校服需要单独定制,现从这100名学生中身高在184cm 以上的同学中任意抽取3人,这三人中校服需要单独定制的人数记为X ,求X 的分布列和期望. 附:),(~2 σμN X ,则9974.0)33(=+<<-σμσμX P ; ),(~2σμN X ,则9544.0)22(=+<<-σμσμX P ; ),(~2σμN X ,则6826.0)(=+<<-σμσμX P . 19.如图,在正四棱锥ABCD S -中,底边2=AB ,侧棱3=SA ,P 为侧棱SD 上的点. (1)若⊥SD 平面PAC ,求二面角D AC P --的余弦值的大小; (2)若PD SP 2=,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得//BE 平面PAC ,若存在,求EC SE :的值;若不存在,试说明理由. 20.设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率为22 ,21,F F 是椭圆的两个焦点,A 为椭圆上 一点且3 21π = ∠AF F ,21AF F ?的面积为 3 3 . (1)求椭圆的方程; (2)已知点)1,0(P ,直线l 不经过点P 且与椭圆交于C B ,两点,若直线PB 与直线PC 的斜率之和为1,证明直线l 过定点,并求出该定点. 21.已知函数)2()(2 -+-=ax x e x f x (R a ∈). (1)若),0(+∞∈x 时,)(x f 不单调,求a 的取值范围; (2)设)()()(,)2()(2 2x g x f x F x b e x x g x +=++=,若1=a ,)4 1 ,0(∈b 时,),0(+∞∈x 时,)(x F 有最小值,求最小值的取值范围. 请考生在22、23二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为? ? ?=+-=αα sin cos 1t y t x (t 为参数),以坐标原点O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程θρcos 4-=. (1)当3 π α= 时,1C 交2C 于B A ,两点,求||AB ; (2)已知点)2,1(-P ,点Q 为曲线2C 上任意一点,求?的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 设)10(|||2|)(≤<-+-=a a x a x x f . (1)若1=a ,解关于x 的不等式2)(>x f ; (2)求证:6)1 ()(≥-+t f t f . 理科数学答案 一、选择题 二、填空题 13. 8 14. 2 7 15. n n n S 23-= 16. 7 三、解答题 17.(1)∵n m ⊥,∴0cos cos cos 2=++=?A b B a C c n m , 由正弦定理,得0cos sin cos sin sin 2=++A B B A C , ∴C B A C C sin )sin(cos sin 2-=+-=. 又∵),0(π∈C ,0sin ≠C ,∴2 1 cos -=C , ∴3 2π= C 由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=,又227b c =, ∴0622=+-ab b a ,∴b a 2=或b a 3-=(舍去), 32sin 2 1 == ?C ab S ABC ,∴8=ab , ∴2,4==b a . (2)A A A A cos sin cos sin +=λ,设)4 sin(2cos sin π +=+=A A A t , ∵)3, 0(π ∈A ,∴]2,1(∈t , ∴),22[12 122+∞∈-=-=t t t t λ. 18. (1)6,172==σμ,1587.02 6826 .01)178(=-= ≥ξP , 15871587.010000=?(人) (2)16)005.001.007.005.0015.0(=?+++++a ,∴017.0=a . 设中位数为x ,则5.007.0)172(605.06015.0=?-+?+?x , ∴571.173=x . (3)身高)190,184[:6601.0100=??, 身高)196,190[:36005.0100=??, X 的所有可能取值为0,1,2,3, 215 )0(3936===C C X P ,2815)1(3 91326===C C C X P , 143)2(392316===C C C X P ,84 1 )3(3 933===C C X P , X 的分布列如下: 184 1 3842841)(=?+?+?=X E . 19.(1)如图,连接BD ,设AC 交BD 于O ,由题意知⊥SO 平面ABCD ,以O 为坐标原点, OS OC OB ,,分别为z y x ,,轴,建立坐标系xyz O -如图所示. 底边2=AB ,侧棱3=SA ,则高7= SO . (1)于是)7,0,0(S ,)0,0,2(-D ,)0,2,0(C ,)0,2,0(=OC ,)7,0,2(=DS , 由题设知,平面PAC 的一个法向量)7,0,2(=DS ,平面DAC 的一个法向量)7,0,0(=OS ,设所求二面角为θ,则37 797| |||cos =?== OS DS OS DS θ, 故所求二面角的余弦值为 3 7 . (2)假设在棱SC 上存在一点E 使得//BE 平面PAC , 在SC 上取点E ,连接EB , 设平面PAC 的法向量为),,(z y x =,)3 7,0,32(31== , 点)0,2,0(-A ,)0,0,2(B ,)0,22,0(= )3 7,2,322()37,0,32( )0,2,2(-=+-=+=, ??? ??=?=?00AP n 则?? ???=++- =03723220 22z y x y ,令1=x ,则)7142,0,1(=n , 设 t =, )7),1(2,2()7,2,0()0,2,2(t t t CS t BC CE BC BE --=-+-=+=+=, 而0=?,∴2 1= t , 即当1:1:=EC SE 时,//BE 平面PAC . 20.(1)2 2== a c e , 由333sin ||||212121== ?πAF AF S AF F ,∴3 4||||21=AF AF , a AF AF 2||||21=+,c F F 2||21=, 4|)||(|3 cos ||||2||||||2 21212 221221=+=-+=AF AF AF AF AF AF F F π , ∴1,2,12 22===c a b , ∴椭圆的方程为12 22 =+y x . (2)设点),(11y x B ,),(22y x C ,直线l :)1(±≠+=m m kx y ,联立椭圆方程得 0224)21(222=-+++m kmx x k 0)12(8)22)(21(4)4(22222>---=-+-=?k m m k km , 2221221212 2,214k m x x k km x x +-=+-=+, 11 12 211=-+-= +x y x y k k FC FB , 即0))(1()12(2121=+-+-x x m x x k , 0214)1(2122)12(2 22=+--++--k km m k m k ∴2 1+= m k , ∴直线l :m x m y ++= 2 1 ,∴直线l 过定点)1,2(--. 21. (1)]2)2([)2()2()(2 2-+-+-=+-+-+-='a x a x e a x e ax x e x f x x x , ∵),0(+∞∈x 时,)(x f 不单调,∴02)2(2 =-+-+-a x a x 在),0(+∞上有解, ∴021 1 1122>-+++=+= -x x x x a , ∴2>a . (2)2 )2()2()(++-=x b x e x F x , )2(2)1()('++-=x b x e x F x . 设)2(2)1()(++-=x b x e x x ?,则b xe x x 2)('+=?,又),0(+∞∈x , ∵0)('>x ?,∴)('x F 单调递增,又06)1('>=b F ,014)0('<-=b F , ∴存在)1,0(∈t ,使得0)('=t F ,即0)2(2)1(=++-t b t e t . ),0(t x ∈时,0)(' ∴)12 21()2()2(2)1()2()2()2()()(222 min -+-=++--+-=++-==t t e t t t e t e t b t e t F x F t t t t . 设)1221 ()(2-+ -=t t e t h t ,则)2 1221()('2-+-=t t e t h t ∵0)(' x y , 由???=+=θ ρρcos 222x y x 得2C :4)2(22=++y x ,圆心为)0,2(-,半径2=r , 圆心到直线1C 的距离2 3 2|0)12(3|=-+-= d , 222 2)2 ||( =+d AB ,∴13||=AB . (2)设点),(y x Q ,则)2,1(-=,)2,1(+-=y x , 52--=?y x PQ OP ,又???=+-=θ θ sin 2cos 22y x 7)sin(525sin 4cos 2252-+-=--+-=--=??θθθy x , ∴?的最大值为752-. 23.(1)当1a =时,|1||12|)(-+-=x x x f , ①当2 1 12 1 ≤≤x 时,2112>-+-x x ,∴无解; ③当1>x 时,2112>-+-x x ,∴3 4 >x , 综上所述,0 >x . (2)证明:|1 ||12||||2|)1()(a t t a t a t t f t f --+--+-+-=-+ 623|1 |3|1||22||)1()(||)2()2(|=?≥+=+++=----+----≥t t t t t t a t a t a t a t , 当且仅当1±=t 时取等号. 精品数学高考复习资料