第五讲:圆性质二
一、概念填空(看书后完成)
1、 叫做圆心角。
2、在 中,相等的圆心角所对的 ,所对的 。
3、在 中,如果 ,那么它们所对应的其余各对量都相等。
4、 , 叫做圆周角。
5、圆周角定理:
6、圆周角定理推论1: 推论2:
二、例题分析 例1、(1)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠B =60°,则∠CAO 的度数是( ) A .15° B .30° C .45° D .60°
(2) 如图,点A ,B ,C ,D 都在⊙O 上,弧CD 的度数等于84°,CA 是∠OCD 的平分线,则∠ABD +∠CAO =_____ .
(3)如图,两圆相交于A ,B 两点,小圆经过大圆的圆心O ,点C ,D 分别在两圆上,若100ADB ∠=?,则A
C B ∠的度数为( ) A .35? B .40? C .50?
D .80?
例2、如图,过D 、A 、C 三点的圆的圆心为E ,过B 、E 、F 三点的圆的圆心为D ,如果∠A =63 o,那么∠ABC= o
例3、如图,半圆O 的直径AB =7,两弦AB 、CD 相交于点E ,弦CD =
2
7
,且BD =5,则DE 等于( ) A.22 B.24
C.35
D.2
5
.
C A
B D O
O D C B A
θ
F
B
C
E
A
D
例4、如图所示,圆O 是ABC △的外接圆,BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ,延长AI 交圆O 于点D ,连结BD DC 、.
(1)求证:BD DC DI ==;
(2)若圆O 的半径为10cm ,120BAC ∠=°,求BDC △的面积.
例5、(1)请在图①的正方形ABCD 内,画出使∠APB =90°的一个点P ,并说明理由。
(2)请在图②的正方形ABCD 内(含边),画出使∠APB =60°的所有的点P ,并说明理由。
(3)如图③,现在一块矩形钢板ABCD ,AB =4,BC =3,工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△
APB 和△CP '
D 钢板,且∠APB =∠CP '
D =60°,请你在图③中画出符合要求的点P 和P '
。
图① 图② 图③
三、巩固练习
1、如图 ,⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆,点 P 在⊙O 上,则∠APB 等于( ) A . 30° B . 45° C . 55° D . 60°
2、如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为弦,AB ⊥ CD ,如果∠BOC = 70°,则∠A BD 的度数为( ) A .35? B .45? C .55? D .70?
(第2题)
3、有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( )
A .4个
B .3个
C . 2个
D . 1个
4、如图,MN 是半径为1的⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,∠AMN =30°,B 为AN 弧的中点,点P 是直径MN 上一个动点,则P A+PB 的最小值为( )
A .22
B .2
C .1
D .2
5、如图,海边有两座灯塔A 、B ,暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值为_____ _°.
6、在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦,则此弦所对的圆周角为
7、如图,△ABC 内接于⊙O ,若B ∠=30°,3AC =,则⊙O 的直径为_______ .
8、如图,△ABC 中,以B 为圆心,BC 长为半径画弧,分别交AC 、AB 于D 、E 两点,并连接BD 、DE .若∠A =30°,AB =AC ,则∠BDE 的度数是 .
9、已知在⊙O 中,直径MN =10,正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上,并且∠POM =45o
,则 AB 的长为 .
10、如图8,AB 是⊙O 的直径,弦BC =2cm ,F 是弦BC 的中点,∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动,设运动时间为t (s )(0≤t <3),连结EF ,当t 值为_______ _s 时,△BEF 是直角三角形.
11、如图,点D 为边AC 上一点,点O 为边AB 上一点,AD =DO .以O 为圆心,OD 长为半径作半圆,交AC 于另一点E ,交AB 于点F ,G ,连接EF .若∠BAC =22o,则∠EFG =__ ___.
12、如图,已知A 、B 两点的坐标分别为()
230,
、(0,2),P 是△AOB 外接圆上的一点,且∠AOP=45°,则点P 的坐标为 .
A B O P
(第6题)
B
O
A
C
E
D
C B
A
F
E O
A
C B
13、如图,ABC ?内接于⊙O ,90,B AB BC ∠== ,D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点,P 是BC 边上一点,连结AD DC AP 、、.已知
8AB =,2CP =,Q 是线段AP 上一动点,连结BQ 并延长交四边形ABCD
的一边于点R ,且满足AP BR =,则
BQ
QR
的值为_______________.
14、如图,AD 是⊙O 的直径.
(1) 如图①,垂直于AD 的两条弦B 1C 1,B 2C 2把圆周4等分,则∠B 1的度数是 ,∠B 2的度数是 ;
(2) 如图②,垂直于AD 的三条弦B 1C 1,B 2C 2,B 3C 3把圆周6等分,分别求∠B 1,∠B 2,∠B 3的度数; (3) 如图③,垂直于AD 的n 条弦B 1C 1,B 2C 2,B 3 C 3,…,B n C n 把圆周2n 等分,请你用含n 的代数式表示 ∠B n 的度数(只需直接写出答案)
.
四、回家作业
1、如图,AB 是圆O 的直径,CD 是圆O 的弦,CD AB 、的延长线交于点E ,已知DE AB 2=,
15=∠E ,则ABC ∠的度数是( )
A . 15
B . 30
C . 5.22
D .
45
2、在⊙O 中,已知⊙O 的直径AB 为2,弦AC 长为3,弦AD 长为2.则DC 2=_____ _
3、如图,A 、B 、C 是⊙O 上的三个点,且BC=2AB=2,圆心角∠AOC=1200
,则⊙O 的半径是 .
O
C
A
B