第五讲：圆性质培优(二)[1]1..

第五讲：圆性质二

一、概念填空（看书后完成）

1、 叫做圆心角。

2、在 中，相等的圆心角所对的 ，所对的 。

3、在 中，如果 ，那么它们所对应的其余各对量都相等。

4、 ， 叫做圆周角。

5、圆周角定理：

6、圆周角定理推论1： 推论2：

二、例题分析 例1、（1）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°

（2） 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，弧CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD +∠CAO =_____ .

（3）如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=?，则A

C B ∠的度数为( ) A ．35? B ．40? C ．50?

D ．80?

例2、如图，过D 、A 、C 三点的圆的圆心为E ，过B 、E 、F 三点的圆的圆心为D ，如果∠A =63 o，那么∠ABC= o

例3、如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AB 、CD 相交于点E ，弦CD =

2

7

，且BD =5，则DE 等于( ) A.22 B.24

C.35

D.2

5

．

C A

B D O

O D C B A

θ

F

B

C

E

A

D

例4、如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．

（1）求证：BD DC DI ==；

（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．

例5、（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个点P ，并说明理由。

（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有的点P ，并说明理由。

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△

APB 和△CP '

D 钢板，且∠APB ＝∠CP '

D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P '

。

图① 图② 图③

三、巩固练习

1、如图 ，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 55° D ． 60°

2、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 70°，则∠A BD 的度数为（ ） A ．35? B ．45? C ．55? D ．70?

（第2题）

3、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )

A ．4个

B ．3个

C ． 2个

D ． 1个

4、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则P A+PB 的最小值为（ ）

A ．22

B ．2

C ．1

D ．2

5、如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值为_____ _°．

6、在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为

7、如图，△ABC 内接于⊙O ，若B ∠＝30°，3AC =，则⊙O 的直径为_______ .

8、如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30°，AB =AC ，则∠BDE 的度数是 ．

9、已知在⊙O 中，直径MN =10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM =45o

，则 AB 的长为 .

10、如图8，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)，连结EF ，当t 值为_______ _s 时，△BEF 是直角三角形．

11、如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD =DO .以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF .若∠BAC =22o，则∠EFG =__ ___.

12、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()

230，

、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为 ．

A B O P

(第6题)

B

O

A

C

E

D

C B

A

F

E O

A

C B

13、如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠== ，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知

8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD

的一边于点R ，且满足AP BR =，则

BQ

QR

的值为_______________．

14、如图，AD 是⊙O 的直径．

(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；

(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2，∠B 3的度数； (3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示 ∠B n 的度数(只需直接写出答案)

．

四、回家作业

1、如图,AB 是圆O 的直径,CD 是圆O 的弦,CD AB 、的延长线交于点E ,已知DE AB 2=,

15=∠E ,则ABC ∠的度数是( )

A ． 15

B ． 30

C ． 5.22

D ．

45

2、在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC 2＝_____ _

3、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，且BC=2AB=2，圆心角∠AOC=1200

，则⊙O 的半径是 ．

O

C

A

B